《常微分方程》教學中培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力的研究*

汪 軼

(皖西學院金融與數(shù)學學院 安徽六安 237012)

《常微分方程》教學中培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力的研究*

汪 軼

(皖西學院金融與數(shù)學學院 安徽六安 237012)

常微分方程是數(shù)學理論聯(lián)系實際的重要渠道。但由于其理論的抽象性又給常微分的教學和學習帶來了諸多困難，從而遏制了學生數(shù)學應用的能力.為解決這一問題，結合作者本身教學實踐，本文討論了在教學過程中實現(xiàn)教與學互動的對策和培養(yǎng)學生應用能力的幾點思考.

常微分方程，教學互動，數(shù)學應用

眾所周知，高度的抽象性，嚴密的邏輯性和廣泛的應用性是數(shù)學的主要特點，常微分方程更是體現(xiàn)了數(shù)學的應用性這一特點.具有較強的抽象和應用能力是學好數(shù)學的重要因素之一，我系數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)開設的常微分課程主要介紹常微分的基本內容.通過該課程的學習，可以加深對數(shù)學分析和線性代數(shù)等課程的一些基本概念，理論和方法的理解.而常微分方程教材的內容大多是一些以理論分析和理論推導為主的純數(shù)學知識.如果在教學中只講基礎知識和方程解法，而不注重培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，就違背了數(shù)學發(fā)展的初衷.因此，在教學互動過程中要在不斷深化學生原有知識的基礎之上，幫助學生建立起新的知識體系，掌握把實際問題歸結為適當?shù)臄?shù)學模型的途徑和方法，提高數(shù)學應用的能力.

常微分方程理論的抽象性以及如何將實際問題抽象成數(shù)學問題給教和學帶來了許多困難和不便，尤其對初學者來說，更易望而生畏.因此，在組織教學以及教學互動環(huán)節(jié)中，應考慮做到這樣幾個方面：①注重微分方程的實際背景，認識到抽象的合理性；②重視微分方程本身的基礎理論，對比分析各學科定理之間的關聯(lián)性；③注重對比分析，科學提煉課程教學內容，把握抽象問題之間的聯(lián)系，提高學生的數(shù)學應用的能力.

1 注重微分方程的實際背景，認識到抽象的合理性

微分方程是數(shù)學理論聯(lián)系實際的重要渠道之一.由于微分方程很多是由生產實際或由有關的學科推導得來，而不是主觀臆造的，當以某種方法解決了問題以后，還需回到生產實踐中去.因此，對于怎樣建立方程、建立什么樣的方程、如何求解、以及方程的解如何回過頭來解釋實際現(xiàn)象，在課堂教學中應該予以十分的重視.尤其對于較復雜的實際問題，要能建立起合適的微分方程是不容易的；必須對問題的本質有深刻了解，并且純熟地掌握數(shù)學和物理學等相關學科的工具才能夠辦到，下面以教學中的實例說明.

例如：拋射體的運動問題.

在教學過程中對于這個問題的討論，按照不同的背景，適當略去不重要的因素建立合適的數(shù)學模型：

(1)近地、低速、鉛直方向運動情形

(2) 近地、高速、鉛直方向運動情形

(3) 遠地、低速、鉛直方向運動情形

以及拋射角小于π/2，分別不考慮空氣阻力和考慮空氣阻力時的運動方程組情形，這里略去.

在教學中，通過本例進一步解釋發(fā)射人造地球衛(wèi)星的3個階段：① 衛(wèi)星百公里內的稠密大氣層的加速段；②百公里外的慣性自由飛行段；③遠地點火箭再次點火的進入預定軌道段.這樣就可以使得學生初步理解建模的基本步驟并提高學習興趣.

2 重視對比分析各學科定理之間的關聯(lián)性

每個數(shù)學學科都由一系列的概念，定理構成.微分方程除了密切聯(lián)系實際外，更有自己的基礎理論.如皮卡存在唯一性定理、解析理論、定性理論和數(shù)值分析等.這些基礎理論的建立，有賴于數(shù)學其他分支的幫助.注重對比分析，把握抽象問題之間的聯(lián)系.通過對比，聯(lián)想概念和定理條件，結論之間的異同和特點，挖掘出每個概念，定理的條件及結論的關鍵和本質，以培養(yǎng)學生抽象思維的深刻性和理解概念，分清定理的實質的能力.例如在教學中理清線性代數(shù)與一階線性方程組之間的密切聯(lián)系；常系數(shù)高次線性方程與代數(shù)方程的關系等.在本課程的教學過程中，使學生在掌握本課程知識的同時又可以看到微積分、線性代數(shù)和物理學中的相關知識是要經常用到的，同時學生通過學習可以感受到微分方程課程也是訓練掌握微積分、線性代數(shù)和物理學的一個很好的場所.

例如，在教學中，對于高階線性方程或一階線性方程組解的結構問題，可以通過圖示的方式列出相關知識的聯(lián)系，以便于學生在大腦中形成知識網絡與體系.

齊線性方程(組)的疊加原理→函數(shù)(向量)組的線性相關慨念→齊線性方程的通解并與齊次線性方程組解空間的結構相比較.

對于用逆算子求高階常系數(shù)非齊次線性方程的特解時，可將非齊次項的三種類型歸結為如下的基本類型：

基本類型：p(D)y=eλxφ(x)

其中φ(x)為任意充分可微函數(shù)，p(D)為微分多項式算子

則其特解為：

并在教學中與高等代數(shù)中線性變換的相關知識點進行比較，可以幫助學生把握各課程知識點之間的聯(lián)系從而迅速掌握它們.

3 科學提煉教學內容，提高學生的數(shù)學應用的能力

不少國內外常微分方程教材片面的重視數(shù)學理論的系統(tǒng)性，有的雖然列舉了較多的聯(lián)系實際的例子，其目的主要也是作為驗證理論之用.這樣雖然講了很多解題方法，但難免各不相干，雖然理論也不少，但事實證明學生學后易忘，可以嘗試在教學過程中結合本校實際情況科學提煉教材內容，將教學內容分為3個模塊：理論模塊，本模塊主要講解一階微分方程的存在唯一定理；線性方程(組)解的結構理論和解的穩(wěn)定性理論。解方程模塊，本模塊是理論模塊的落腳點之一，其內容分散在各章中，類型多，內容雜，要及時歸類并加強訓練。應用模塊，除在每章或某一節(jié)的引入通過實際問題建立模型外還結合Matlab等數(shù)學軟件來求解一些方程的解再返回到實際問題中去，來解釋某些實際現(xiàn)象。在3個教學模塊中均以工程、物理、力學等方面最常遇到的彈簧系統(tǒng)的振動、單擺擺動和前述的拋射體運動等三類問題作為自始至終貫穿教學過程的中心問題.方程由簡單到復雜，由線性到非線性，或由單一的方程到方程組；在處理方法上則由求通解到只作定性或穩(wěn)定性的討論.這樣，一方面可以把教材的大部分內容有機地聯(lián)系在一起；另一方面也可以藉此顯示數(shù)學理論聯(lián)系實際由淺入深的具體過程，以加深理解.只有在掌握了系統(tǒng)的微分方程理論，同時又知道這種理論如何應用于實際問題時，學到的東西才比較鞏固、踏實.

在教育過程中既要承認教師的主導地位，重視教師的主導作用，更要重視發(fā)揮學生的主動作用，體現(xiàn)學生的主體地位.因為在教學活動中，教師的主導作用是建立在學生的主體作用基礎之上的.同時，學生學習積極性和主動性的發(fā)揮又會促使教師主導作用的更好發(fā)揮.教學過程是教與學的互動過程，因此在整個常微分方程課程教學過程中，有意識地引導學生主動學習，自主思考，從而自覺地提高自身的抽象思維能力和數(shù)學應用能力自然非常重要.以上是筆者在常微分方程課程這一教學互動過程中，對如何培養(yǎng)學生的數(shù)學應用能力的幾點做法和思考.當然這些能力的培養(yǎng)和提高是一個復雜長期的過程，決不是通過幾次簡單的課堂教學就能完成的.但是，只要教師在教學過程中能夠持之以恒地重視培養(yǎng)學生良好的學習習慣和思維方式，重視教學的互動并采取靈活多樣的教學方式，不僅可以很好的完成常微分方程的教學過程，而且可以全面提高學生的能力，培養(yǎng)出真正的具有創(chuàng)新能力的人才.

(責任編輯李平)

On Training Students’ Ability of Mathematics Application in Teaching Ordinary Differential Equation

WANG Yi

(Department of Finances and Mathematics， West Anhui University， Liu’an，Anhui， 237012， China)

Ordinary differential equation was an important channel of mathematics theory with practice，but the abstraction of its theories caused much difficulties in teaching and studying ODE. Thus, it stmed the ability of the students’ mathematics application. To solve the problem, in this paper, according to the teaching practice of the author, some principles and thinkings about interaction of teaching and learning in the teaching process were discussed.

ordinary differential equation, interaction of teaching and learning, mathematics application

安徽省高校省級自然科學研究項目(編號KJ2013B333)成果之一。

2014-6-26

汪軼(1975-)，男，安徽六安人，講師，碩士，研究方向為攝動分析。Email：ewang@wxc.edu.cn。

G 642

A

1674-9545(2014)03-0067-(03)