曲面論基本方程的矩陣推導(dǎo)方法*

邢家省，高建全，羅秀華

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

曲面論基本方程的矩陣推導(dǎo)方法*

邢家省1，高建全2，羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

從曲面基本方程的矩陣方程表示出發(fā)，整體推導(dǎo)曲面的結(jié)構(gòu)方程.此方法以矩陣乘法運(yùn)算代替繁雜的張量符號變換,不僅使推導(dǎo)過程簡化,而且使推導(dǎo)的整體思路更加清晰.

曲面的基本方程;曲面結(jié)構(gòu)方程;矩陣乘法;高斯曲率

曲面論的基本方程和曲面的結(jié)構(gòu)方程是經(jīng)典微分幾何學(xué)的重要內(nèi)容，已構(gòu)成完善的理論體系，產(chǎn)生了豐富深刻的結(jié)果.文獻(xiàn)[1-4]采用黎曼張量的記號及求和表示法給出推導(dǎo)轉(zhuǎn)換過程，該推導(dǎo)為后繼的黎曼幾何學(xué)做準(zhǔn)備，但這種推導(dǎo)演算繁雜，不利于人們理解掌握.文獻(xiàn)[5]中給出了采用曲面方程的矩陣表示及利用矩陣乘法來推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法，此方法簡單直接.筆者在綜合已有推導(dǎo)轉(zhuǎn)換方法的基礎(chǔ)上，利用矩陣乘法給出可推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的詳細(xì)過程，實(shí)現(xiàn)文獻(xiàn)[5-6]中的思想，并對文獻(xiàn)[1-8]中的相關(guān)結(jié)果給出簡化的證明方法，由此也能更清楚地看出文獻(xiàn)[1-8]中推導(dǎo)方向轉(zhuǎn)換過程的本質(zhì).

1 曲面基本方程的矩陣方程表示及其系數(shù)矩陣的確定

曲面論的基本問題是研究由曲面的第一、二基本形式如何確定曲面存在的問題，解決的方法是從曲面的基本方程出發(fā)，尋找存在可解曲面的充要條件[1-8].

給出C3類的正則曲面Σ:r=r(u1,u2),(u1,u2)∈Δ.按照文獻(xiàn)[1-8]中的符號體系，給出如下一系列記號：

在曲面上選取活動標(biāo)架[r;r1,r2,n].在曲面上的每一點(diǎn)處，rij表示為r1,r2,n的線性組合，ni表示為r1,r2的線性組合(因?yàn)閚i與n正交，所以ni與r1,r2共面).令

(1)

(2)

將(1)，(2)式寫成矩陣形式，則有

(3)

(4)

從而

為確定λij,在(1)式的兩邊與n作內(nèi)積,即得λij=bij，i,j=1,2；在(3)式兩端乘以(r1,r2)，則得

于是，

(5)

故有

在(5)式兩端取轉(zhuǎn)置，則有

于是，

(1)式稱為Gauss公式，(2)式稱為Weingarten公式.至此得到曲面論的Gauss公式和Weingarten公式(也稱為曲面的運(yùn)動方程，或稱為曲面的基本方程).

因?yàn)?/p>

所以

(6)

2 曲面論的基本方程的矩陣方程表示形式

將曲面的基本公式改寫成矩陣方程的形式為：

(7)

(8)

3 曲面基本方程中系數(shù)矩陣之間關(guān)系的矩陣推導(dǎo)方法

現(xiàn)利用曲面基本方程的矩陣方程表示來研究曲面第一、二基本形式系數(shù)之間的關(guān)系.

利用(7)式，存在可解曲面的充要條件是

(9)

比較左右兩端的系數(shù)，可得

(10)

(11)

從而

(12)

(13)

于是(13)式成立.

由此可知(11)式與(12)式是等價的.

4 曲面論基本方程的Gauss方程的矩陣推導(dǎo)方法

現(xiàn)考察(10)式成立的充要條件.

(14)

(15)

(16)

由(10)，(14)—(16)式，得

(17)

5 曲面的高斯曲率的內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算公式

將(14)式代入(10)式，得

(18)

由(18)式兩邊矩陣中右上角的元素對應(yīng)元素相等，得

于是高斯曲率有如下的內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算公式[1-4，6-11]：

(19)

類似地，

(20)

將(19)和(20)式相加，得到

結(jié)果得證.

同理，由(18)式兩邊矩陣中左下角的元素對應(yīng)元素相等，得

于是高斯曲率有如下的內(nèi)蘊(yùn)計(jì)算公式[1-4,6-11]：

利用(17)式可得

((Γ121g11+Γ221g21)Γ112+(Γ121g12+Γ221g22)Γ212)=

(21)

這里得到的(21)式與高斯曲率是內(nèi)蘊(yùn)量的Brioschi公式[1-2,4,7]完全一致.

在正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，可以求出系數(shù)矩陣，然后代入(21)式，就可給出高斯曲率的計(jì)算公式[1-4].利用曲面論的基本方程(1)式，可給出曲面上曲線的測地曲率[1-4,12]和測地?fù)下蔥2,4,12]的計(jì)算公式的推導(dǎo).利用曲面論基本方程的矩陣方程表示(7)，(8)式，可以非常方便地給出求解曲面方程的矩陣方程方法[13].

[1] 梅向明,黃敬之.微分幾何[M].第4版.北京:高等教育出版社,2008:87-105.

[2] 陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學(xué)出版社,2006：193-228.

[3] 彭家貴，陳 卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2002：74-85.

[4] 蘇步青，華宣積，忻元龍.實(shí)用微分幾何引論[M].北京：科學(xué)出版社，1986：86-91.

[5] 謝 琳,安 揚(yáng).一個利用矩陣整體推導(dǎo)曲面結(jié)構(gòu)方程的方法[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2007,30(3)：262-264.[6] 華羅庚，著.高等數(shù)學(xué)引論(第2冊)[M].王 元，校.北京:科學(xué)出版社,2009：315-322.

[7] 陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編[M].北京:高等教育出版社,2010：171-219.

[8] 徐冠文.“曲面論的基本定理”教學(xué)注記[J].徐州師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，1989，7(2)：80-86.

[9] 曾憲祖.高斯曲率的一個計(jì)算公式的證明[J].云南師范大學(xué)學(xué)報，1991,11(4):52-53.

[10] 邢家省.法曲率最值的直接求法[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33(4)：11-15.

[11] 邢家省，王擁軍.曲面上法曲率的最值和最值切方向的性質(zhì)[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，34(1)：6-10.

[12] 邢家省,張光照.曲面上曲線的測地曲率向量的注記[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，34(4)：7-10.

[13] 邢家省，賀慧霞，高建全.求解指定第一和第二基本形式的曲面方程的方法[J].吉首大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2013,34(6):4-8.

(責(zé)任編輯 向陽潔)

MatrixMethodofFundamentalEquationofCurvedSurface

XING Jiasheng1,GAO Jianquan2,LUO Xiuhua2

(1.Department of Mathematics,LMIB of the Ministry of Education,Beihang University,Beijing 100191，China;2.Pingdingshan Institute of Education,Pingdingshan 467000,He’nan China)

A method to deduce the curved surface structure equation from matrix equations is introduced.This method replaces complicated tensor mark relation with the matrix fundamental operation,so that the deducing process becomes easier and clearer.

fundamental equation of curved surface;curved surface structure equation;matrix multiplication;Gauss curvature

1007-2985(2014)03-0004-07

2013-07-20

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201020)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽人,北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授,博士，主要從事偏微分方程、微分幾何研究.

O186.1

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.03.002