新課程改革下校本數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)發(fā)的實(shí)踐和認(rèn)識(shí)

陸曉峰+汪洋濤

摘 要 問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心。新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)是主動(dòng)的、開(kāi)放的、富有探索性的。正因?yàn)榇?，根?jù)新教材內(nèi)容開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)問(wèn)題就成為了一種需要。本文就解決這一問(wèn)題列舉了一部分案例，闡述了一些符合教學(xué)實(shí)際的校本數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)發(fā)的途徑和方法。

關(guān)鍵詞 問(wèn)題開(kāi)發(fā) 生成 整合 孕育

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2014）17-0104-03

隨著根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫(xiě)的實(shí)驗(yàn)教材在各地的逐步使用，一線教師普遍感到與新教材配套的數(shù)學(xué)問(wèn)題太少，遠(yuǎn)遠(yuǎn)滿足不了教學(xué)的需要。為了解決這一問(wèn)題，我們嘗試開(kāi)發(fā)和編制符合本校教學(xué)實(shí)際的校本數(shù)學(xué)問(wèn)題。近兩年來(lái)，我們摸索了一些途徑，開(kāi)發(fā)和編擬了一批新的數(shù)學(xué)問(wèn)題充實(shí)教學(xué)，在教學(xué)中發(fā)揮了較好的效果和作用。

一、創(chuàng)設(shè)情景，在積極探索中生成新的資源

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)是主動(dòng)的、開(kāi)放的、富有探索性的。我們對(duì)一些能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、訓(xùn)練基本技能和基本方法的傳統(tǒng)問(wèn)題，結(jié)合新的理念，創(chuàng)設(shè)新的問(wèn)題情景，努力構(gòu)建學(xué)生參與的舞臺(tái)，讓學(xué)生從情景中感受問(wèn)題并加以解決深化。

案例1：已知sin€%Z·cos€%[=，求sin€%Z·cos€%[的取值范圍。

（方案一）：現(xiàn)某同學(xué)在計(jì)算sin€%Z·cos€%[的取值范圍時(shí)解答過(guò)程如下：

∵sin€%Z·cos€%[與cos€%Z·sin€%[恰好是兩角和與差的正弦公式的一部分，令m=sin€%Z·cos€%[，則由+m=sin（€%Z+€%[）∈[-1，1]，得m∈[-，] -m=sin（€%Z+€%[）∈[-1，1]，得m∈[-，]，兩者綜合得m∈[-，]你認(rèn)為上述解法正確嗎？合理嗎？能給出你的評(píng)判意見(jiàn)嗎？

這樣改造，一改往日的老師講授，學(xué)生接受的填鴨式情景，賦予問(wèn)題新的活力，使得問(wèn)題的趣味性、開(kāi)放性、挑戰(zhàn)性和參與性都大大增強(qiáng)。很快，在大家的積極參與下，問(wèn)題的不同解決方案和評(píng)判結(jié)果不斷涌現(xiàn)：

方案二：由二倍角公式有

m=2sin€%Zcos€%[·cos€%Zsin€%[=sin2€%Zsin2€%[∈[-，]

方案三：利用平方關(guān)系化歸為與已知條件類似的結(jié)構(gòu)，則|m|==，∵sin2€%Z+cos2€%[≥2|sin€%Zcos€%[|=1，∴m∈[-，]

評(píng)判1：對(duì)于方案1，易犯以偏概全的錯(cuò)誤，只有同時(shí)考慮sin（€%Z+€%[）、sin（€%Z-€%[）的兩個(gè)范圍，才不會(huì)顧此失彼。況且，除上述兩個(gè)約束條件外，是否還會(huì)受到其他的條件的制約？

評(píng)判2：方案2簡(jiǎn)捷明快，令人嘆服。但是條件若改為sin€%Z·cos€%[=，仿原方法有m∈[-，]另一方面，根據(jù)三角函數(shù)的有界性至多可以有m≤1，因此，上述范圍太大了。

評(píng)判3：對(duì)于方案3，他體現(xiàn)了化歸的思想，且容易將命題推廣為：若sin€%Z·cos€%[=a（|a|≤1），則|m|≤1-|a|，顯然，當(dāng)a=時(shí)，|m|≤，當(dāng)a=時(shí)，|m|≤?？梢?jiàn)，方案2得到的結(jié)果雖然正確，但實(shí)質(zhì)沒(méi)有注意命題轉(zhuǎn)換的等價(jià)性，像是瞎貓逮著死老鼠——湊巧了！

為傳統(tǒng)問(wèn)題創(chuàng)設(shè)新的情景，為學(xué)生探究學(xué)習(xí)鋪路架橋，既可以為學(xué)生提供探索的廣闊空間，又可以為學(xué)生提供再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的機(jī)會(huì)，并在這樣的探索活動(dòng)中培養(yǎng)及提高他們的創(chuàng)新能力。

二、轉(zhuǎn)變觀念，在新老交替中整合新的資源

《課程改革綱要（試行）》中明確提出：“大力推行信息技術(shù)在教學(xué)過(guò)程中的普遍應(yīng)用，促進(jìn)信息技術(shù)與學(xué)科課程的整合，逐步實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式的變革，充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學(xué)習(xí)工具”。新教材與老教材相比，在體系編排上的變化大，新教材注重信息技術(shù)等現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)在解決問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的作用。如何實(shí)現(xiàn)這種理念，鞏固新課程的這種變革成果，最關(guān)鍵的是要開(kāi)發(fā)更多的問(wèn)題資源。將老教材的許多經(jīng)典問(wèn)題進(jìn)行新理念下、新體系下的整合，是我們獲得問(wèn)題資源的又一個(gè)有效途徑。

案例2：網(wǎng)絡(luò)教室中一人一機(jī)環(huán)境下對(duì)直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究。

（1）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景

① 已知雙曲線x2-y2=4，直線l過(guò)點(diǎn)P（0，2），問(wèn)直線l何時(shí)與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？（經(jīng)典老問(wèn)題）

② 在計(jì)算機(jī)上觀察所求出的四條直線的位置特征。

③ 問(wèn)題：若點(diǎn)P在平面內(nèi)的其他位置時(shí)，過(guò)該點(diǎn)且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？

（2）實(shí)驗(yàn)探究

借助幾何畫(huà)板在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行自主探究或協(xié)作探究。在本例中，直線 過(guò)定點(diǎn)P（0，2），學(xué)生在計(jì)算機(jī)繞P（0，2）旋轉(zhuǎn)直線，發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線l與雙曲線相切或與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線 與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。這個(gè)規(guī)律是否有普遍性？教師再提問(wèn)：若點(diǎn)P在平面的其他位置，過(guò)該點(diǎn)并且與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條？學(xué)生再實(shí)驗(yàn)探究點(diǎn)P在各種不同位置時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線條數(shù)。

（3）提出猜想：在本例中，學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，大膽提出猜想：只要直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線就只有一個(gè)交點(diǎn)。

（4）驗(yàn)證猜想：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)演繹推理來(lái)驗(yàn)證猜想的正確性，或通過(guò)反例來(lái)否定。

（5）問(wèn)題的拓展

①給定雙曲線和定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)與雙曲線有二個(gè)交點(diǎn)的直線有幾條？過(guò)定點(diǎn)與雙曲線有三個(gè)交點(diǎn)的直線有幾條？

②對(duì)于上面討論的問(wèn)題，其他圓錐曲線又如何？

問(wèn)題不是新的，但過(guò)程和方法卻不是舊的，在觀念的變革下，原有的課程內(nèi)容也能在相當(dāng)大的程度上支持學(xué)生的研究性學(xué)習(xí)和實(shí)驗(yàn)探索。由此可見(jiàn)，將老教材的許多經(jīng)典問(wèn)題進(jìn)行新理念下的整合，為我們開(kāi)啟了另一個(gè)資源豐富的問(wèn)題礦。endprint

三、關(guān)注課堂，在思維碰撞中生成新的問(wèn)題資源

新理念下的課堂教學(xué)仍是我們教學(xué)的主陣地，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的思維活動(dòng)往往不一定能按照教師預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)進(jìn)行，有時(shí)會(huì)提出意想不到的問(wèn)題，這些偶發(fā)事件出現(xiàn)時(shí)所生成的資源有時(shí)正是探究的好時(shí)機(jī)及好題材。

案例3：學(xué)完平均值定理后，出了這樣一個(gè)練習(xí)給學(xué)生。

已知x，y∈R+，且2x+3y=4，求+的最小值。

學(xué)生嘗試后很快就得到正確的解法：

+=（2x+3y）（+）=（5++）≥（5+2），

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以+的最小值為（5+2）突然有一個(gè)學(xué)生提出：若問(wèn)題的條件不變，不求+的最小值，而是求+的最小值，怎樣求呢？

面對(duì)這偶然出現(xiàn)的問(wèn)題，事前老師對(duì)此毫無(wú)思想準(zhǔn)備，該怎么辦？敷衍過(guò)去吧，則打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，降低學(xué)習(xí)熱情，更嚴(yán)重的是失去了一次難得的探究性活動(dòng)的好時(shí)機(jī)和好題材。最后老師還是鼓勵(lì)學(xué)生來(lái)探究，但為了便于問(wèn)題的解決，可將條件變得簡(jiǎn)單一些，比如改成x+y=2。過(guò)了幾分鐘就有兩位同學(xué)研究出來(lái)。

∵x>0，y>0且x+y=2

∴+=（x+y）2（+）=（++++2）

=[2+（++）+（++）]≥（2+3+3）=2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，則+的最小值是2。

學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有一個(gè)不斷深化的過(guò)程，但他們的創(chuàng)造力是巨大的，他們竟然找到了平均分拆法，說(shuō)明了他們已經(jīng)掌握了運(yùn)用平均值定理的精髓。同時(shí)也說(shuō)明了他們初步學(xué)會(huì)了擬造數(shù)學(xué)題的基本方法，比如改變?cè)}的條件或結(jié)論，將原題的條件，結(jié)論一般化或特殊化等都可以變出新的問(wèn)題。例如

變題1 已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值。

變題2 已知a，b，c，p，q都是正常數(shù)，x，y是正變量，且ax+by=c，求+的最小值。

偶發(fā)事件的出現(xiàn)使生成性的資源帶有偶然性，教師應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)，善于引導(dǎo)，趁熱打鐵，以此作為“材料”給學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓學(xué)生多角度探索問(wèn)題，加深對(duì)教材內(nèi)容的理解。

四、留心生活，在感受與思考中孕育新的問(wèn)題資源

理論源于實(shí)踐，問(wèn)題始于觀察。善于從生活中獲取知識(shí)，也善于將學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)視角觀察世界和數(shù)學(xué)思維思考世界的習(xí)慣，也是我們獲取豐富問(wèn)題資源的又一有效途徑。

案例4：（1）在生活中有這樣一種現(xiàn)象：手電筒、汽車燈發(fā)出的光線經(jīng)拋物反射面反射后，反射光線成平行直線射出，為什么呢？能結(jié)合我們所學(xué)的基本知識(shí)解釋這種現(xiàn)象的原因嗎？

（2）隨著改革開(kāi)放的推進(jìn)，人們經(jīng)濟(jì)生活中的一些消費(fèi)觀念、消費(fèi)方式也在悄然發(fā)生變化，借銀行的錢(qián)適度超前消費(fèi)已漸漸成為人們生活的新時(shí)尚。據(jù)報(bào)道：某市消費(fèi)者去年一年從各家銀行借走了28億元，創(chuàng)下本市消費(fèi)信貸新增額、余額的歷史新高。而住房貸款依然是本市銀行消費(fèi)信貸的主打品種。去年這個(gè)品種新增發(fā)放額達(dá)18.12億元，占全部消費(fèi)信貸發(fā)放額的65﹪左右。由此可見(jiàn)，分期付款在當(dāng)今經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用已日益廣泛。在分期付款的有關(guān)計(jì)算中，人們往往關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題，其一：每期應(yīng)付額是多少？因?yàn)檫@涉及到償還能力；其二：分期付款方式比一次性付款方式多支付了多少錢(qián)？因?yàn)檫@將直接影響人們選擇付款方式的決策。老王欲購(gòu)買(mǎi)新房一套，現(xiàn)向銀行貸款10萬(wàn)元，分5年還清，已知中國(guó)工商銀行5年期住房的月利率為4.425‰，且分期付款中每期所付款額是相同的，每月利息按復(fù)利計(jì)算，能否幫老王計(jì)算一下分期付款方式比一次性付款方式多付了多少錢(qián)嗎？

（3）一游戲規(guī)則：一個(gè)布袋內(nèi)裝有6個(gè)紅球與6個(gè)白球，除顏色不同外，6個(gè)球完全一樣，每次從袋中摸6個(gè)球，輸贏的規(guī)則為：6個(gè)全紅 贏得100元； 5紅一白 贏得50元；4紅2白 贏得20元；3紅3白 輸100元；2紅4白 贏得20元；1紅5白 贏得50元；6個(gè)全白 贏得100元；如果你摸出了3紅3白則輸100元，而對(duì)于其他六種情況，你均能贏得相應(yīng)的錢(qián)數(shù)，而不用花其他的錢(qián)，怎么樣？動(dòng)心了嗎？

（4）2005年10月27日全國(guó)人大通過(guò)了關(guān)于修改個(gè)人所得稅法的決定，工薪所得減除費(fèi)用從800元提高到1600元，也就是說(shuō)原來(lái)月收入超過(guò)800元部分就要納稅，2006年1月1日開(kāi)始超過(guò)1600元才需納稅，若稅法修改前后超過(guò)部分的稅率相同，如下表：

小張的爸爸2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，則按照新稅法只需交納多少元？

數(shù)學(xué)源于生活，那么體驗(yàn)生活，感受社會(huì)應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)要求。我們要把數(shù)學(xué)內(nèi)容看成是“學(xué)生素質(zhì)”的載體，將教學(xué)的觸角延伸到社會(huì)，科技及生活的每個(gè)方面，并從中及時(shí)吸收一些既符合學(xué)生認(rèn)知要求又契和素質(zhì)教育的內(nèi)容，賦予教與學(xué)以新的活力。同時(shí)要善于從生活中提出問(wèn)題，并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行充分的開(kāi)發(fā)和重新挖掘，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心。數(shù)學(xué)教學(xué)都是在不斷提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中展開(kāi)的。校本數(shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)發(fā)，有效的填補(bǔ)了新時(shí)期課改中問(wèn)題資源的不足，鞏固了課改的新成果，也是開(kāi)發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的有效形式。

（責(zé)任編輯 全 玲）endprint

三、關(guān)注課堂，在思維碰撞中生成新的問(wèn)題資源

新理念下的課堂教學(xué)仍是我們教學(xué)的主陣地，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的思維活動(dòng)往往不一定能按照教師預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)進(jìn)行，有時(shí)會(huì)提出意想不到的問(wèn)題，這些偶發(fā)事件出現(xiàn)時(shí)所生成的資源有時(shí)正是探究的好時(shí)機(jī)及好題材。

案例3：學(xué)完平均值定理后，出了這樣一個(gè)練習(xí)給學(xué)生。

已知x，y∈R+，且2x+3y=4，求+的最小值。

學(xué)生嘗試后很快就得到正確的解法：

+=（2x+3y）（+）=（5++）≥（5+2），

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以+的最小值為（5+2）突然有一個(gè)學(xué)生提出：若問(wèn)題的條件不變，不求+的最小值，而是求+的最小值，怎樣求呢？

面對(duì)這偶然出現(xiàn)的問(wèn)題，事前老師對(duì)此毫無(wú)思想準(zhǔn)備，該怎么辦？敷衍過(guò)去吧，則打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，降低學(xué)習(xí)熱情，更嚴(yán)重的是失去了一次難得的探究性活動(dòng)的好時(shí)機(jī)和好題材。最后老師還是鼓勵(lì)學(xué)生來(lái)探究，但為了便于問(wèn)題的解決，可將條件變得簡(jiǎn)單一些，比如改成x+y=2。過(guò)了幾分鐘就有兩位同學(xué)研究出來(lái)。

∵x>0，y>0且x+y=2

∴+=（x+y）2（+）=（++++2）

=[2+（++）+（++）]≥（2+3+3）=2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，則+的最小值是2。

學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有一個(gè)不斷深化的過(guò)程，但他們的創(chuàng)造力是巨大的，他們竟然找到了平均分拆法，說(shuō)明了他們已經(jīng)掌握了運(yùn)用平均值定理的精髓。同時(shí)也說(shuō)明了他們初步學(xué)會(huì)了擬造數(shù)學(xué)題的基本方法，比如改變?cè)}的條件或結(jié)論，將原題的條件，結(jié)論一般化或特殊化等都可以變出新的問(wèn)題。例如

變題1 已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值。

變題2 已知a，b，c，p，q都是正常數(shù)，x，y是正變量，且ax+by=c，求+的最小值。

偶發(fā)事件的出現(xiàn)使生成性的資源帶有偶然性，教師應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)，善于引導(dǎo)，趁熱打鐵，以此作為“材料”給學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓學(xué)生多角度探索問(wèn)題，加深對(duì)教材內(nèi)容的理解。

四、留心生活，在感受與思考中孕育新的問(wèn)題資源

理論源于實(shí)踐，問(wèn)題始于觀察。善于從生活中獲取知識(shí)，也善于將學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)視角觀察世界和數(shù)學(xué)思維思考世界的習(xí)慣，也是我們獲取豐富問(wèn)題資源的又一有效途徑。

案例4：（1）在生活中有這樣一種現(xiàn)象：手電筒、汽車燈發(fā)出的光線經(jīng)拋物反射面反射后，反射光線成平行直線射出，為什么呢？能結(jié)合我們所學(xué)的基本知識(shí)解釋這種現(xiàn)象的原因嗎？

（2）隨著改革開(kāi)放的推進(jìn)，人們經(jīng)濟(jì)生活中的一些消費(fèi)觀念、消費(fèi)方式也在悄然發(fā)生變化，借銀行的錢(qián)適度超前消費(fèi)已漸漸成為人們生活的新時(shí)尚。據(jù)報(bào)道：某市消費(fèi)者去年一年從各家銀行借走了28億元，創(chuàng)下本市消費(fèi)信貸新增額、余額的歷史新高。而住房貸款依然是本市銀行消費(fèi)信貸的主打品種。去年這個(gè)品種新增發(fā)放額達(dá)18.12億元，占全部消費(fèi)信貸發(fā)放額的65﹪左右。由此可見(jiàn)，分期付款在當(dāng)今經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用已日益廣泛。在分期付款的有關(guān)計(jì)算中，人們往往關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題，其一：每期應(yīng)付額是多少？因?yàn)檫@涉及到償還能力；其二：分期付款方式比一次性付款方式多支付了多少錢(qián)？因?yàn)檫@將直接影響人們選擇付款方式的決策。老王欲購(gòu)買(mǎi)新房一套，現(xiàn)向銀行貸款10萬(wàn)元，分5年還清，已知中國(guó)工商銀行5年期住房的月利率為4.425‰，且分期付款中每期所付款額是相同的，每月利息按復(fù)利計(jì)算，能否幫老王計(jì)算一下分期付款方式比一次性付款方式多付了多少錢(qián)嗎？

（3）一游戲規(guī)則：一個(gè)布袋內(nèi)裝有6個(gè)紅球與6個(gè)白球，除顏色不同外，6個(gè)球完全一樣，每次從袋中摸6個(gè)球，輸贏的規(guī)則為：6個(gè)全紅 贏得100元； 5紅一白 贏得50元；4紅2白 贏得20元；3紅3白 輸100元；2紅4白 贏得20元；1紅5白 贏得50元；6個(gè)全白 贏得100元；如果你摸出了3紅3白則輸100元，而對(duì)于其他六種情況，你均能贏得相應(yīng)的錢(qián)數(shù)，而不用花其他的錢(qián)，怎么樣？動(dòng)心了嗎？

（4）2005年10月27日全國(guó)人大通過(guò)了關(guān)于修改個(gè)人所得稅法的決定，工薪所得減除費(fèi)用從800元提高到1600元，也就是說(shuō)原來(lái)月收入超過(guò)800元部分就要納稅，2006年1月1日開(kāi)始超過(guò)1600元才需納稅，若稅法修改前后超過(guò)部分的稅率相同，如下表：

小張的爸爸2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，則按照新稅法只需交納多少元？

數(shù)學(xué)源于生活，那么體驗(yàn)生活，感受社會(huì)應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)要求。我們要把數(shù)學(xué)內(nèi)容看成是“學(xué)生素質(zhì)”的載體，將教學(xué)的觸角延伸到社會(huì)，科技及生活的每個(gè)方面，并從中及時(shí)吸收一些既符合學(xué)生認(rèn)知要求又契和素質(zhì)教育的內(nèi)容，賦予教與學(xué)以新的活力。同時(shí)要善于從生活中提出問(wèn)題，并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行充分的開(kāi)發(fā)和重新挖掘，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心。數(shù)學(xué)教學(xué)都是在不斷提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中展開(kāi)的。校本數(shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)發(fā)，有效的填補(bǔ)了新時(shí)期課改中問(wèn)題資源的不足，鞏固了課改的新成果，也是開(kāi)發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的有效形式。

（責(zé)任編輯 全 玲）endprint

三、關(guān)注課堂，在思維碰撞中生成新的問(wèn)題資源

新理念下的課堂教學(xué)仍是我們教學(xué)的主陣地，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生的思維活動(dòng)往往不一定能按照教師預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)進(jìn)行，有時(shí)會(huì)提出意想不到的問(wèn)題，這些偶發(fā)事件出現(xiàn)時(shí)所生成的資源有時(shí)正是探究的好時(shí)機(jī)及好題材。

案例3：學(xué)完平均值定理后，出了這樣一個(gè)練習(xí)給學(xué)生。

已知x，y∈R+，且2x+3y=4，求+的最小值。

學(xué)生嘗試后很快就得到正確的解法：

+=（2x+3y）（+）=（5++）≥（5+2），

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)。所以+的最小值為（5+2）突然有一個(gè)學(xué)生提出：若問(wèn)題的條件不變，不求+的最小值，而是求+的最小值，怎樣求呢？

面對(duì)這偶然出現(xiàn)的問(wèn)題，事前老師對(duì)此毫無(wú)思想準(zhǔn)備，該怎么辦？敷衍過(guò)去吧，則打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，降低學(xué)習(xí)熱情，更嚴(yán)重的是失去了一次難得的探究性活動(dòng)的好時(shí)機(jī)和好題材。最后老師還是鼓勵(lì)學(xué)生來(lái)探究，但為了便于問(wèn)題的解決，可將條件變得簡(jiǎn)單一些，比如改成x+y=2。過(guò)了幾分鐘就有兩位同學(xué)研究出來(lái)。

∵x>0，y>0且x+y=2

∴+=（x+y）2（+）=（++++2）

=[2+（++）+（++）]≥（2+3+3）=2當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào)，則+的最小值是2。

學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有一個(gè)不斷深化的過(guò)程，但他們的創(chuàng)造力是巨大的，他們竟然找到了平均分拆法，說(shuō)明了他們已經(jīng)掌握了運(yùn)用平均值定理的精髓。同時(shí)也說(shuō)明了他們初步學(xué)會(huì)了擬造數(shù)學(xué)題的基本方法，比如改變?cè)}的條件或結(jié)論，將原題的條件，結(jié)論一般化或特殊化等都可以變出新的問(wèn)題。例如

變題1 已知x>0，y>0，且+=1求x+y的最小值。

變題2 已知a，b，c，p，q都是正常數(shù)，x，y是正變量，且ax+by=c，求+的最小值。

偶發(fā)事件的出現(xiàn)使生成性的資源帶有偶然性，教師應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)，善于引導(dǎo)，趁熱打鐵，以此作為“材料”給學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓學(xué)生多角度探索問(wèn)題，加深對(duì)教材內(nèi)容的理解。

四、留心生活，在感受與思考中孕育新的問(wèn)題資源

理論源于實(shí)踐，問(wèn)題始于觀察。善于從生活中獲取知識(shí)，也善于將學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于生活，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)視角觀察世界和數(shù)學(xué)思維思考世界的習(xí)慣，也是我們獲取豐富問(wèn)題資源的又一有效途徑。

案例4：（1）在生活中有這樣一種現(xiàn)象：手電筒、汽車燈發(fā)出的光線經(jīng)拋物反射面反射后，反射光線成平行直線射出，為什么呢？能結(jié)合我們所學(xué)的基本知識(shí)解釋這種現(xiàn)象的原因嗎？

（2）隨著改革開(kāi)放的推進(jìn)，人們經(jīng)濟(jì)生活中的一些消費(fèi)觀念、消費(fèi)方式也在悄然發(fā)生變化，借銀行的錢(qián)適度超前消費(fèi)已漸漸成為人們生活的新時(shí)尚。據(jù)報(bào)道：某市消費(fèi)者去年一年從各家銀行借走了28億元，創(chuàng)下本市消費(fèi)信貸新增額、余額的歷史新高。而住房貸款依然是本市銀行消費(fèi)信貸的主打品種。去年這個(gè)品種新增發(fā)放額達(dá)18.12億元，占全部消費(fèi)信貸發(fā)放額的65﹪左右。由此可見(jiàn)，分期付款在當(dāng)今經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用已日益廣泛。在分期付款的有關(guān)計(jì)算中，人們往往關(guān)注兩個(gè)問(wèn)題，其一：每期應(yīng)付額是多少？因?yàn)檫@涉及到償還能力；其二：分期付款方式比一次性付款方式多支付了多少錢(qián)？因?yàn)檫@將直接影響人們選擇付款方式的決策。老王欲購(gòu)買(mǎi)新房一套，現(xiàn)向銀行貸款10萬(wàn)元，分5年還清，已知中國(guó)工商銀行5年期住房的月利率為4.425‰，且分期付款中每期所付款額是相同的，每月利息按復(fù)利計(jì)算，能否幫老王計(jì)算一下分期付款方式比一次性付款方式多付了多少錢(qián)嗎？

（3）一游戲規(guī)則：一個(gè)布袋內(nèi)裝有6個(gè)紅球與6個(gè)白球，除顏色不同外，6個(gè)球完全一樣，每次從袋中摸6個(gè)球，輸贏的規(guī)則為：6個(gè)全紅 贏得100元； 5紅一白 贏得50元；4紅2白 贏得20元；3紅3白 輸100元；2紅4白 贏得20元；1紅5白 贏得50元；6個(gè)全白 贏得100元；如果你摸出了3紅3白則輸100元，而對(duì)于其他六種情況，你均能贏得相應(yīng)的錢(qián)數(shù)，而不用花其他的錢(qián)，怎么樣？動(dòng)心了嗎？

（4）2005年10月27日全國(guó)人大通過(guò)了關(guān)于修改個(gè)人所得稅法的決定，工薪所得減除費(fèi)用從800元提高到1600元，也就是說(shuō)原來(lái)月收入超過(guò)800元部分就要納稅，2006年1月1日開(kāi)始超過(guò)1600元才需納稅，若稅法修改前后超過(guò)部分的稅率相同，如下表：

小張的爸爸2005年9月交納個(gè)人所得稅123元，則按照新稅法只需交納多少元？

數(shù)學(xué)源于生活，那么體驗(yàn)生活，感受社會(huì)應(yīng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)要求。我們要把數(shù)學(xué)內(nèi)容看成是“學(xué)生素質(zhì)”的載體，將教學(xué)的觸角延伸到社會(huì)，科技及生活的每個(gè)方面，并從中及時(shí)吸收一些既符合學(xué)生認(rèn)知要求又契和素質(zhì)教育的內(nèi)容，賦予教與學(xué)以新的活力。同時(shí)要善于從生活中提出問(wèn)題，并對(duì)有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行充分的開(kāi)發(fā)和重新挖掘，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心。數(shù)學(xué)教學(xué)都是在不斷提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程中展開(kāi)的。校本數(shù)學(xué)問(wèn)題的開(kāi)發(fā)，有效的填補(bǔ)了新時(shí)期課改中問(wèn)題資源的不足，鞏固了課改的新成果，也是開(kāi)發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的有效形式。

（責(zé)任編輯 全 玲）endprint