排列組合的解題策略

冉俊壓

摘要：排列組合作為高中選修教材的一個獨立分支，因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使教者覺得講清楚了，但是由于學生的認知水平，思維能力在一定程度上受到限制，還不太適應。從而導致學生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”。針對這一現(xiàn)象，筆者在日常教學過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個人的想法針對占位子問題和分組問題跟各位同行交流一下。

關(guān)鍵詞：占位子問題；分組問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）11-179-01

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉(zhuǎn)換，讓學生走進題目當中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發(fā)揮學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā)，逐步適應排列組合題的解題規(guī)律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明：

一、占位子問題

例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

1、仔細審題：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

2、轉(zhuǎn)換題目：在審題的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學生興趣進入角色，我將題目轉(zhuǎn)換為：

讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準備好放在講臺前），要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

3、解決問題：這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子（學生爭著上臺，積極性已經(jīng)得到了極大的提高），班上其他同學也都積極思考（充分發(fā)揮了學生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。

4、學生小結(jié)：接著我讓學生之間互相討論，根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

5、老師總結(jié)：對于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

二、分組問題

例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù)，問這樣的五位數(shù)有幾個？

（本題我是先讓學生計算，有很多同學得出的結(jié)論是A ×A ）

1、仔細審題：先由學生審題，明確組成五位數(shù)是一個排列問題，但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

2、轉(zhuǎn)換題目：在學生充分審題后，我讓學生自己對題目進行等價轉(zhuǎn)換，有一位同學Ａ將題目轉(zhuǎn)換如下：

從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學分別去參加重慶市舉辦的語文、數(shù)學、英語、物理、化學競賽，問有多少種不同的選法？

3、解決問題：接著我就讓同學Ａ來提出選人的方案

同學Ａ說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有A ×A 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有A ×A 種選法；最后由乘法原理得出結(jié)論為（A ×A ）×（A ×A ）（種）。（這時同學Ｂ表示反對）

同學Ｂ說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是A ×A 。（同學們都表示同意，但是同學Ｃ說太繁）

同學Ｃ說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學科中排列，他列出的計算式是Ｃ ×Ｃ ×A （種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來Ｃ×Ｃ×A（種）。

4、老師總結(jié)：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是我一節(jié)課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試，進一步活躍課堂氣氛，更全面地調(diào)動學生的學習積極性，發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉(zhuǎn)換問題，解決問題。