淺談概率學(xué)習(xí)中的問(wèn)題成因與解決策略

于良

[摘 要] 概率問(wèn)題作為中考的常見(jiàn)題型之一，看似容易，實(shí)則蘊(yùn)含深遠(yuǎn). 學(xué)生由于缺乏對(duì)這一問(wèn)題的數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)滲透，難免對(duì)此類(lèi)問(wèn)題有許多把握不到位的地方. 本文以概率學(xué)習(xí)中的常見(jiàn)問(wèn)題為抓手，細(xì)致分析了這些問(wèn)題的成因，找出了解決這些問(wèn)題的常見(jiàn)對(duì)策.

[關(guān)鍵詞] 概率學(xué)習(xí)；問(wèn)題成因；解決對(duì)策

概率是中考必考的知識(shí)點(diǎn)之一，在現(xiàn)在的中考中已經(jīng)顯得越來(lái)越重要了. 從近幾年各地的中考試卷來(lái)看，概率的考試題目類(lèi)型大致可分為三類(lèi)：（1）利用頻率值估計(jì)概率；（2）利用面積計(jì)算概率；（3）利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法解決生活類(lèi)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題. 這些常見(jiàn)的考題中間往往隱藏著一些典型的錯(cuò)誤，教師需要借助這些錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，讓學(xué)生得到真正的提高. 學(xué)生在初涉概率知識(shí)時(shí)往往不會(huì)覺(jué)得很困難，可一旦遇到具體問(wèn)題，卻時(shí)常出錯(cuò). 下面筆者就根據(jù)多年來(lái)的教學(xué)實(shí)際，對(duì)這些錯(cuò)誤原因進(jìn)行歸類(lèi)和總結(jié)，并找出解決這一類(lèi)錯(cuò)誤的有效方法.

對(duì)機(jī)會(huì)的等可能性理解不夠?qū)?/p>

致錯(cuò)誤

問(wèn)題1 甲、乙、丙、丁四人參加某校教師招聘考試，試后甲、乙兩人去詢問(wèn)成績(jī). 評(píng)委對(duì)甲說(shuō)：“恭喜你，你不是最差的，丙是最差的. ”對(duì)乙說(shuō)：“四人的成績(jī)均不相同，但可惜你未能獲得第一名. ”請(qǐng)你根據(jù)回答的內(nèi)容進(jìn)行分析，這四人的名次排列共有______種不同的可能情況.

錯(cuò)解 不知如何作答，瞎猜一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)答案.

正解 根據(jù)評(píng)委的話，可以將整個(gè)事件看成兩個(gè)部分組成：①應(yīng)聘者；②考試名次，將條件整理成表格形式.

由表格可知：甲的名次可能是①或②或③，乙的名次可能是②或③，丁的名次可能是①或②或③，丙為第④名，而其余三人只能是①②③中一個(gè)名次，所以所有等可能的結(jié)果為甲①乙②丙④?、?；甲③乙②丙④丁①；甲②乙③丙④丁①；甲①乙③丙④?、? 以下列舉一些學(xué)生常見(jiàn)的錯(cuò)誤：（1）根據(jù)題目提供的條件多而亂，感覺(jué)無(wú)從下手，便不會(huì)處理；（2）能夠確定丙的名次，但如何確定甲、乙、丁的名次沒(méi)有頭緒；（3）甲有3種情況，乙有2種情況，丁有3種情況，所以總共有3×2×3=18種情況；（4）漏掉考慮甲③乙②丙④?、俸图注谝尧郾芏、龠@兩種情況.

歸因與剖析 在確定等可能結(jié)果時(shí)，首先要弄清楚本題關(guān)注的是什么結(jié)果，其次結(jié)果由誰(shuí)決定，接著把有關(guān)的可能情況分析清楚. 以上題為例，要求名次所有的情況，其次由于丙為第④名，所以名次只與甲、乙、丁有關(guān)，接著由題可知甲可能為①②③，乙可能為②③，丁可能為①②③，而三人只能得一個(gè)名次而不重復(fù)，便可得出答案.

對(duì)問(wèn)題中有無(wú)放回的理解出現(xiàn) 錯(cuò)誤

問(wèn)題2 已知紅色和藍(lán)色在一起可配成紫色，現(xiàn)有三種顏色，即紅色、白色和藍(lán)色，從中任意取出兩種顏色來(lái)配紫色，問(wèn)：能配出紫色的概率有多大？

錯(cuò)解 畫(huà)樹(shù)狀圖：

所有等可能的結(jié)果共有9種，其中配出紫色的結(jié)果有2種，P（配出紫色）=.

正解 畫(huà)樹(shù)狀圖：

所有等可能的結(jié)果共有6種，其中配出紫色的結(jié)果有2種，

P（配出紫色）==.

錯(cuò)誤剖析 沒(méi)有考慮到：在紅、白、藍(lán)三種顏色中，任意取出兩種顏色時(shí)，不能同時(shí)取出兩種相同的顏色.

歸因與剖析 對(duì)于事件中進(jìn)行兩次或兩次以上選取時(shí)，請(qǐng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況分析和理解，切不可主觀臆斷和猜想，要做有依有據(jù)的判斷，并判斷是否有放回.

由于生活常識(shí)的缺乏導(dǎo)致等可 能結(jié)果錯(cuò)誤

問(wèn)題3 甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行乒乓球團(tuán)體賽，比賽規(guī)則是：兩隊(duì)之間進(jìn)行3局比賽，并且必須全部打完，至少贏2局的隊(duì)獲勝. 假如甲、乙兩隊(duì)之間每局比賽輸贏的機(jī)會(huì)相同，且甲隊(duì)已經(jīng)贏得了第1局，那么甲隊(duì)最終獲勝的概率是多少？

錯(cuò)解 畫(huà)樹(shù)狀圖：

P（甲隊(duì)最終獲勝）=.

正解 畫(huà)樹(shù)狀圖：

P（甲隊(duì)最終獲勝）=.

歸因與剖析 比賽的結(jié)果有三種情況：勝、平、負(fù)，特別是題目中強(qiáng)調(diào)“甲、乙兩隊(duì)之間每局比賽輸贏的機(jī)會(huì)相同”. 乒乓球在一局比賽中，先得11分的一方為勝方，10平后，先多得2分的一方為勝方，所以乒乓球比賽的結(jié)果只有兩種情況：“勝”或“負(fù)”. 數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，所以如乒乓球比賽的賽制這類(lèi)生活常識(shí)，學(xué)生需了解.

由于對(duì)關(guān)注事件理解有誤導(dǎo)致

關(guān)注事件的結(jié)果數(shù)錯(cuò)誤

問(wèn)題4 在某小學(xué)“演講大賽”選拔賽初賽中，甲、乙、丙三位評(píng)委對(duì)小選手的綜合表現(xiàn)分別給出“待定”（用字母W表示）或“通過(guò)”（用字母P表示）的結(jié)論. 請(qǐng)用樹(shù)狀圖表示出對(duì)于小選手琪琪，只有甲、乙兩位評(píng)委給出相同結(jié)論的概率是多少？

錯(cuò)解 畫(huà)樹(shù)狀圖：

其中只有甲、乙兩位評(píng)委給出相同結(jié)論的結(jié)果有4種，

P（只有甲、乙兩位評(píng)委給出相同結(jié)論）==.

正解 其中只有甲、乙兩位評(píng)委給出相同結(jié)論的結(jié)果有2種，

P（只有甲、乙兩位評(píng)委給出相同結(jié)論）==.

剖析與歸因 在看樹(shù)狀圖時(shí)只關(guān)注了甲、乙的結(jié)論是否一樣，并沒(méi)有考慮丙評(píng)委的結(jié)論與甲和乙的關(guān)系. 認(rèn)真審題是解題的關(guān)鍵，忽略任意一個(gè)小的細(xì)節(jié)，都會(huì)帶來(lái)整個(gè)題目的理解錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.

由于數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法運(yùn)用

不靈活導(dǎo)致與其他知識(shí)相結(jié)合

考查時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤

問(wèn)題5 （1）甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機(jī)傳給乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機(jī)傳給其他三人中的某一人，求第二次傳球回到甲手里的概率是多少. （請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表等方式給出解析過(guò)程）

（2）如果甲跟另外n（n≥2）個(gè)人做（1）中同樣的游戲，那么第三次傳球后球回到甲手里的概率是______.

第（1）問(wèn)比較容易，共有9種等可能的結(jié)果，符合條件的情況有3種， 概率為. 下面研究第（2）小問(wèn).

解法1 所有等可能的結(jié)果共有n3種，其中第三次傳球后球回到甲手里的結(jié)果有n（n-1）種，P（第三次傳球后球回到甲手里）==.

解法2 （畫(huà)圖解決）畫(huà)出n=2時(shí)，三次傳球后的樹(shù)狀圖，得P===；

畫(huà)出n=3時(shí)，三次傳球后的樹(shù)狀圖，得P===；

畫(huà)出n=4時(shí)，三次傳球后的樹(shù)狀圖，得P===，

所以通過(guò)表示可得出該題規(guī)律為P=.

歸因與剖析 從這個(gè)問(wèn)題中，我們明顯可以得到兩點(diǎn)啟示：①第（2）小題在考查學(xué)生“化歸思想”，如果學(xué)生遇到一個(gè)題目有多個(gè)小題，且每個(gè)小題所求的結(jié)論類(lèi)似時(shí)，可以嘗試用第1小題的處理方式來(lái)解決之后的小題，這也是“化歸思想”想考查學(xué)生的地方. ②遇到找規(guī)律的題目時(shí)，請(qǐng)注意處理方法：從n的最小值開(kāi)始去研究題目要求的量，不要怕煩瑣，直到所代入的數(shù)能從結(jié)果中發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止，只要將變化部分用字母代替，不變部分照抄就能得出規(guī)律.

歸納與反思

概率是中考命題的重點(diǎn)之一，經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、幾何圖形等知識(shí)綜合在一起考查，我們需牢固掌握樹(shù)狀圖（列表）法，利用概率公式解決此類(lèi)問(wèn)題. 題目千變?nèi)f化，我們需養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，善于總結(jié)歸納，力爭(zhēng)讓自己不斷提高. 從五類(lèi)常見(jiàn)錯(cuò)誤來(lái)看，閱讀和理解是第一步，只有正確地把握題目的含義，抓住階梯的關(guān)鍵因素，才能有效地避免出錯(cuò)，而從學(xué)生的問(wèn)題中，教師也能反思自身課堂的得失，找到最佳的教學(xué)方式，實(shí)現(xiàn)最好的課堂效果.