方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

郭炳燕

【教材分析】

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是必修1第三章《函數(shù)的應(yīng)用》的第一課時(shí)，其目的是使學(xué)生學(xué)會用二分法求方程近似解的方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系．利用函數(shù)模型解決問題，作為一條主線貫穿了全章的始終，而方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系、用二分法求方程的近似解，是在建立和運(yùn)用函數(shù)模型的大背景下展開的。方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系、用二分法求方程的近似解中均蘊(yùn)涵了“函數(shù)與方程的思想”和“數(shù)形結(jié)合的思想”。

（1）“函數(shù)零點(diǎn)”這一概念的引入，為方程根的求解問題提供了一種新的有效的方法，具有著重大的現(xiàn)實(shí)意義。因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)讓學(xué)生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識與原有知識形成聯(lián)系，讓新知識自然的發(fā)生發(fā)展。也讓學(xué)生體驗(yàn)到這一概念引入的必要性。

（2）零點(diǎn)存在性定理是本節(jié)的一個(gè)重要內(nèi)容，如何引入才自然、恰當(dāng)，讓學(xué)生容易接受是一個(gè)難點(diǎn)。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生自己探究總結(jié)出零點(diǎn)存在性定理。同時(shí)，要讓學(xué)生明確零點(diǎn)存在性定理僅能判斷出零點(diǎn)的存在性，而對零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷。

【學(xué)情分析】

1.對于函數(shù)零點(diǎn)的概念本質(zhì)的理解，學(xué)生缺乏的是函數(shù)的觀點(diǎn)，或是函數(shù)應(yīng)用的意識，造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。要解決這一問題，教學(xué)中要通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生思考，再通過實(shí)例（如：二次函數(shù)圖象和二次方程之間的聯(lián)系）的確認(rèn)與體驗(yàn)，從直觀到抽象，從特殊到一般的學(xué)習(xí)方式，捅破學(xué)生認(rèn)識上的這層“窗戶紙”。

2.對于零點(diǎn)存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學(xué)生操作感知，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生舉例來驗(yàn)證，最終能自主地獲得并確認(rèn)該定理的結(jié)論。對于定理的條件和結(jié)論，學(xué)生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進(jìn)行審視。

【主要教學(xué)方式方法】

本節(jié)主要教學(xué)方式為課堂討論法。實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，需要借助計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器，一方面是繪制函數(shù)圖象，通過觀察圖象加深方程的根、函數(shù)零點(diǎn)以及同時(shí)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的關(guān)系；另一方面，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間過程中，一些函數(shù)值的計(jì)算也必須借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解函數(shù)零點(diǎn)的定義；

2.掌握方程的實(shí)根與其相應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的等價(jià)關(guān)系；

3.理解零點(diǎn)存在性定理，并能初步確定具體函數(shù)存在零點(diǎn)的區(qū)間。

【重點(diǎn)、難點(diǎn)】

教學(xué)重點(diǎn)：方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系及零點(diǎn)存在性定理的深入理解與應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確理解零點(diǎn)存在性定理，并針對具體函數(shù)（或方程），能求出存在零點(diǎn)（或根）的區(qū)間。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境

問題1：求下列方程的根。

（1）2x-1=0；（2）x2-2x-3=0；（3）lnx+2x-6=0。

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的認(rèn)知沖突中，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，推動(dòng)問題進(jìn)一步的探究。通過簡單的引導(dǎo)，讓學(xué)生自己總結(jié)出函數(shù)與方程的根之間的聯(lián)系。開門見山的提出函數(shù)思想解決方程根的問題，點(diǎn)明本節(jié)課的目標(biāo)。

師：出示問題。

生：獨(dú)立思考解答，并發(fā)現(xiàn)（3）存在的問題。

師：引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，畫函數(shù)圖象，分析方程的根與圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系。推廣到一般的方程和函數(shù)，引出零點(diǎn)概念。

二、新課探究

1. 函數(shù)零點(diǎn)的概念.：一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).

問題2：函數(shù)y=x2-2x-3的零點(diǎn)是：（ ）

A．（-1，0）,（3，0）； B．x=-1；

C．x=3； D．-1和3．

設(shè)計(jì)意圖：明確函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它實(shí)際是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它是實(shí)數(shù)。

師：僅提出問題，不做任何提示。

生：相互交流，總結(jié)出零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn)，而是實(shí)數(shù)。

問題3：你能分別從函數(shù)圖象和方程的角度，對函數(shù)的零點(diǎn)換一種說法嗎？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步掌握函數(shù)的核心概念，同時(shí)通過圖象和方程進(jìn)行一步完善對函數(shù)零點(diǎn)的全面理解，為下面借助圖象探究零點(diǎn)存在性定理作好一定的鋪墊。

師：提出問題，要求各學(xué)習(xí)小組討論得出結(jié)論。

生：選兩三個(gè)學(xué)習(xí)小組闡述各組觀點(diǎn)，認(rèn)真總結(jié)理解函數(shù)零點(diǎn)的意義。

2. 函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

即：方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)．

問題4：求函數(shù)f(x)=lg(x-1)的零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的動(dòng)手操作，既檢查了學(xué)生對零點(diǎn)概念的理解，又讓學(xué)生探索出求函數(shù)零點(diǎn)常用的兩種方法：①可以解方程f(x)=0而得到（代數(shù)法），②可以利用函數(shù)y=f(x)的圖象找出（幾何法）。

師：提出問題，給三分鐘時(shí)間讓學(xué)生解答。展示學(xué)生解答，引導(dǎo)學(xué)生歸納出函數(shù)零點(diǎn)的求法。

生：獨(dú)立完成解答，并展示成果。

3. 函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；

2 （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)。

問題5：如果把函數(shù)比作一部電影，那么函數(shù)的零點(diǎn)就像是電影的一個(gè)瞬間，一個(gè)鏡頭。有時(shí)我們會忽略一些鏡頭，但是我們?nèi)匀荒芡茰y出被忽略的片斷。現(xiàn)在我有兩組鏡頭（如圖），哪一組能說明他的行程一定曾渡過河？

（1）

（2）

設(shè)計(jì)意圖：從現(xiàn)實(shí)生活中的問題，讓學(xué)生體會動(dòng)與靜的關(guān)系，系統(tǒng)與局部的關(guān)系。

問題6： 將河流抽象成x軸，將前后的兩個(gè)位置視為A、B兩點(diǎn)。請問當(dāng)A、B與x軸怎樣的位置關(guān)系時(shí)，AB間的一段連續(xù)不斷的函數(shù)圖象與x軸一定會有交點(diǎn)？（其中： A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)。）

設(shè)計(jì)意圖：將現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象成數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行合情推理，將原來學(xué)生只認(rèn)為靜態(tài)的函數(shù)圖象，理解為一種動(dòng)態(tài)的過程。

問題7：A、B與x軸的位置關(guān)系，如何用數(shù)學(xué)符號（式子）來表示？

設(shè)計(jì)意圖：由原來的圖象語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和提取有效信息的能力。體驗(yàn)語言轉(zhuǎn)化的過程。

問題8：滿足上述條件的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)一定在（a，b）內(nèi)嗎？即函數(shù)的零點(diǎn)一定在（a，b）內(nèi)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)從現(xiàn)實(shí)生活中抽象成數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要一定修正。加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)動(dòng)態(tài)的感受，對函數(shù)的定義有進(jìn)一步的理解。通過上述探究，讓學(xué)生自己概括出零點(diǎn)存在性定理。

師：引導(dǎo)學(xué)生從生活情景出發(fā)，利用“問題鏈”設(shè)計(jì)，結(jié)合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號情況與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間的關(guān)系。

生：結(jié)合函數(shù)圖象，思考、討論、歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評析．

師：組織學(xué)生總結(jié)剛才探索所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以討論，形成集體的意見。

4．函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈ (a，b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。

問題9：你能回答下列問題嗎？

（1）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是間斷的，上述結(jié)論還成立嗎？

（2）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)一定唯一嗎？

endprint

（3）問題3中再加一個(gè)什么條件就能保證一定只有一個(gè)零點(diǎn)？

（4）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)一定有f(a)·f(b)<0嗎？

（5）一般地，所有函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號零點(diǎn)）

設(shè)計(jì)意圖：通過教師的設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容。

師：通過一串問題引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用。

生：讓學(xué)生在黑板上畫圖象幫助理解。如：

（1）不行。如下圖:

（2）不一定只有一個(gè)，如下圖，有三個(gè):

三、概念和定理的鞏固及應(yīng)用

例1：觀察下表，分析函數(shù)f(x)=3x5+6x-1 在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

x －2 －1 0 1 2

f(x) -109 -10 -1 8 107

設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用零點(diǎn)的存在性定理來判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題。并引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，通過作出x,f(x)，的對應(yīng)值表，來尋找函數(shù)值異號的區(qū)間，還可以借助計(jì)算機(jī)來作函數(shù)的圖象分析零點(diǎn)問題。而且對函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀認(rèn)識。

例2：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解法1：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x,f(x)， 的對應(yīng)值表和圖象。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表可知，f(2)<0,f(3)>0則f(2)f(3)<0，這說明函數(shù)在f(x)區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)。結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而說明零點(diǎn)有且只有唯一一個(gè)。

師：引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，指出可以借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀的認(rèn)識。

生：結(jié)合圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

師：如果不用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來畫函數(shù)的圖象，還能解決本題嗎？

生：（解法2）由f(x)=0?lnx=6-2x，因此分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=6-2x，在同一直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，本題就有幾個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生應(yīng)用例題1方法來解決例題2的零點(diǎn)存在性問題，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從圖象的直觀上去判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。本題既回答了引例中方程lnx+2x-6=0的根是否存在的問題，又引起學(xué)生對“如何求出它的根”作進(jìn)一步的思考，為下一節(jié)二分法求方程的近似解埋下伏筆。

練習(xí)：利用函數(shù)圖象判斷下列方程根的個(gè)數(shù)。（不允許使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器）

（1）2x（x-2）=-3

（2）0=x-3+lgx

設(shè)計(jì)意圖：①明確方程2x(x-2)=-3對應(yīng)的函數(shù)是y=2x(x-2)+3，而不是y=2x(x-2)；

②讓學(xué)生從實(shí)例中體會函數(shù)y=x-3+lgx的圖象不容易畫出時(shí)，把0=x-3+lgx變形成lgx=3-x的好處。

四、小結(jié)

（1）請回顧本節(jié)課所學(xué)知識內(nèi)容有哪些？

（2）所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些？

（3）你還獲得了什么？

五、作業(yè)

【基礎(chǔ)作業(yè)】必做題

1. 若f(x)=x2-3x+2，則方程f(x)=0的實(shí)根為 ，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 。

2. 已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)椋业钠婧瘮?shù)，且f(x)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) 。

A.３B.２C.１D.不確定

3. 已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應(yīng)值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有（）個(gè)

A.5個(gè) B.4個(gè)C.3個(gè) D.2個(gè)

4. 函數(shù)f(x)= -x3-3x+5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）

A.( - 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

5. 方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為。（請說明理由）

設(shè)計(jì)意圖：在概念的易錯(cuò)，易混點(diǎn)處出題，加深對概念的理解；利用常見題型幫助學(xué)生鞏固所學(xué)新知。

【基礎(chǔ)作業(yè)】選做題

已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值時(shí)能分別滿足下列條件。

①有2個(gè)零點(diǎn)；②3個(gè)零點(diǎn)；③4個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)有余力的學(xué)生搭建展示自己的舞臺，充分利用學(xué)生的表現(xiàn)欲，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

【板書設(shè)計(jì)】

3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

一、創(chuàng)設(shè)情境

二、新課探究

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念；

2.函數(shù)零點(diǎn)的意義；

3.函數(shù)零點(diǎn)的求法；

4.函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。 三、概念和定理的鞏固及應(yīng)用

四、小結(jié)

五、作業(yè) 學(xué)生

板演區(qū)：

課后反思：

現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認(rèn)為，有效的概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的。而在已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的新矛盾的出現(xiàn)，又會刺激學(xué)生積極地思考。因此在新課導(dǎo)入中，設(shè)計(jì)了“問題1：求下列方程的根。①2x-1=0；②x2-2x-3=0；③lnx+2x-6=0?！弊寣W(xué)生由熟悉的到陌生，引發(fā)思考。再者，本設(shè)計(jì)采用“啟發(fā)—探究—討論”教學(xué)模式精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問題鏈，逐層鋪墊，降低難度；由具體到一般地建立方程的根與相應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w和計(jì)算器，讓學(xué)生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程；給每個(gè)學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機(jī)會；設(shè)法走出“概念一帶而過，演習(xí)鋪天蓋地”的誤區(qū)，促使自己與學(xué)生一起走進(jìn)“重視探究、重視交流、重視過程” 的新天地。

建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是被動(dòng)接受，而是認(rèn)知主體積極主動(dòng)建構(gòu)的。本節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)正是在這種教學(xué)理念的指導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)問題情境——建構(gòu)概念——探究定理——注重反思——拓展應(yīng)用”的活動(dòng)過程，體驗(yàn)參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，成為積極主動(dòng)的建構(gòu)者。

endprint

（3）問題3中再加一個(gè)什么條件就能保證一定只有一個(gè)零點(diǎn)？

（4）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)一定有f(a)·f(b)<0嗎？

（5）一般地，所有函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號零點(diǎn)）

設(shè)計(jì)意圖：通過教師的設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容。

師：通過一串問題引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用。

生：讓學(xué)生在黑板上畫圖象幫助理解。如：

（1）不行。如下圖:

（2）不一定只有一個(gè)，如下圖，有三個(gè):

三、概念和定理的鞏固及應(yīng)用

例1：觀察下表，分析函數(shù)f(x)=3x5+6x-1 在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

x －2 －1 0 1 2

f(x) -109 -10 -1 8 107

設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用零點(diǎn)的存在性定理來判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題。并引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，通過作出x,f(x)，的對應(yīng)值表，來尋找函數(shù)值異號的區(qū)間，還可以借助計(jì)算機(jī)來作函數(shù)的圖象分析零點(diǎn)問題。而且對函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀認(rèn)識。

例2：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解法1：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x,f(x)， 的對應(yīng)值表和圖象。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表可知，f(2)<0,f(3)>0則f(2)f(3)<0，這說明函數(shù)在f(x)區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)。結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而說明零點(diǎn)有且只有唯一一個(gè)。

師：引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，指出可以借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀的認(rèn)識。

生：結(jié)合圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

師：如果不用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來畫函數(shù)的圖象，還能解決本題嗎？

生：（解法2）由f(x)=0?lnx=6-2x，因此分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=6-2x，在同一直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，本題就有幾個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生應(yīng)用例題1方法來解決例題2的零點(diǎn)存在性問題，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從圖象的直觀上去判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。本題既回答了引例中方程lnx+2x-6=0的根是否存在的問題，又引起學(xué)生對“如何求出它的根”作進(jìn)一步的思考，為下一節(jié)二分法求方程的近似解埋下伏筆。

練習(xí)：利用函數(shù)圖象判斷下列方程根的個(gè)數(shù)。（不允許使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器）

（1）2x（x-2）=-3

（2）0=x-3+lgx

設(shè)計(jì)意圖：①明確方程2x(x-2)=-3對應(yīng)的函數(shù)是y=2x(x-2)+3，而不是y=2x(x-2)；

②讓學(xué)生從實(shí)例中體會函數(shù)y=x-3+lgx的圖象不容易畫出時(shí)，把0=x-3+lgx變形成lgx=3-x的好處。

四、小結(jié)

（1）請回顧本節(jié)課所學(xué)知識內(nèi)容有哪些？

（2）所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些？

（3）你還獲得了什么？

五、作業(yè)

【基礎(chǔ)作業(yè)】必做題

1. 若f(x)=x2-3x+2，則方程f(x)=0的實(shí)根為 ，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 。

2. 已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)椋业钠婧瘮?shù)，且f(x)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) 。

A.３B.２C.１D.不確定

3. 已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應(yīng)值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有（）個(gè)

A.5個(gè) B.4個(gè)C.3個(gè) D.2個(gè)

4. 函數(shù)f(x)= -x3-3x+5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）

A.( - 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

5. 方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為。（請說明理由）

設(shè)計(jì)意圖：在概念的易錯(cuò)，易混點(diǎn)處出題，加深對概念的理解；利用常見題型幫助學(xué)生鞏固所學(xué)新知。

【基礎(chǔ)作業(yè)】選做題

已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值時(shí)能分別滿足下列條件。

①有2個(gè)零點(diǎn)；②3個(gè)零點(diǎn)；③4個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)有余力的學(xué)生搭建展示自己的舞臺，充分利用學(xué)生的表現(xiàn)欲，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

【板書設(shè)計(jì)】

3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

一、創(chuàng)設(shè)情境

二、新課探究

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念；

2.函數(shù)零點(diǎn)的意義；

3.函數(shù)零點(diǎn)的求法；

4.函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。 三、概念和定理的鞏固及應(yīng)用

四、小結(jié)

五、作業(yè) 學(xué)生

板演區(qū)：

課后反思：

現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認(rèn)為，有效的概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的。而在已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的新矛盾的出現(xiàn)，又會刺激學(xué)生積極地思考。因此在新課導(dǎo)入中，設(shè)計(jì)了“問題1：求下列方程的根。①2x-1=0；②x2-2x-3=0；③lnx+2x-6=0?！弊寣W(xué)生由熟悉的到陌生，引發(fā)思考。再者，本設(shè)計(jì)采用“啟發(fā)—探究—討論”教學(xué)模式精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問題鏈，逐層鋪墊，降低難度；由具體到一般地建立方程的根與相應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w和計(jì)算器，讓學(xué)生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程；給每個(gè)學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機(jī)會；設(shè)法走出“概念一帶而過，演習(xí)鋪天蓋地”的誤區(qū)，促使自己與學(xué)生一起走進(jìn)“重視探究、重視交流、重視過程” 的新天地。

建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是被動(dòng)接受，而是認(rèn)知主體積極主動(dòng)建構(gòu)的。本節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)正是在這種教學(xué)理念的指導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)問題情境——建構(gòu)概念——探究定理——注重反思——拓展應(yīng)用”的活動(dòng)過程，體驗(yàn)參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，成為積極主動(dòng)的建構(gòu)者。

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（3）問題3中再加一個(gè)什么條件就能保證一定只有一個(gè)零點(diǎn)？

（4）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)一定有f(a)·f(b)<0嗎？

（5）一般地，所有函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號零點(diǎn)）

設(shè)計(jì)意圖：通過教師的設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容。

師：通過一串問題引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用。

生：讓學(xué)生在黑板上畫圖象幫助理解。如：

（1）不行。如下圖:

（2）不一定只有一個(gè)，如下圖，有三個(gè):

三、概念和定理的鞏固及應(yīng)用

例1：觀察下表，分析函數(shù)f(x)=3x5+6x-1 在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)？

x －2 －1 0 1 2

f(x) -109 -10 -1 8 107

設(shè)計(jì)意圖：初步應(yīng)用零點(diǎn)的存在性定理來判斷函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題。并引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，通過作出x,f(x)，的對應(yīng)值表，來尋找函數(shù)值異號的區(qū)間，還可以借助計(jì)算機(jī)來作函數(shù)的圖象分析零點(diǎn)問題。而且對函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀認(rèn)識。

例2：求函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解法1：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x,f(x)， 的對應(yīng)值表和圖象。

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2

由表可知，f(2)<0,f(3)>0則f(2)f(3)<0，這說明函數(shù)在f(x)區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)。結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而說明零點(diǎn)有且只有唯一一個(gè)。

師：引導(dǎo)學(xué)生探索判斷函數(shù)零點(diǎn)的方法，指出可以借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來畫函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象對函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)形成直觀的認(rèn)識。

生：結(jié)合圖象確定零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后利用函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

師：如果不用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器來畫函數(shù)的圖象，還能解決本題嗎？

生：（解法2）由f(x)=0?lnx=6-2x，因此分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=6-2x，在同一直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，本題就有幾個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生應(yīng)用例題1方法來解決例題2的零點(diǎn)存在性問題，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從圖象的直觀上去判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題。本題既回答了引例中方程lnx+2x-6=0的根是否存在的問題，又引起學(xué)生對“如何求出它的根”作進(jìn)一步的思考，為下一節(jié)二分法求方程的近似解埋下伏筆。

練習(xí)：利用函數(shù)圖象判斷下列方程根的個(gè)數(shù)。（不允許使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器）

（1）2x（x-2）=-3

（2）0=x-3+lgx

設(shè)計(jì)意圖：①明確方程2x(x-2)=-3對應(yīng)的函數(shù)是y=2x(x-2)+3，而不是y=2x(x-2)；

②讓學(xué)生從實(shí)例中體會函數(shù)y=x-3+lgx的圖象不容易畫出時(shí)，把0=x-3+lgx變形成lgx=3-x的好處。

四、小結(jié)

（1）請回顧本節(jié)課所學(xué)知識內(nèi)容有哪些？

（2）所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些？

（3）你還獲得了什么？

五、作業(yè)

【基礎(chǔ)作業(yè)】必做題

1. 若f(x)=x2-3x+2，則方程f(x)=0的實(shí)根為 ，函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)是，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 。

2. 已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)椋业钠婧瘮?shù)，且f(x)在(0,+∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) 。

A.３B.２C.１D.不確定

3. 已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，有如下對應(yīng)值表：

x 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26

那么函數(shù)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有（）個(gè)

A.5個(gè) B.4個(gè)C.3個(gè) D.2個(gè)

4. 函數(shù)f(x)= -x3-3x+5的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（）

A.( - 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5)

5. 方程2-x+x2=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為。（請說明理由）

設(shè)計(jì)意圖：在概念的易錯(cuò)，易混點(diǎn)處出題，加深對概念的理解；利用常見題型幫助學(xué)生鞏固所學(xué)新知。

【基礎(chǔ)作業(yè)】選做題

已知f(x)=|x2-2x-3|-a，求a取何值時(shí)能分別滿足下列條件。

①有2個(gè)零點(diǎn)；②3個(gè)零點(diǎn)；③4個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：為學(xué)有余力的學(xué)生搭建展示自己的舞臺，充分利用學(xué)生的表現(xiàn)欲，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

【板書設(shè)計(jì)】

3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

一、創(chuàng)設(shè)情境

二、新課探究

1.函數(shù)零點(diǎn)的概念；

2.函數(shù)零點(diǎn)的意義；

3.函數(shù)零點(diǎn)的求法；

4.函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。 三、概念和定理的鞏固及應(yīng)用

四、小結(jié)

五、作業(yè) 學(xué)生

板演區(qū)：

課后反思：

現(xiàn)代教育心理學(xué)的研究認(rèn)為，有效的概念教學(xué)是建立在學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的。而在已有知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上的新矛盾的出現(xiàn)，又會刺激學(xué)生積極地思考。因此在新課導(dǎo)入中，設(shè)計(jì)了“問題1：求下列方程的根。①2x-1=0；②x2-2x-3=0；③lnx+2x-6=0?！弊寣W(xué)生由熟悉的到陌生，引發(fā)思考。再者，本設(shè)計(jì)采用“啟發(fā)—探究—討論”教學(xué)模式精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問題鏈，逐層鋪墊，降低難度；由具體到一般地建立方程的根與相應(yīng)的函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w和計(jì)算器，讓學(xué)生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程；給每個(gè)學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機(jī)會；設(shè)法走出“概念一帶而過，演習(xí)鋪天蓋地”的誤區(qū)，促使自己與學(xué)生一起走進(jìn)“重視探究、重視交流、重視過程” 的新天地。

建構(gòu)主義認(rèn)為：知識不是被動(dòng)接受，而是認(rèn)知主體積極主動(dòng)建構(gòu)的。本節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)正是在這種教學(xué)理念的指導(dǎo)下，讓學(xué)生經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)問題情境——建構(gòu)概念——探究定理——注重反思——拓展應(yīng)用”的活動(dòng)過程，體驗(yàn)參與數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，成為積極主動(dòng)的建構(gòu)者。

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