牛頓第二定律的應(yīng)用——整體法

婁宇來

摘 要 在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中，學(xué)生對牛頓第二定律的應(yīng)用，特別是整體法的應(yīng)用，掌握不夠，通過該文章希望學(xué)生們能掌握。

關(guān)鍵詞 整體法 牛頓第二定律 受力分析 正方向

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0059-02

我們在研究由兩個(gè)以上的物體組成的系統(tǒng)力學(xué)問題時(shí)，有兩種基本的分析方法：隔離法和整體法。由于隔離法易于學(xué)生接受，平時(shí)訓(xùn)練又多，掌握較牢固，形成了思維定勢，碰到問題習(xí)慣用隔離法，很少用整體法。即使用整體法，也只局限于系統(tǒng)中各物體具有相同加速度的情況，認(rèn)為幾個(gè)物體只有在加速度相同時(shí)才能作為一個(gè)整體來考慮。這樣解題思路比較狹窄，在較復(fù)雜問題面前便顯得束手無策。事實(shí)上，大多數(shù)系統(tǒng)中各物體加速度不同的問題同樣可以用整體法，方法是只要把牛頓第二定律改寫：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先對該公式進(jìn)行證明。

設(shè)有相互作用的兩物體m1和m2組成的系統(tǒng)。先以m1作為研究對象，設(shè)m2對m1作用力為T，m1受到的其它外力的合力為F1，m1的加速度為a1，則由牛頓第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作為研究對象，設(shè)m1對m2的作用力為T/，m2受到其它外力的合力為F2，m2的加速度為a2，則由牛頓第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根據(jù)牛頓第三定律又有T=-T/ 將①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n個(gè)物體組成的系統(tǒng)，則有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 寫成分量式為

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

從上式中看到當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)物體具有不同的加速度時(shí)，系統(tǒng)所受的合外力等于各個(gè)ma的矢量和。這樣我們就從部分與整體的聯(lián)系中揭示了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，把物理規(guī)律直接用于系統(tǒng)整體。下面通過例題來說明如何應(yīng)用整體法牛頓第二定律解決系統(tǒng)力學(xué)問題。

例1：如圖1甲，底座A上裝有長0.5米的直立桿，其總質(zhì)量M=0.2千克，桿上套有質(zhì)量為m=0.05千克的小環(huán)B，它與桿有摩擦。當(dāng)環(huán)從底座以4米/秒的速度飛起時(shí)，剛好能到達(dá)桿頂，求環(huán)上升過程中，水平面對底座的支持力多大？

解：小環(huán)B上升過程作勻減速運(yùn)動，設(shè)加速度為a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B組成的系統(tǒng)整體作研究對象。整體所受外力為：重力（M+m）g和地面支持力N，規(guī)定向下方向?yàn)檎较?，如圖乙所示。由題意：aA=0，aB=a，

則由整體法牛頓第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如圖2甲所示，人和物體的質(zhì)量相等，繩子的質(zhì)量和繩與滑輪間的摩擦不計(jì)，開始人和物體在同一水平線上，當(dāng)人從靜止開始向上勻加速爬繩時(shí)，人與物體的運(yùn)動情況是（ ）

A.人加速上升，物體加速下降

B.人加速上升，物體靜止不動

C.人和物體同時(shí)加速上升，同時(shí)到頂

D.人和物體同時(shí)加速上升，但人先到頂。

解：由于定滑輪對繩的作用力與繩垂直，只起改變方向的作用，可想象把繩拉直，如圖2乙所示，顯見，對人和物體、繩子組成的系統(tǒng)整體所受合外力為0，設(shè)人爬的加速度為 a1，物體的加速度為a2，方向如圖2乙所示。則由整體法牛頓第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可見人和物體的加速度大小相同，方向相反，由于開始在同一水平線上，所以兩者同時(shí)到頂，應(yīng)為選項(xiàng)C.

例3：如圖3甲所示，質(zhì)量為M、傾角為 的斜面體A放在粗糙的水平桌面上，質(zhì)量為m的物體B沿斜面下滑，斜面體始終不動。求下面兩種情況水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v勻速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B組成的系統(tǒng)整體為研究對象，整體在豎直方向受到的外力為重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向設(shè)桌面的摩擦力為f，方向向左，建立坐標(biāo)如圖3乙，又根據(jù)題意aA=0，aB=0， 則由整體法牛頓第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可見桌面沒有摩擦力。

（2）以A、B組成的系統(tǒng)整體為研究對象，整體受力如圖3乙由題意：aA=0，aB=a

將a正交分解如圖4得：

aBX=acos

aBY=asin

則由整體法牛頓第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可見桌面對A物體有向左的摩擦力。

從以上幾個(gè)例題解題過程我們得到，應(yīng)用整體法牛頓第二定律解題的步驟為：（1）確定系統(tǒng)整體作為研究對象，對整體進(jìn)行受力分析；（2）分析系統(tǒng)內(nèi)各物體的運(yùn)動狀態(tài)，即有無加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐標(biāo)，規(guī)定正方向；（4）根據(jù)整體法牛頓第二定律建立方程，求解。由于對系統(tǒng)整體分析時(shí)，不用考慮系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用，使得解題步驟大為簡化。上述幾例如用隔離法求解，步驟較繁復(fù)。所以，在不要求解出系統(tǒng)內(nèi)部作用量時(shí)，應(yīng)用整體分析法就顯示出很大的優(yōu)越性。

整體法和隔離法都是解決動力學(xué)問題的重要方法，兩者各有所長，都要熟練掌握。在遇到具體問題時(shí)，要根據(jù)具體條件靈活選用或交替使用，只有這樣，才能開拓解題思路，提高解題技能，發(fā)展思維能力。

（責(zé)任編輯 全 玲）endprint

摘 要 在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中，學(xué)生對牛頓第二定律的應(yīng)用，特別是整體法的應(yīng)用，掌握不夠，通過該文章希望學(xué)生們能掌握。

關(guān)鍵詞 整體法 牛頓第二定律 受力分析 正方向

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0059-02

我們在研究由兩個(gè)以上的物體組成的系統(tǒng)力學(xué)問題時(shí)，有兩種基本的分析方法：隔離法和整體法。由于隔離法易于學(xué)生接受，平時(shí)訓(xùn)練又多，掌握較牢固，形成了思維定勢，碰到問題習(xí)慣用隔離法，很少用整體法。即使用整體法，也只局限于系統(tǒng)中各物體具有相同加速度的情況，認(rèn)為幾個(gè)物體只有在加速度相同時(shí)才能作為一個(gè)整體來考慮。這樣解題思路比較狹窄，在較復(fù)雜問題面前便顯得束手無策。事實(shí)上，大多數(shù)系統(tǒng)中各物體加速度不同的問題同樣可以用整體法，方法是只要把牛頓第二定律改寫：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先對該公式進(jìn)行證明。

設(shè)有相互作用的兩物體m1和m2組成的系統(tǒng)。先以m1作為研究對象，設(shè)m2對m1作用力為T，m1受到的其它外力的合力為F1，m1的加速度為a1，則由牛頓第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作為研究對象，設(shè)m1對m2的作用力為T/，m2受到其它外力的合力為F2，m2的加速度為a2，則由牛頓第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根據(jù)牛頓第三定律又有T=-T/ 將①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n個(gè)物體組成的系統(tǒng)，則有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 寫成分量式為

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

從上式中看到當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)物體具有不同的加速度時(shí)，系統(tǒng)所受的合外力等于各個(gè)ma的矢量和。這樣我們就從部分與整體的聯(lián)系中揭示了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，把物理規(guī)律直接用于系統(tǒng)整體。下面通過例題來說明如何應(yīng)用整體法牛頓第二定律解決系統(tǒng)力學(xué)問題。

例1：如圖1甲，底座A上裝有長0.5米的直立桿，其總質(zhì)量M=0.2千克，桿上套有質(zhì)量為m=0.05千克的小環(huán)B，它與桿有摩擦。當(dāng)環(huán)從底座以4米/秒的速度飛起時(shí)，剛好能到達(dá)桿頂，求環(huán)上升過程中，水平面對底座的支持力多大？

解：小環(huán)B上升過程作勻減速運(yùn)動，設(shè)加速度為a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B組成的系統(tǒng)整體作研究對象。整體所受外力為：重力（M+m）g和地面支持力N，規(guī)定向下方向?yàn)檎较?，如圖乙所示。由題意：aA=0，aB=a，

則由整體法牛頓第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如圖2甲所示，人和物體的質(zhì)量相等，繩子的質(zhì)量和繩與滑輪間的摩擦不計(jì)，開始人和物體在同一水平線上，當(dāng)人從靜止開始向上勻加速爬繩時(shí)，人與物體的運(yùn)動情況是（ ）

A.人加速上升，物體加速下降

B.人加速上升，物體靜止不動

C.人和物體同時(shí)加速上升，同時(shí)到頂

D.人和物體同時(shí)加速上升，但人先到頂。

解：由于定滑輪對繩的作用力與繩垂直，只起改變方向的作用，可想象把繩拉直，如圖2乙所示，顯見，對人和物體、繩子組成的系統(tǒng)整體所受合外力為0，設(shè)人爬的加速度為 a1，物體的加速度為a2，方向如圖2乙所示。則由整體法牛頓第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可見人和物體的加速度大小相同，方向相反，由于開始在同一水平線上，所以兩者同時(shí)到頂，應(yīng)為選項(xiàng)C.

例3：如圖3甲所示，質(zhì)量為M、傾角為 的斜面體A放在粗糙的水平桌面上，質(zhì)量為m的物體B沿斜面下滑，斜面體始終不動。求下面兩種情況水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v勻速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B組成的系統(tǒng)整體為研究對象，整體在豎直方向受到的外力為重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向設(shè)桌面的摩擦力為f，方向向左，建立坐標(biāo)如圖3乙，又根據(jù)題意aA=0，aB=0， 則由整體法牛頓第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可見桌面沒有摩擦力。

（2）以A、B組成的系統(tǒng)整體為研究對象，整體受力如圖3乙由題意：aA=0，aB=a

將a正交分解如圖4得：

aBX=acos

aBY=asin

則由整體法牛頓第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可見桌面對A物體有向左的摩擦力。

從以上幾個(gè)例題解題過程我們得到，應(yīng)用整體法牛頓第二定律解題的步驟為：（1）確定系統(tǒng)整體作為研究對象，對整體進(jìn)行受力分析；（2）分析系統(tǒng)內(nèi)各物體的運(yùn)動狀態(tài)，即有無加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐標(biāo)，規(guī)定正方向；（4）根據(jù)整體法牛頓第二定律建立方程，求解。由于對系統(tǒng)整體分析時(shí)，不用考慮系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用，使得解題步驟大為簡化。上述幾例如用隔離法求解，步驟較繁復(fù)。所以，在不要求解出系統(tǒng)內(nèi)部作用量時(shí)，應(yīng)用整體分析法就顯示出很大的優(yōu)越性。

整體法和隔離法都是解決動力學(xué)問題的重要方法，兩者各有所長，都要熟練掌握。在遇到具體問題時(shí)，要根據(jù)具體條件靈活選用或交替使用，只有這樣，才能開拓解題思路，提高解題技能，發(fā)展思維能力。

（責(zé)任編輯 全 玲）endprint

摘 要 在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中，學(xué)生對牛頓第二定律的應(yīng)用，特別是整體法的應(yīng)用，掌握不夠，通過該文章希望學(xué)生們能掌握。

關(guān)鍵詞 整體法 牛頓第二定律 受力分析 正方向

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）13-0059-02

我們在研究由兩個(gè)以上的物體組成的系統(tǒng)力學(xué)問題時(shí)，有兩種基本的分析方法：隔離法和整體法。由于隔離法易于學(xué)生接受，平時(shí)訓(xùn)練又多，掌握較牢固，形成了思維定勢，碰到問題習(xí)慣用隔離法，很少用整體法。即使用整體法，也只局限于系統(tǒng)中各物體具有相同加速度的情況，認(rèn)為幾個(gè)物體只有在加速度相同時(shí)才能作為一個(gè)整體來考慮。這樣解題思路比較狹窄，在較復(fù)雜問題面前便顯得束手無策。事實(shí)上，大多數(shù)系統(tǒng)中各物體加速度不同的問題同樣可以用整體法，方法是只要把牛頓第二定律改寫：

∑F= m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan的形式即可。下面先對該公式進(jìn)行證明。

設(shè)有相互作用的兩物體m1和m2組成的系統(tǒng)。先以m1作為研究對象，設(shè)m2對m1作用力為T，m1受到的其它外力的合力為F1，m1的加速度為a1，則由牛頓第二定律可得：

F1+T=m1a1 ①

再以m2作為研究對象，設(shè)m1對m2的作用力為T/，m2受到其它外力的合力為F2，m2的加速度為a2，則由牛頓第二定律得： F2+T/=m2a2 ②

根據(jù)牛頓第三定律又有T=-T/ 將①+②得：

F1+F2=m1a1+m2a2 若有n個(gè)物體組成的系統(tǒng)，則有：

F1+F2+…+Fn=m1a1+m2a2+…mnan

也即有∑F=m1a1+m2a2+m3a3+…+mnan 寫成分量式為

∑Fx=m1a1x+m2a2x+m3a3x+…+mnanx；

∑Fy=m1a1y+m2a2y+m3a3y+…+mnany。

從上式中看到當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)物體具有不同的加速度時(shí)，系統(tǒng)所受的合外力等于各個(gè)ma的矢量和。這樣我們就從部分與整體的聯(lián)系中揭示了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律，把物理規(guī)律直接用于系統(tǒng)整體。下面通過例題來說明如何應(yīng)用整體法牛頓第二定律解決系統(tǒng)力學(xué)問題。

例1：如圖1甲，底座A上裝有長0.5米的直立桿，其總質(zhì)量M=0.2千克，桿上套有質(zhì)量為m=0.05千克的小環(huán)B，它與桿有摩擦。當(dāng)環(huán)從底座以4米/秒的速度飛起時(shí)，剛好能到達(dá)桿頂，求環(huán)上升過程中，水平面對底座的支持力多大？

解：小環(huán)B上升過程作勻減速運(yùn)動，設(shè)加速度為a

由 v02=2ah得：a===16（米/秒2）

以A.B組成的系統(tǒng)整體作研究對象。整體所受外力為：重力（M+m）g和地面支持力N，規(guī)定向下方向?yàn)檎较?，如圖乙所示。由題意：aA=0，aB=a，

則由整體法牛頓第二定律得

∑F=（M+m）g-N=MaA+maB=0+ma

∴N=（M+m）g-ma=（0.2+0.05）€？0-0.05€？6=1.7（牛）。

例2，如圖2甲所示，人和物體的質(zhì)量相等，繩子的質(zhì)量和繩與滑輪間的摩擦不計(jì)，開始人和物體在同一水平線上，當(dāng)人從靜止開始向上勻加速爬繩時(shí)，人與物體的運(yùn)動情況是（ ）

A.人加速上升，物體加速下降

B.人加速上升，物體靜止不動

C.人和物體同時(shí)加速上升，同時(shí)到頂

D.人和物體同時(shí)加速上升，但人先到頂。

解：由于定滑輪對繩的作用力與繩垂直，只起改變方向的作用，可想象把繩拉直，如圖2乙所示，顯見，對人和物體、繩子組成的系統(tǒng)整體所受合外力為0，設(shè)人爬的加速度為 a1，物體的加速度為a2，方向如圖2乙所示。則由整體法牛頓第二定律得：∑F=m1a1+m2a2=0

∴a2=-a1.可見人和物體的加速度大小相同，方向相反，由于開始在同一水平線上，所以兩者同時(shí)到頂，應(yīng)為選項(xiàng)C.

例3：如圖3甲所示，質(zhì)量為M、傾角為 的斜面體A放在粗糙的水平桌面上，質(zhì)量為m的物體B沿斜面下滑，斜面體始終不動。求下面兩種情況水平桌面的支持力和摩擦力：（1）B以速度v勻速下滑，（2）B以加速度a加速下滑。

解：（1）以A、B組成的系統(tǒng)整體為研究對象，整體在豎直方向受到的外力為重力（M+m）g、桌面支持力N，水平方向設(shè)桌面的摩擦力為f，方向向左，建立坐標(biāo)如圖3乙，又根據(jù)題意aA=0，aB=0， 則由整體法牛頓第二定律的分量式得：

∑Fy=（M+m）g-N=MaAy+maBy=0

∴N=（M+m）g

∑Fx=f=MaAx+maBx=0

∴ f=0.可見桌面沒有摩擦力。

（2）以A、B組成的系統(tǒng)整體為研究對象，整體受力如圖3乙由題意：aA=0，aB=a

將a正交分解如圖4得：

aBX=acos

aBY=asin

則由整體法牛頓第二定律得：

∑FY=（M+m）g-N=MaAY+maBY=0+masin

∴N=（M+m）g-masin

∑FX=f=MaAX+maBX=0+macos

∴f= macos 可見桌面對A物體有向左的摩擦力。

從以上幾個(gè)例題解題過程我們得到，應(yīng)用整體法牛頓第二定律解題的步驟為：（1）確定系統(tǒng)整體作為研究對象，對整體進(jìn)行受力分析；（2）分析系統(tǒng)內(nèi)各物體的運(yùn)動狀態(tài)，即有無加速度、加速度的大小、方向；（3）建立坐標(biāo)，規(guī)定正方向；（4）根據(jù)整體法牛頓第二定律建立方程，求解。由于對系統(tǒng)整體分析時(shí)，不用考慮系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用，使得解題步驟大為簡化。上述幾例如用隔離法求解，步驟較繁復(fù)。所以，在不要求解出系統(tǒng)內(nèi)部作用量時(shí)，應(yīng)用整體分析法就顯示出很大的優(yōu)越性。

整體法和隔離法都是解決動力學(xué)問題的重要方法，兩者各有所長，都要熟練掌握。在遇到具體問題時(shí)，要根據(jù)具體條件靈活選用或交替使用，只有這樣，才能開拓解題思路，提高解題技能，發(fā)展思維能力。

（責(zé)任編輯 全 玲）endprint