T型耦合板結構振動特性研究

史冬巖， 石先杰， 王青山， 李文龍， 谷靜靜

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001；2.韋恩州立大學 機械工程系，底特律 密歇根 48202)

耦合板結構在實際工程應用中被廣泛應用，如航空航天、船舶結構、機械工程、土木工程和車輛工程等。只有詳細了解了耦合板結構振動特性才能更好地完成該類結構的設計，使得設計達到實際應用環(huán)境的要求。在耦合板結構中，當彎曲波傳遞到耦合邊界處時會在連接板中產(chǎn)生面內(nèi)的縱波和剪切波，而面內(nèi)波傳遞到耦合邊界處時也會有一部分轉(zhuǎn)換為彎曲波。由此可見耦合板的振動特性存在面內(nèi)和面外振動的耦合效應，振動特性較為復雜。因此，近年來越來越多的學者開始關注耦合板結構的振動特性分析。

對于耦合板的振動特性，Cremer等[1]基于彈性波傳播對兩個互成直角的無限大耦合板結構振動問題進行研究。Shen等[2]通過將彎曲位移函數(shù)幅值表示為坐標函數(shù)的線性組合得到了耦合板結構的彎曲振動的近似解。Kessissouglou等[3]采用功率流方法建立了單點力作用下L-型耦合板結構彎曲振動與面內(nèi)振動的求解模型，并且討論了面內(nèi)振動對于功率流傳遞特性的影響。在國內(nèi)，游進等[4]用能量有限元分析法對耦合板結構在受兩個不相關寬帶白噪聲激勵力作用下的能量響應和功率流特性進行了研究，并與統(tǒng)計能量分析法對比驗證該方法的正確性。李凱等[5]利用振動聲強及能量可視化技術研究耦合板結構中振動波傳遞及分布特性。閆安志等[6]利用導納功率流技術提出了耦合板結構的各子結構板的導納功率流模型，并導出了輸入到源級的彎曲波功率流表達式和傳遞到接受板的傳遞導納功率流表達式，對于兩板都為簡支邊界且耦合角度為直角的耦合板結構的共振模態(tài)響應可精確確定，杜敬濤[7]采用改進傅里葉級數(shù)方法對L型板結構振動特性進行了相關計算分析。綜上所述，現(xiàn)在大部分的研究都只局限于經(jīng)典邊界條件或者某些特定耦合角度的耦合板結構，對于任意彈性邊界和耦合情況(角度和位置)的T型耦合板結構研究還比較少見。

Li[8]提出了一種改進傅里葉級數(shù)方法分析任意邊界支撐下梁結構的彎曲振動特性。隨后該方法被相繼擴展應用到薄板、圓柱殼和組合結構分析中去。

本文將Li提出的方法擴展到T型耦合板結構自由振動特性分析。將T型耦合板結構面內(nèi)振動和面外振動位移函數(shù)表示為一種改進傅里葉級數(shù)形式(加速)。然后采用Rayleigh-Ritz方法求解基于能量原理的拉格朗日方程，得到關于位移級數(shù)展開系數(shù)的標準特征值問題。通過各個方向均勻分布的彈簧來模擬邊界支撐和耦合連接情況，通過改變相應彈簧剛度值大小而簡單地實現(xiàn)各種邊界條件及耦合連接。本文計算模型相比文獻[7]在表達式上更加簡潔，在求解過程中更加高效，并且可以計算任意邊界條件和耦合角度下T型耦合板結構的振動特性問題。

1 T型耦合板理論模型

1.1 模型描述

圖1 彈性邊界條件下耦合板結構模型

本文建立的T型耦合板結構模型及其相應的坐標系如圖1所示。整個耦合結構由板1和板2組成，板1位于x1-y1平面內(nèi)，而板2位于x2-y2平面內(nèi)。板1和板2具有相同的寬度，其長度和厚度分別為a1，a2，h1和h2。兩板通過公共邊界(x2=a2或x1=xc)連接，其相對位置關系通過耦合角度α和坐標x1=xc來描述。對于面外振動(彎曲振動)的邊界條件采用沿邊界均勻分布的橫向線性位移支撐和旋轉(zhuǎn)約束彈簧支撐來模擬，而面內(nèi)振動的邊界條件可以用法向位移及切向位移約束彈簧支撐來模擬。因此，采用四類彈簧均勻分布在各邊界上來模擬耦合板結構的邊界條件。為了后文描述方便，Kw11，kw11，knx11和kpx11四類邊界約束彈簧剛度分別用來描述邊x1=a1的面外、面內(nèi)振動的邊界條件。kcw，kcv，kcu和Kc四類耦合彈簧剛度被用來描述兩塊板之間的耦合效應，這四類耦合彈簧的應用，可以模擬耦合板結構不同的耦合效應，能更為準確地描述耦合板結構的振動特性。對于板2的耦合公共邊(x2=a2)，在該邊上僅存在耦合邊界彈簧。對于該耦合板結構模型，任意經(jīng)典邊界條件可以通過將相應的邊界約束彈簧剛度設定為零或者無窮大而簡單得到。同樣，四類耦合彈簧及耦合角度的不同取值將實現(xiàn)各種不同的耦合條件。

1.2 T型耦合板結構位移級數(shù)描述

在文獻[9]的基礎上，本文將T型耦合板結構中板結構的面外振動和面內(nèi)振動位移分別表示為一種改進傅里葉級數(shù)(加速):

(1)

(2)

(3)

其中，i表示板結構的編號，在本文研究中i的取值為1和2；Ai,mn，Bi,mn和Ci,mn代表傅里葉級數(shù)展開系數(shù)，

λaim=mπ/ai

(4)

λbn=nπ/b

(5)

對于面外振動位移函數(shù)，每個方向的位移函數(shù)由傅里葉余弦級數(shù)和四項單傅里葉正弦級數(shù)之和構成，而對于面內(nèi)振動位移則由傅里葉余弦級數(shù)和兩項單傅里葉正弦級數(shù)之和構成。這些補充的單傅里葉正弦級數(shù)被用來處理邊界上和當位移函數(shù)及其導數(shù)通過傅里葉展開擴展到整個x-y平面內(nèi)可能存在的不連續(xù)或跳躍。

1.3 模型求解

本文將傅里葉級數(shù)展開未知系數(shù)作為廣義坐標,采用Rayleigh-Ritz方法來進行求解。對于任何一個耦合結構系統(tǒng)其總的勢能和動能可以表示為：

(6)

(7)

對于本文所研究的T型耦合板結構中，Np取值為2。對于單個板結構其勢能和動能可以用位移函數(shù)表示為:

(8)

(9)

(10)

對于耦合角度非零的耦合結構系統(tǒng)而言，面內(nèi)與面外振動存在耦合效應，在對其進行振動分析時需要考慮板之間的耦合。在本文求解方法框架下，采用四類耦合彈簧來模擬板之間的耦合效應，存儲在耦合彈簧中的彈性勢能可以描述為:

kcu(ui|si=xc-uj|sj=ajcosα-wj|xj=ajsinα)2+kcv(vi|xi=xc-vj|xj=aj)2+Kc(?wi/?xi|xi=xc-?wj/?xj|xi=aj)2]dyi

(11)

其中，kcw，kcu，kcv和Kc是如圖1所示的四類用于模擬板之間耦合效應的四類耦合彈簧剛度，α則為耦合板之間的角度，表征了板之間的相對位置。

經(jīng)典的漢密爾頓原理應用到耦合結構系統(tǒng):

(12)

將式(6)～(11)代入式(12)，然后使?jié)h密爾頓方程對傅里葉展開系數(shù)Ai,mn，Bi,mn和Ci,mn求極值，可以得到6個方程的線性方程組，然后將其進一步寫為矩陣形式為:

{K-ω2M}Φ=0

(13)

其中，K和M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。Φ是所有傅里葉級數(shù)展開的未知系數(shù)向量。

Φ={A1,mnB1,mnC1,mnA2,mnB2,mnC2,mn}T

(14)

由上述的推導可知，T型耦合板結構系統(tǒng)的模態(tài)特性(固有頻率及其對應的特征向量)可以通過求解式(13)所示的一個標準特征值問題而簡單得到。每個特征向量包含了構成相應結構模態(tài)所需要的所有的傅里葉展開系數(shù)，將得到的特征向量帶入式(1)，(2)和(3)即可繪制出真實的物理模態(tài)形狀。

2 數(shù)值計算結果與分析

2.1 模型驗證

表1 矩形板前6階模態(tài)參數(shù)(a/b=2)

通過表1和圖2、3的對比分析可知，所得的計算結果吻合良好，模態(tài)振型保持一致。因此，本文計算方法和計算模型是正確可靠的，收斂性良好。

圖2 本文方法計算得到的完全固支矩形板前4階模態(tài)振型

圖3 有限元分析軟件ABAQUS計算得到的完全固支矩形板前4階模態(tài)振型

2.2 T型耦合板模態(tài)特性研究

在驗證本文方法正確性和可靠性的基礎上，對不同耦合位置及邊界條件下耦合板結構模態(tài)特性進行分析。為了簡化整個計算過程，假定兩板具有相同的厚度與寬度，h1=h2=0.005 m和b=1 m。兩板的長度分別為a1=1.5 m和a2=1.0 m。兩塊板的材料參數(shù)為：楊氏模量E=71×109N/m2，質(zhì)量密度ρ=2 700 kg/m3和泊松比μ=0.3。

首先，考慮耦合角度為90°，耦合位置xc=a1/2的T型耦合板結構。板1的所有邊的面外振動和面內(nèi)振動邊界條件均為固支。板2中沿邊界x2=0，y2=0和y2=b的面外與面內(nèi)振動邊界條件也同樣設定為固支邊界條件。表2列出了本文方法與ABAQUS計算所得剛性耦合板前6階固有頻率。對于T型板耦合結構的模態(tài)振型可以通過將相應的傅里葉展開系數(shù)向量代入到其位移函數(shù)表達式方程(1)～(3)而方便地得到。從表2中的對比數(shù)據(jù)分析可知，本文方法的預測結果與有限元軟件ABAQUS計算結果吻合良好。剛性耦合T型板結構的前6階模態(tài)振型如圖4所示。

表2 剛性耦合條件下T型耦合板結構固有頻率(xc=a1/2)

圖4 剛性耦合條件下T型板結構前6階模態(tài)振型(xc=a1/2)

表3 不同耦合情況下耦合板結構系統(tǒng)固有頻率(Hz)

“a”為有限元分析軟件ABAQUS計算結果

在剛性耦合條件下，研究不同耦合情況(耦合位置和耦合角度)下耦合板結構系統(tǒng)的模態(tài)特性。對于板1和板2的非耦合公共邊的面外與面內(nèi)振動邊界條件分別為簡支和固支。不同耦合情況下耦合板結構系統(tǒng)的前6階固有頻率如表3所示。從表3可知，對于在板1上一定位置耦合板2，耦合角度對耦合板結構系統(tǒng)的固有頻率影響不大。對于耦合公共邊在板1的位置xc對結構系統(tǒng)的固有頻率敏感度較大。但耦合邊在板1的位置xc=0 m時，T型板結構演變?yōu)長型耦合板結構。由此可知，本文所建立的耦合板結構模型可以通過改變相應參數(shù)而簡便地實現(xiàn)不同類型耦合板結構的振動分析。

當耦合彈簧剛度發(fā)生相應改變，即可模擬彈性耦合板結構系統(tǒng)?，F(xiàn)考慮耦合位置α=90°和xc=0.75 m時的耦合板結構系統(tǒng)，耦合彈簧的剛度分別取Kc=105Nm/rad，kcu=104N/m，kcv=104N/m和kcw=104N/m。板1中所有的面外和面內(nèi)振動邊界條件分別為簡支和固支。板2中x2=0，y2=0和y2=b面外和面內(nèi)振動邊界條件也同樣設置為簡支和固支。表4列出了該種工況下耦合板結構系統(tǒng)的前6階固有頻率。通過對表4中的數(shù)據(jù)進行分析可知，本文方法能夠較為準確地預測彈性耦合條件下板結構系統(tǒng)的模態(tài)特性。

當耦合角度改變?yōu)?5°時，邊界條件不變，將耦合彈簧的剛度修改為Kc=107Nm/rad，kcv=104N/m和kcw= 104N/m。此時耦合板結構系統(tǒng)的前6階固有頻率如表5所示。表5說明兩組計算結果吻合良好，驗證了本文方法對于耦合結構系統(tǒng)具有良好的預測精度。

表4 耦合彈簧剛度為Kc=105 Nm/rad，kcu =104 N/m，kcv =104 N/m和kcw= 104 N/m下T型耦合板結構固有頻率(xc=a1/2)

表5 耦合彈簧剛度為Kc=107 Nm/rad，kcv =104N/m和kcw= 104 N/m下耦合角度為45°T型耦合板結構固有頻率(xc=a1/2)

最后，考慮在彈性支撐條件下的彈性耦合板結構系統(tǒng)，為了簡化過程，本文假定所有邊界彈簧和耦合彈簧剛度值均取為105，耦合位置xc=0.75 m，耦合角度α=90°。表6列出了耦合板結構系統(tǒng)的前6階固有頻率。

表6 所有彈簧剛度值為105,耦合角度為90°下耦合板結構固有頻率(xc=a1/2)

3 結 論

本文采用一種改進的傅里葉級數(shù)方法，對T型耦合板結構自由振動特性進行求解分析。將T型耦合板結構位移函數(shù)不變地表示為一種改進的加速傅里葉級數(shù)形式，采用Rayleigh-Ritz方法求解基于能量原理的拉格朗日方程，得到關于未知位移級數(shù)傅里葉展開系數(shù)的標準特征值問題。采用各個方向均勻分布的彈簧來模擬邊界支撐及耦合連接，可以通過改變彈簧剛度值而簡單實現(xiàn)各種邊界條件及耦合連接的模擬。采用本文方法對T型耦合板結構進行了自由振動特性分析，通過與有限元結果相對比驗證本文方法的正確性和適用性。本文方法可以方便地擴展到多板耦合結構系統(tǒng)動態(tài)特性分析。

參 考 文 獻

[1]Cremer L,Heckl M,Ungar.E E.Structure-borne Sound[M].2nded.Berlin: Springer Verlag,2005.

[2]Shen Y,Gibbs B M.An approximate solution for the bending vibrations of a combination of rectangular thin plates [J].Journal of Sound and Vibration,1986,105(1)：73-90.

[3]Kessissoglou N J.Power transmission in L-shaped plates including flexural and in-plane vibration [J].Journal of the Acoustical Society,2004,115: 1157-1169.

[4]游 進，李鴻光，孟 光.耦合板結構隨機能量有限元分析[J].振動與沖擊,2009,28(11): 43-46.

YOU Jin,LI Hong-guang,MENG Guang.Random energy finite element analysis of coupled plate structures [J].Journal of vibration and shock,2009,28(11): 43-46.

[5]李 凱，黎 勝，趙德有.耦合板結構振動波傳遞及能量分布可視化研究[J].船舶力學,2011,15(4): 419-426.

LI Kai,LI Sheng,ZHAO De-you.Visualizing vibration wave flow characteristics in plate structures by vibration intensity techniques [J].Journal of ship mechanics,2011,15(4): 419-426.

[6]閆安志，崔潤卿.耦合板的導納功率流[J].焦作工學院學報(自然科學版).2001,20(2): 144-147.

YAN An-zhi， CUI Run-qing.Mobility power-flow through plate like coupled structures [J].Journal of Jiaozuo institute of technology,2001,20(2): 144-147.

[7]Du J,Li W L,Liu Z,et al.Free vibration of two elastically coupled rectangular plates with uniform elastic boundary restraints[J].Journal of Sound and Vibration,2011,330(4):788-804.

[8]Li W L.Free vibrations of beams with general boundary conditions[J].Journal of Sound and Vibration,2000，237(4)：709-725.

[9]Li W L.Vibration analysis of rectangular plates with general elastic boundary supports [J].Journal of Sound and Vibration,2004,273(3)：619-635.