萬有引力公式推導(dǎo)中平等性和對(duì)稱性的釋疑

黃曉虹

摘要：萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，是17世紀(jì)自然科學(xué)最偉大的成果之一。它第一次解釋了一種基本相互作用規(guī)律（自然界中四中相互作用之一），在人類認(rèn)識(shí)自然的歷史上樹立了一座里程碑。萬有引力定律的論證包含著假設(shè)、歸納和推測(cè)，在經(jīng)過實(shí)驗(yàn)和觀測(cè)的反復(fù)驗(yàn)證后上升為一條定律。

關(guān)鍵詞：萬有引力；演繹；推導(dǎo)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）11-195-01

高中物理課本對(duì)萬有引力的學(xué)習(xí)，經(jīng)歷了從行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律到萬有引力定律的建立過程，是極好的科學(xué)探究過程。整個(gè)學(xué)習(xí)過程追尋古學(xué)者的足跡展開：

1、思考：為什么行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)？為什么天上太陽不會(huì)掉下來？

2、猜想與假設(shè)：在開普勒第三定律的基礎(chǔ)上，伽利略、開普勒以及法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾都提出過太陽對(duì)行星的引力F應(yīng)該與行星到太陽的距離r有關(guān)。

3、牛頓簡(jiǎn)化模型，行星軌道按照“圓”來處理。

4、演繹與推導(dǎo)：

（1）根據(jù)牛頓第二定律，得到

（2）根據(jù)牛頓第三定律，得到行星對(duì)太陽的引力大小也存在上述對(duì)稱關(guān)系的結(jié)果，即

（3）根據(jù)行星與太陽地位的“平等性”，得到

關(guān)于“平等性”和“對(duì)稱性”課本上并沒有過多的解釋，下面我就這兩點(diǎn)進(jìn)行下探討：

第一處：對(duì)太陽與行星“對(duì)稱性”如何理解？

按照牛頓的簡(jiǎn)化模型，我們應(yīng)該得到如下兩種情形，

學(xué)生會(huì)產(chǎn)生這樣的質(zhì)疑，從小我們都知道地球是繞著太陽轉(zhuǎn)的，太陽怎么可能繞著地球轉(zhuǎn)呢？我認(rèn)為可以從以下兩方面來釋疑，（1）日心說和地心說只是選取不同參考系得到的兩種結(jié)論，從今天科學(xué)來看都是不完善的，還存在缺陷。以地球?yàn)閰⒖枷?，觀測(cè)到太陽每天東升西落；以太陽為參考系，觀測(cè)到地球繞太陽公轉(zhuǎn)，兩種模型是以不同的參考系為基礎(chǔ)建立的，不存在互相矛盾的問題。（2）直到今天關(guān)于太陽與地球的轉(zhuǎn)動(dòng)形式準(zhǔn)確描述仍存在爭(zhēng)議，有的學(xué)說還認(rèn)為，太陽與行星圍繞一個(gè)共同的質(zhì)心運(yùn)轉(zhuǎn)。

第二處：太陽與行星地位的“平等性”如何理解？

同時(shí)

根據(jù)牛頓第二定律 大小相等所以

從哲學(xué)角度解釋，F(xiàn)對(duì)M、m依賴關(guān)系相同，引入比例系數(shù)G，得

這樣的解釋肯定是正確的，可是如果遇到鉆“牛角尖”的學(xué)生，可能會(huì)想不通，要求演示具體推導(dǎo)過程，那么我們可以利用數(shù)學(xué)方式推導(dǎo)出結(jié)果，更有說服力。

假設(shè)一顆繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的行星的質(zhì)量為m，軌道半徑為r，運(yùn)行周期為T，太陽的質(zhì)量為M，行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)：①根據(jù)開普勒第三定律：②

由②代入①得：③，設(shè) ，得④根據(jù)對(duì)稱性：行星對(duì)太陽的引力⑤

由②代入⑤得：⑥

設(shè) ，得⑦

根據(jù)牛頓第三定律， ，由④和⑦得

化簡(jiǎn)得：

設(shè) ，則 ⑧， ⑨

由⑧代入④得：

同理由⑨代入⑦得：

所以行星與太陽相互作用力