授人以魚,不如授之以漁

王潔

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是蘇教版高中《數(shù)學(xué)》“必修五”中基本不等式的應(yīng)用。本節(jié)課書本上總共4個(gè)例題，教參上安排了3課時(shí)。

例1：用長(zhǎng)為4a的鐵絲圍成一個(gè)矩形，怎樣才能使所圍矩形的面積最大？

例2：某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？

例3：過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程。

例4：一份印刷品的排版面積（矩形）為A，它的兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為b的空白，如何選擇紙張的尺寸，才能使紙的用量最少？

例1是已知兩數(shù)的和為定值求積的最大值的問(wèn)題，例2是已知兩正數(shù)積為定值求和的最小值的問(wèn)題，這兩題難度不大，是應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題的兩種基本類型,是本節(jié)課要涉及的內(nèi)容。由于學(xué)生在學(xué)習(xí)基本不等式前沒(méi)有學(xué)過(guò)解析幾何，所以例3不考慮在本節(jié)課講。例4要求較高，在基本不等式應(yīng)用的首節(jié)課也不打算涉及。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)到底是在建模還是在運(yùn)用基本不等式解決函數(shù)的最值問(wèn)題？這是我開(kāi)始準(zhǔn)備這節(jié)課時(shí)一個(gè)困惑的地方。我在了解了學(xué)生的情況后知道，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了一節(jié)基本不等式證明，運(yùn)用基本不等式是一節(jié)新課，于是確定重點(diǎn)、難點(diǎn)應(yīng)在運(yùn)用基本不等式求解函數(shù)的最值問(wèn)題上，實(shí)際上這是一個(gè)載體，應(yīng)該讓學(xué)生初步體會(huì)應(yīng)用題的解題思想方法和步驟。

出于以上考慮我定下了教案初稿。

例1：用長(zhǎng)為4a的鐵絲圍成一個(gè)矩形，怎樣才能使所圍矩形的面積最大？（周長(zhǎng)相等的矩形，面積相等嗎？哪個(gè)面積最大？）

變式1：某小型家禽養(yǎng)殖場(chǎng)主擬用36m籬笆圍一個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)，為了避免混養(yǎng)，要用籬笆在里面搭建隔斷，為使得養(yǎng)殖場(chǎng)總面積最大，應(yīng)如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬？

（設(shè)計(jì)意圖：在和不是定值的情況下，如何經(jīng)過(guò)配湊可以使用基本不等式解決。）

變式2：假設(shè)現(xiàn)在籬笆足夠多，要建造一個(gè)面積為100m2的養(yǎng)殖場(chǎng)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形的長(zhǎng)和寬使得所用籬笆最少？

（設(shè)計(jì)意圖：基本不等式的另一種應(yīng)用，積定和最小。）

思考：在實(shí)際問(wèn)題中會(huì)有什么限制呢？可能由于場(chǎng)地的限制，養(yǎng)殖場(chǎng)的寬最大為6m，又應(yīng)如何設(shè)計(jì)？

（設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)調(diào)定義域，同時(shí)強(qiáng)調(diào)基本不等式等號(hào)不能漏。）

變式3：如圖1，ABCD是周長(zhǎng)為24的矩形，AB>AD，△AB′C是以對(duì)角線為軸的△ABC的軸對(duì)稱圖形，B′A與DC交于點(diǎn)P，求△APD面積的最大值。

（設(shè)計(jì)意圖:此題也是討論周長(zhǎng)為定值的矩形中的一些最值問(wèn)題，考慮到學(xué)生基礎(chǔ)較好，擔(dān)心簡(jiǎn)單的問(wèn)題他們“吃不飽”，于是準(zhǔn)備了此題在建模和求函數(shù)最值上有一定的難度，可以調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性。）

經(jīng)過(guò)試上一節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)這樣安排有一些不足：

1.這節(jié)課是基本不等式應(yīng)用的首節(jié)課，我沒(méi)有理清楚，通過(guò)這節(jié)課我到底要讓學(xué)生明白什么？目的不明確是上不好課的。我的教學(xué)目標(biāo)是應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，重點(diǎn)是基本不等式，而不是建模。顯然，變式3情境過(guò)于復(fù)雜，沒(méi)有必要，引導(dǎo)的方向不對(duì)，把重心放在建立模型上去了，這不是這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。

2.由于最后一個(gè)問(wèn)題有難度，所以顯得課堂容量過(guò)大，對(duì)前面幾個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，好的學(xué)生很快就能得出結(jié)論，草草總結(jié)，學(xué)生的思維過(guò)程沒(méi)有被挖掘出來(lái)，對(duì)于問(wèn)題背后的知識(shí)方法沒(méi)有講透，更沒(méi)有達(dá)到我的教學(xué)目的。

于是總結(jié)經(jīng)驗(yàn)后我又重新備課。

首先創(chuàng)設(shè)情境：前幾天帶學(xué)生學(xué)農(nóng)看到很多美麗的菜園，如何用一定長(zhǎng)度的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園使得面積最大？讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)和實(shí)際生活密不可分，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

讓學(xué)生自己解答情境中的問(wèn)題也就是書本例1，除了書上的解法，學(xué)生更可能會(huì)用其他解法，由他們自己選擇解法，然后根據(jù)學(xué)生的解法進(jìn)行必要的討論，這樣有利于提高學(xué)生活動(dòng)的積極性。大部分學(xué)生首先想到的一定是建立二次函數(shù)，指出定義域，然后配方求解。在評(píng)價(jià)時(shí)提問(wèn)，能夠運(yùn)用剛學(xué)習(xí)過(guò)的基本不等式知識(shí)求解嗎？如果已經(jīng)有人用基本不等式做了，要追問(wèn)是怎么想到的。

讓學(xué)生自己嘗試用基本不等式求解，并向?qū)W生追問(wèn)：為什么可以這樣做？為什么9就是最大值呢？（這個(gè)很重要！≤=9的意義是不論左邊的x取條件范圍中的什么數(shù)，這個(gè)不等式總成立），需要注意什么？（比如條件是兩個(gè)正數(shù)——關(guān)注范圍已在其中、和是定值、等號(hào)要成立。）有的學(xué)生會(huì)設(shè)兩個(gè)變量，讓學(xué)生初步感受在學(xué)習(xí)了基本不等式以后可以建立二元函數(shù)，求得最值，最后讓學(xué)生自己小結(jié)解決問(wèn)題的基本步驟。

例1完成后加上一個(gè)變式，通過(guò)變化兩數(shù)使之滿足基本不等式運(yùn)用的條件，促使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)理解基本不等式使用的條件。如果說(shuō)上題學(xué)生的解法比較單一，沒(méi)有設(shè)二元的想法，此題學(xué)生在思考時(shí)思路就更加寬闊了，有不少人發(fā)現(xiàn)了設(shè)兩個(gè)變量的好處，會(huì)有不同的解法。讓學(xué)生體會(huì)配湊的思想，掌握使用基本不等式求最值的問(wèn)題的形式。

然后，可以讓學(xué)生互相編一道題：“你能編一道乘積是定值的題嗎？那條件是什么？要求什么？怎么做？依據(jù)是什么？”讓學(xué)生自己編題可以讓學(xué)生熟悉基本不等式的應(yīng)用，尤其是使學(xué)生更好地把握基本不等式的本質(zhì)特征，以及基本不等式使用的條件。

在編題時(shí)學(xué)生想法可能比較單一，就是把例1的條件結(jié)論調(diào)換一下，這時(shí)候我給出書本上的例2，可以讓學(xué)生在這個(gè)類型的問(wèn)題上打開(kāi)思路。

最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)基本不等式求函數(shù)最值問(wèn)題的方法要點(diǎn)以及解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟。

基本不等式的應(yīng)用新課的教學(xué)一定要重視挖掘思想方法，思想、方法在哪里？在過(guò)程中。把思維過(guò)程體現(xiàn)出來(lái)，把作用發(fā)揮出來(lái)。不能圖快，不要圖多，要講透，把基本過(guò)程弄清楚，重視過(guò)程而不僅僅是結(jié)果。

【課例呈現(xiàn)】

一、教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0）。

2.會(huì)應(yīng)用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

正確運(yùn)用基本不等式求解最值問(wèn)題。

三、教學(xué)過(guò)程

教學(xué)情境：數(shù)學(xué)在我們生活中無(wú)處不在，前幾天帶學(xué)生學(xué)農(nóng)時(shí)看到很多美麗的菜園，在這些菜園中就蘊(yùn)含了很多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【問(wèn)題1】用長(zhǎng)為4a的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，怎樣設(shè)計(jì)才能使所圍的菜園面積最大？（四名學(xué)生用四種方法解答了此題，教師板書。）

解法一：設(shè)矩形一邊AB=x（0

則BC=2a-x，矩形面積為S=x（2a-x），

且x>0，2a-x>0。

由基本不等式，得≤=a

當(dāng)且僅當(dāng)x=2a-x，即x=a時(shí)，取“=”。

由此可知，當(dāng)x=a時(shí)，S取最大值a2。

答：將菜地圍成正方形時(shí)面積最大，最大面積是a2。

解法二：S=x（2a-x），0

S=x（2a-x）≤［］2=a2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2a-x，即x=a時(shí)，取“=”（下面的解答同“解法一”）

解法三：S=x（2a-x），0

S=x（2a-x）

=-x2+2ax

=-（x-a）2+a2≤a2。（配方法）（下面的解答同“解法一”）

解法四：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x，寬為y（x>0，y>0），

則2x+2y=4a，即x+y=2a，

面積S=xy≤（）2=a2

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=a時(shí)取到“=”，∴Smax=a2

【師生討論】

1.在解題中使用的是什么數(shù)學(xué)工具？

2.基本不等式是哪個(gè)式子？你能描述這個(gè)式子嗎？（可以加深學(xué)生對(duì)基本不等式的記憶。）

3.你怎么想到這個(gè)方法的？這個(gè)式子使用的時(shí)候要注意什么？（強(qiáng)調(diào)基本不等式的使用條件，了解何時(shí)能取等號(hào)。）