高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊教學(xué)的探討

馮想++金海蘭

摘要：“微積分”模塊是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。它研究變量間的函數(shù)關(guān)系，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科以及掌握現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)必須具備的專業(yè)知識(shí)。但長(zhǎng)期以來(lái)“微積分”模塊在高中課程中沒(méi)有得到應(yīng)有的體現(xiàn)，難以滿足社會(huì)的需要。本文回顧“微積分”模塊教學(xué)歷程以及新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)中“微積分”模塊教學(xué)的要求，指出“微積分”模塊教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題：對(duì)微積分知識(shí)的定位不準(zhǔn)，常量思維的根深蒂固，應(yīng)試教育的影響。同時(shí)針對(duì)幾種典型例題提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；微積分；問(wèn)題成因；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0058-02

一、引言

“微積分”模塊是以函數(shù)為研究對(duì)象，研究生活中運(yùn)動(dòng)、變化以及變化著的量之間的關(guān)系?！拔⒎e分”模塊的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的辯證觀點(diǎn)，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。對(duì)于解決生活中的最優(yōu)化問(wèn)題有很大幫助。

1.我國(guó)“微積分”模塊教學(xué)回顧[1]。在1960年曾爭(zhēng)論過(guò)“微積分”模塊是否進(jìn)入中學(xué)的問(wèn)題，有的還寫入了試驗(yàn)教材。但考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開(kāi)始進(jìn)入高中，要求學(xué)習(xí)微積分的所有內(nèi)容。由于操之過(guò)急，教學(xué)中無(wú)法實(shí)施，所以很快改為“選學(xué)”，實(shí)際上則不學(xué)（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過(guò)內(nèi)容和課時(shí)都減了。微積分先講極限，再講導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)到原函數(shù)到不定積分再到定積分，這是出于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，但學(xué)生理解有困難，而且實(shí)際應(yīng)用也不要求如此嚴(yán)格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時(shí)變化率”描述導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義方面幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)，把重點(diǎn)放在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題上。目前正朝“理解導(dǎo)數(shù)思想，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用”的方向努力。

2.新課標(biāo)對(duì)高中“微積分”模塊教學(xué)目標(biāo)的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，感受和領(lǐng)悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來(lái)處理，而是直接通過(guò)實(shí)際背景和具體實(shí)例反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)。新課程希望學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)和步入社會(huì)后，能留下對(duì)微積分的一些實(shí)際認(rèn)識(shí)。同時(shí)也體現(xiàn)“課標(biāo)”讓學(xué)生在經(jīng)歷中感受數(shù)學(xué)的思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基本理念。強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物的變化率，函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，感受和體會(huì)導(dǎo)數(shù)在處理問(wèn)題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學(xué)習(xí)。反復(fù)通過(guò)圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題?！罢n標(biāo)”提高了對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題的要求，其目的一是加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學(xué)中幾何直觀這一重要數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用。

二、高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊在教學(xué)中存在的問(wèn)題

“微積分”模塊是高中數(shù)學(xué)教材新增的內(nèi)容，無(wú)論對(duì)于學(xué)生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學(xué)習(xí)新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)。

1.對(duì)微積分知識(shí)的定位不準(zhǔn)。微積分的運(yùn)動(dòng)變化的思維方式與之前所學(xué)函數(shù)靜態(tài)的思維方式有很大的不同，中學(xué)生開(kāi)始接觸微積分的基本概念時(shí)不能一下子就領(lǐng)悟它也是很正常的。關(guān)鍵是教師不能照本宣科，而應(yīng)作充分準(zhǔn)備性說(shuō)明，從幾何直觀逐步過(guò)渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識(shí)的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學(xué)生的接受能力，又不能低估學(xué)生的理解能力[2]。

2.常量思維的根深蒂固?！拔⒎e分”模塊教學(xué)研究的是變量間的函數(shù)關(guān)系，學(xué)生對(duì)微積分中變量認(rèn)識(shí)不深刻[3]。因?yàn)槌Ａ克枷氲母畹俟?，?duì)變量思想的轉(zhuǎn)變會(huì)有一個(gè)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中就要求教師運(yùn)用自己本身的專業(yè)水平進(jìn)行正確的引導(dǎo)。當(dāng)然，這種引導(dǎo)就需要教師在實(shí)踐中不斷探索。

3.“應(yīng)試”教育的影響。大綱對(duì)文理科學(xué)生關(guān)于微積分的教學(xué)內(nèi)容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學(xué)內(nèi)容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內(nèi)容刪去，理科刪去“積分”的所有內(nèi)容和“微分的概念和運(yùn)算”。因?yàn)榭荚嚥豢嫉脑虮厝徊槐粚W(xué)生所重視，所以要淡化“應(yīng)試”教育思想，為提高能力而學(xué)習(xí)。

三、高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊的教學(xué)策略

1.運(yùn)用微積分求曲邊梯形的面積問(wèn)題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區(qū)間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

分析：在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無(wú)限細(xì)分的過(guò)程中，把每個(gè)小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。

策略：在講解時(shí)，可以利用多媒體來(lái)演示無(wú)限細(xì)分，無(wú)限趨近的過(guò)程，讓學(xué)生從直觀上來(lái)理解定積分所表示對(duì)幾何意義。

2.運(yùn)用微積分求曲線的切線問(wèn)題的教學(xué)策略。在沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，求解切線問(wèn)題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯(lián)立組成方程組，消去y，變成關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來(lái)求解。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們知道，曲線上某點(diǎn)的切線就是過(guò)該點(diǎn)曲線的割線的極限。例如：（1）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，2）點(diǎn)處的切線方程。分析：首先驗(yàn)證點(diǎn)是否為切點(diǎn)，把（2，2）點(diǎn)帶入函數(shù)，f（2）=22-2=2，則（2，2）點(diǎn)為切點(diǎn)，f'（x）=2x-1，過(guò)該點(diǎn)的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。

（2）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，1）點(diǎn)處的切線方程。分析：首先驗(yàn)證點(diǎn)（2，1）不在曲線上，不是切點(diǎn)，所以設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則切點(diǎn)P坐標(biāo)滿足y0=x02-x0，P點(diǎn)的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點(diǎn)（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點(diǎn)為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。

策略：此類問(wèn)題首先確定給出點(diǎn)是否為切點(diǎn)（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)），由點(diǎn)斜式求出切線方程。若不是，設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數(shù)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)進(jìn)而求出切線方程。

3.運(yùn)用微積分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問(wèn)題的教學(xué)策略。例如：求函數(shù)f（x）=ex-ax-2的單調(diào)區(qū)間。分析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。

所以在（-∞，lna）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數(shù)的最小值。

策略：對(duì)于解決函數(shù)單調(diào)性極值問(wèn)題，首先分析定義域，讓學(xué)生明白定義域是函數(shù)的靈魂，求出f'（x）=0的點(diǎn)作為分界點(diǎn)，把定義域分成幾個(gè)小區(qū)間，當(dāng)f'（x）<0時(shí)f（x）單調(diào)遞減；f'（x）>0時(shí)f（x）單調(diào)遞增。對(duì)于極值和最值問(wèn)題，要注意極值不一定是最值，最值如果在區(qū)間的內(nèi)部一定為極值，若閉區(qū)間上的最值問(wèn)題應(yīng)把極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，開(kāi)區(qū)間上如果有單數(shù)個(gè)極值點(diǎn)那么必有一個(gè)為最值，若偶數(shù)個(gè)極值點(diǎn)無(wú)法確定是不是最值。

4.運(yùn)用微積分解決不等式問(wèn)題的教學(xué)策略。例如：證明當(dāng)x>0時(shí)，ex>sinx。分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx<1，ex>1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-ex<0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以ex>sinx在x∈（0，+∞）恒成立。

策略：對(duì)于解決不等式問(wèn)題，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般是做差或做商，對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性，求出所在區(qū)間的最值從而達(dá)到證明不等式的目的。

四、結(jié)束語(yǔ)

“微積分”模塊作為新課標(biāo)新增的內(nèi)容，它的教學(xué)研究還不夠成熟，正處于探索階段時(shí)期，因此如何進(jìn)行“微積分”模塊的教學(xué)是所有教育工作者不斷探索的課題。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍，左懷玲.我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的建設(shè)與發(fā)展[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]匡繼昌.如何給中學(xué)生講授微積分[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，5（45）.

[3]班元超.淺談新課程標(biāo)準(zhǔn)高中微積分教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011，（23）.

*通訊作者：金海蘭（1963年—），女（朝鮮族），理學(xué)博士，副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)（環(huán)論）。

摘要：“微積分”模塊是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。它研究變量間的函數(shù)關(guān)系，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科以及掌握現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)必須具備的專業(yè)知識(shí)。但長(zhǎng)期以來(lái)“微積分”模塊在高中課程中沒(méi)有得到應(yīng)有的體現(xiàn)，難以滿足社會(huì)的需要。本文回顧“微積分”模塊教學(xué)歷程以及新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)中“微積分”模塊教學(xué)的要求，指出“微積分”模塊教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題：對(duì)微積分知識(shí)的定位不準(zhǔn)，常量思維的根深蒂固，應(yīng)試教育的影響。同時(shí)針對(duì)幾種典型例題提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；微積分；問(wèn)題成因；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0058-02

一、引言

“微積分”模塊是以函數(shù)為研究對(duì)象，研究生活中運(yùn)動(dòng)、變化以及變化著的量之間的關(guān)系。“微積分”模塊的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的辯證觀點(diǎn)，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。對(duì)于解決生活中的最優(yōu)化問(wèn)題有很大幫助。

1.我國(guó)“微積分”模塊教學(xué)回顧[1]。在1960年曾爭(zhēng)論過(guò)“微積分”模塊是否進(jìn)入中學(xué)的問(wèn)題，有的還寫入了試驗(yàn)教材。但考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開(kāi)始進(jìn)入高中，要求學(xué)習(xí)微積分的所有內(nèi)容。由于操之過(guò)急，教學(xué)中無(wú)法實(shí)施，所以很快改為“選學(xué)”，實(shí)際上則不學(xué)（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過(guò)內(nèi)容和課時(shí)都減了。微積分先講極限，再講導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)到原函數(shù)到不定積分再到定積分，這是出于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，但學(xué)生理解有困難，而且實(shí)際應(yīng)用也不要求如此嚴(yán)格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時(shí)變化率”描述導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義方面幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)，把重點(diǎn)放在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題上。目前正朝“理解導(dǎo)數(shù)思想，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用”的方向努力。

2.新課標(biāo)對(duì)高中“微積分”模塊教學(xué)目標(biāo)的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，感受和領(lǐng)悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來(lái)處理，而是直接通過(guò)實(shí)際背景和具體實(shí)例反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)。新課程希望學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)和步入社會(huì)后，能留下對(duì)微積分的一些實(shí)際認(rèn)識(shí)。同時(shí)也體現(xiàn)“課標(biāo)”讓學(xué)生在經(jīng)歷中感受數(shù)學(xué)的思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基本理念。強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物的變化率，函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，感受和體會(huì)導(dǎo)數(shù)在處理問(wèn)題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學(xué)習(xí)。反復(fù)通過(guò)圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題?！罢n標(biāo)”提高了對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題的要求，其目的一是加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學(xué)中幾何直觀這一重要數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用。

二、高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊在教學(xué)中存在的問(wèn)題

“微積分”模塊是高中數(shù)學(xué)教材新增的內(nèi)容，無(wú)論對(duì)于學(xué)生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學(xué)習(xí)新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)。

1.對(duì)微積分知識(shí)的定位不準(zhǔn)。微積分的運(yùn)動(dòng)變化的思維方式與之前所學(xué)函數(shù)靜態(tài)的思維方式有很大的不同，中學(xué)生開(kāi)始接觸微積分的基本概念時(shí)不能一下子就領(lǐng)悟它也是很正常的。關(guān)鍵是教師不能照本宣科，而應(yīng)作充分準(zhǔn)備性說(shuō)明，從幾何直觀逐步過(guò)渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識(shí)的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學(xué)生的接受能力，又不能低估學(xué)生的理解能力[2]。

2.常量思維的根深蒂固?！拔⒎e分”模塊教學(xué)研究的是變量間的函數(shù)關(guān)系，學(xué)生對(duì)微積分中變量認(rèn)識(shí)不深刻[3]。因?yàn)槌Ａ克枷氲母畹俟?，?duì)變量思想的轉(zhuǎn)變會(huì)有一個(gè)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中就要求教師運(yùn)用自己本身的專業(yè)水平進(jìn)行正確的引導(dǎo)。當(dāng)然，這種引導(dǎo)就需要教師在實(shí)踐中不斷探索。

3.“應(yīng)試”教育的影響。大綱對(duì)文理科學(xué)生關(guān)于微積分的教學(xué)內(nèi)容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學(xué)內(nèi)容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內(nèi)容刪去，理科刪去“積分”的所有內(nèi)容和“微分的概念和運(yùn)算”。因?yàn)榭荚嚥豢嫉脑虮厝徊槐粚W(xué)生所重視，所以要淡化“應(yīng)試”教育思想，為提高能力而學(xué)習(xí)。

三、高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊的教學(xué)策略

1.運(yùn)用微積分求曲邊梯形的面積問(wèn)題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區(qū)間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

分析：在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無(wú)限細(xì)分的過(guò)程中，把每個(gè)小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。

策略：在講解時(shí)，可以利用多媒體來(lái)演示無(wú)限細(xì)分，無(wú)限趨近的過(guò)程，讓學(xué)生從直觀上來(lái)理解定積分所表示對(duì)幾何意義。

2.運(yùn)用微積分求曲線的切線問(wèn)題的教學(xué)策略。在沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，求解切線問(wèn)題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯(lián)立組成方程組，消去y，變成關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來(lái)求解。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們知道，曲線上某點(diǎn)的切線就是過(guò)該點(diǎn)曲線的割線的極限。例如：（1）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，2）點(diǎn)處的切線方程。分析：首先驗(yàn)證點(diǎn)是否為切點(diǎn)，把（2，2）點(diǎn)帶入函數(shù)，f（2）=22-2=2，則（2，2）點(diǎn)為切點(diǎn)，f'（x）=2x-1，過(guò)該點(diǎn)的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。

（2）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，1）點(diǎn)處的切線方程。分析：首先驗(yàn)證點(diǎn)（2，1）不在曲線上，不是切點(diǎn)，所以設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則切點(diǎn)P坐標(biāo)滿足y0=x02-x0，P點(diǎn)的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點(diǎn)（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點(diǎn)為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。

策略：此類問(wèn)題首先確定給出點(diǎn)是否為切點(diǎn)（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)），由點(diǎn)斜式求出切線方程。若不是，設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數(shù)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)進(jìn)而求出切線方程。

3.運(yùn)用微積分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問(wèn)題的教學(xué)策略。例如：求函數(shù)f（x）=ex-ax-2的單調(diào)區(qū)間。分析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。

所以在（-∞，lna）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數(shù)的最小值。

策略：對(duì)于解決函數(shù)單調(diào)性極值問(wèn)題，首先分析定義域，讓學(xué)生明白定義域是函數(shù)的靈魂，求出f'（x）=0的點(diǎn)作為分界點(diǎn)，把定義域分成幾個(gè)小區(qū)間，當(dāng)f'（x）<0時(shí)f（x）單調(diào)遞減；f'（x）>0時(shí)f（x）單調(diào)遞增。對(duì)于極值和最值問(wèn)題，要注意極值不一定是最值，最值如果在區(qū)間的內(nèi)部一定為極值，若閉區(qū)間上的最值問(wèn)題應(yīng)把極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，開(kāi)區(qū)間上如果有單數(shù)個(gè)極值點(diǎn)那么必有一個(gè)為最值，若偶數(shù)個(gè)極值點(diǎn)無(wú)法確定是不是最值。

4.運(yùn)用微積分解決不等式問(wèn)題的教學(xué)策略。例如：證明當(dāng)x>0時(shí)，ex>sinx。分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx<1，ex>1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-ex<0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以ex>sinx在x∈（0，+∞）恒成立。

策略：對(duì)于解決不等式問(wèn)題，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般是做差或做商，對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性，求出所在區(qū)間的最值從而達(dá)到證明不等式的目的。

四、結(jié)束語(yǔ)

“微積分”模塊作為新課標(biāo)新增的內(nèi)容，它的教學(xué)研究還不夠成熟，正處于探索階段時(shí)期，因此如何進(jìn)行“微積分”模塊的教學(xué)是所有教育工作者不斷探索的課題。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍，左懷玲.我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的建設(shè)與發(fā)展[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]匡繼昌.如何給中學(xué)生講授微積分[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，5（45）.

[3]班元超.淺談新課程標(biāo)準(zhǔn)高中微積分教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011，（23）.

*通訊作者：金海蘭（1963年—），女（朝鮮族），理學(xué)博士，副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)（環(huán)論）。

摘要：“微積分”模塊是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。它研究變量間的函數(shù)關(guān)系，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科以及掌握現(xiàn)代生產(chǎn)技術(shù)必須具備的專業(yè)知識(shí)。但長(zhǎng)期以來(lái)“微積分”模塊在高中課程中沒(méi)有得到應(yīng)有的體現(xiàn)，難以滿足社會(huì)的需要。本文回顧“微積分”模塊教學(xué)歷程以及新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)中“微積分”模塊教學(xué)的要求，指出“微積分”模塊教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題：對(duì)微積分知識(shí)的定位不準(zhǔn)，常量思維的根深蒂固，應(yīng)試教育的影響。同時(shí)針對(duì)幾種典型例題提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；微積分；問(wèn)題成因；教學(xué)策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）12-0058-02

一、引言

“微積分”模塊是以函數(shù)為研究對(duì)象，研究生活中運(yùn)動(dòng)、變化以及變化著的量之間的關(guān)系?！拔⒎e分”模塊的學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的辯證觀點(diǎn)，提高分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。對(duì)于解決生活中的最優(yōu)化問(wèn)題有很大幫助。

1.我國(guó)“微積分”模塊教學(xué)回顧[1]。在1960年曾爭(zhēng)論過(guò)“微積分”模塊是否進(jìn)入中學(xué)的問(wèn)題，有的還寫入了試驗(yàn)教材。但考慮到學(xué)習(xí)內(nèi)容已很多，師資也有困難，所以還是未正式列入課程。1980年前后，“微積分”模塊開(kāi)始進(jìn)入高中，要求學(xué)習(xí)微積分的所有內(nèi)容。由于操之過(guò)急，教學(xué)中無(wú)法實(shí)施，所以很快改為“選學(xué)”，實(shí)際上則不學(xué)（高考不考）。到1996年，“微積分”模塊再次納入高中課程，不過(guò)內(nèi)容和課時(shí)都減了。微積分先講極限，再講導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)到原函數(shù)到不定積分再到定積分，這是出于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，但學(xué)生理解有困難，而且實(shí)際應(yīng)用也不要求如此嚴(yán)格。在最新一輪課改中，改變了這一做法，以“瞬時(shí)變化率”描述導(dǎo)數(shù)，從導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義方面幫助學(xué)生直觀理解導(dǎo)數(shù)，把重點(diǎn)放在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題上。目前正朝“理解導(dǎo)數(shù)思想，強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用”的方向努力。

2.新課標(biāo)對(duì)高中“微積分”模塊教學(xué)目標(biāo)的要求（所指教材均為人教版教材）。突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)，感受和領(lǐng)悟“微積分”模塊的基本思想。不講極限概念，不是把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限（增量比的極限）來(lái)處理，而是直接通過(guò)實(shí)際背景和具體實(shí)例反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)。新課程希望學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)和步入社會(huì)后，能留下對(duì)微積分的一些實(shí)際認(rèn)識(shí)。同時(shí)也體現(xiàn)“課標(biāo)”讓學(xué)生在經(jīng)歷中感受數(shù)學(xué)的思想，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的基本理念。強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物的變化率，函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用，感受和體會(huì)導(dǎo)數(shù)在處理問(wèn)題中的一般性和有效性。重視幾何直觀等思想方法的滲透和學(xué)習(xí)。反復(fù)通過(guò)圖形去認(rèn)識(shí)和感受導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題。“課標(biāo)”提高了對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解以及用導(dǎo)數(shù)的幾何意義去解決問(wèn)題的要求，其目的一是加深對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解，二是體現(xiàn)數(shù)學(xué)中幾何直觀這一重要數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義和作用。

二、高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊在教學(xué)中存在的問(wèn)題

“微積分”模塊是高中數(shù)學(xué)教材新增的內(nèi)容，無(wú)論對(duì)于學(xué)生還是教師都是“新”的。作為教師不僅要學(xué)習(xí)新內(nèi)容，而且要從思想方法上研究新內(nèi)容的內(nèi)涵和本質(zhì)。

1.對(duì)微積分知識(shí)的定位不準(zhǔn)。微積分的運(yùn)動(dòng)變化的思維方式與之前所學(xué)函數(shù)靜態(tài)的思維方式有很大的不同，中學(xué)生開(kāi)始接觸微積分的基本概念時(shí)不能一下子就領(lǐng)悟它也是很正常的。關(guān)鍵是教師不能照本宣科，而應(yīng)作充分準(zhǔn)備性說(shuō)明，從幾何直觀逐步過(guò)渡到邏輯推理上去，但不能僅僅停留在幾何直觀上，只是在知識(shí)的廣度和深度方面要適可而止。既要考慮學(xué)生的接受能力，又不能低估學(xué)生的理解能力[2]。

2.常量思維的根深蒂固?！拔⒎e分”模塊教學(xué)研究的是變量間的函數(shù)關(guān)系，學(xué)生對(duì)微積分中變量認(rèn)識(shí)不深刻[3]。因?yàn)槌Ａ克枷氲母畹俟?，?duì)變量思想的轉(zhuǎn)變會(huì)有一個(gè)過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中就要求教師運(yùn)用自己本身的專業(yè)水平進(jìn)行正確的引導(dǎo)。當(dāng)然，這種引導(dǎo)就需要教師在實(shí)踐中不斷探索。

3.“應(yīng)試”教育的影響。大綱對(duì)文理科學(xué)生關(guān)于微積分的教學(xué)內(nèi)容和要求相差很大。文理科考試要求與大綱教學(xué)內(nèi)容要求相比都有所下降。文科將“極限”所有內(nèi)容刪去，理科刪去“積分”的所有內(nèi)容和“微分的概念和運(yùn)算”。因?yàn)榭荚嚥豢嫉脑虮厝徊槐粚W(xué)生所重視，所以要淡化“應(yīng)試”教育思想，為提高能力而學(xué)習(xí)。

三、高中數(shù)學(xué)“微積分”模塊的教學(xué)策略

1.運(yùn)用微積分求曲邊梯形的面積問(wèn)題。例如：如何求如圖所示的曲線f（x）在區(qū)間[a，b]上與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

分析：在區(qū)間[a，b]內(nèi)任取n-1個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間[xi-1，xi]，i=1，2，Λ，n。記為Δxi=[xi-1，xi]，在無(wú)限細(xì)分的過(guò)程中，把每個(gè)小曲邊梯形近似看成是矩形，則f（x）為高，那么面積s=f（xi）Δxi=f（x）dx。

策略：在講解時(shí)，可以利用多媒體來(lái)演示無(wú)限細(xì)分，無(wú)限趨近的過(guò)程，讓學(xué)生從直觀上來(lái)理解定積分所表示對(duì)幾何意義。

2.運(yùn)用微積分求曲線的切線問(wèn)題的教學(xué)策略。在沒(méi)有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之前，求解切線問(wèn)題，一般的方法是直線方程與曲線方程（一般是二次方程）聯(lián)立組成方程組，消去y，變成關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式Δ=0來(lái)求解。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)之后，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們知道，曲線上某點(diǎn)的切線就是過(guò)該點(diǎn)曲線的割線的極限。例如：（1）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，2）點(diǎn)處的切線方程。分析：首先驗(yàn)證點(diǎn)是否為切點(diǎn)，把（2，2）點(diǎn)帶入函數(shù)，f（2）=22-2=2，則（2，2）點(diǎn)為切點(diǎn)，f'（x）=2x-1，過(guò)該點(diǎn)的切線斜率k=f'（2）=2x-2-1=3，切線方程為y-2-3（x-2），即y=3x-4。

（2）求函數(shù)f（x）=x2-x在（2，1）點(diǎn)處的切線方程。分析：首先驗(yàn)證點(diǎn)（2，1）不在曲線上，不是切點(diǎn)，所以設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則切點(diǎn)P坐標(biāo)滿足y0=x02-x0，P點(diǎn)的切線斜率為k=f'（x0）=2x0-1，切線方程為y-y0=（2x0-1）（x-x0），把y0=x02-x0及點(diǎn)（2，1）代入切線方程，得1-（x02-x0）=（2x0-1）（2-x0），整理得x0=1，x0=3，故切點(diǎn)為（1，0）和（3，6），切線方程為y=x-1和 y=11x-63。

策略：此類問(wèn)題首先確定給出點(diǎn)是否為切點(diǎn)（是否在曲線上），若是，求出切線斜率（即該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)），由點(diǎn)斜式求出切線方程。若不是，設(shè)出切點(diǎn)，表示出切線斜率和切線方程，代入已知函數(shù)方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，求出切點(diǎn)進(jìn)而求出切線方程。

3.運(yùn)用微積分求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值和最值問(wèn)題的教學(xué)策略。例如：求函數(shù)f（x）=ex-ax-2的單調(diào)區(qū)間。分析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f'（x）=ex-a。若a≤0，則f'（x）>0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增；若a>0，令f'（x）=0，則 x=lna。

所以在（-∞，lna）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)f（lna）=a-alna-2為極小值也是函數(shù)的最小值。

策略：對(duì)于解決函數(shù)單調(diào)性極值問(wèn)題，首先分析定義域，讓學(xué)生明白定義域是函數(shù)的靈魂，求出f'（x）=0的點(diǎn)作為分界點(diǎn)，把定義域分成幾個(gè)小區(qū)間，當(dāng)f'（x）<0時(shí)f（x）單調(diào)遞減；f'（x）>0時(shí)f（x）單調(diào)遞增。對(duì)于極值和最值問(wèn)題，要注意極值不一定是最值，最值如果在區(qū)間的內(nèi)部一定為極值，若閉區(qū)間上的最值問(wèn)題應(yīng)把極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，開(kāi)區(qū)間上如果有單數(shù)個(gè)極值點(diǎn)那么必有一個(gè)為最值，若偶數(shù)個(gè)極值點(diǎn)無(wú)法確定是不是最值。

4.運(yùn)用微積分解決不等式問(wèn)題的教學(xué)策略。例如：證明當(dāng)x>0時(shí)，ex>sinx。分析：構(gòu)造輔助函數(shù)，令f（x）=sinx-ex，且f（0）=-1，f'（x）=cosx-ex，由于在x∈（0，+∞）上，cosx<1，ex>1，從而f（x）=sinx-ex在x∈（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，又由于f（0）=1，從而f（x）=sinx-ex<0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以ex>sinx在x∈（0，+∞）恒成立。

策略：對(duì)于解決不等式問(wèn)題，首先構(gòu)造輔助函數(shù)，一般是做差或做商，對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)利用函數(shù)單調(diào)性，求出所在區(qū)間的最值從而達(dá)到證明不等式的目的。

四、結(jié)束語(yǔ)

“微積分”模塊作為新課標(biāo)新增的內(nèi)容，它的教學(xué)研究還不夠成熟，正處于探索階段時(shí)期，因此如何進(jìn)行“微積分”模塊的教學(xué)是所有教育工作者不斷探索的課題。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍，左懷玲.我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的建設(shè)與發(fā)展[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]匡繼昌.如何給中學(xué)生講授微積分[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2006，5（45）.

[3]班元超.淺談新課程標(biāo)準(zhǔn)高中微積分教學(xué)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011，（23）.

*通訊作者：金海蘭（1963年—），女（朝鮮族），理學(xué)博士，副教授，研究方向?yàn)榇鷶?shù)學(xué)（環(huán)論）。