利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間極值最值”的基本步驟與討論點

林瑜+李明

【摘要】利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”是高中教材的重要知識點，也是近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的命題熱點.由于此類問題在解答時解題步驟多，往往需要對參數(shù)進(jìn)行多次討論，因而它是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，要讓學(xué)生對此類問題認(rèn)識與理解到位，進(jìn)而想得到解得出，就必須讓學(xué)生明確解答此類題目的三個問題：解答的基本步驟是什么？哪些步驟要討論？每步要討論什么？

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；單調(diào)區(qū)間；極值；最值；基本步驟；討論點

利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”是高中教材的重要知識點，也是近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的命題熱點.由于此類問題在解答時解題步驟多，往往需要對參數(shù)進(jìn)行多次討論，因而它是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，即便對高考參考答案，也有很多教師認(rèn)為 “思路不自然”、“學(xué)生想不到”、“非通性通法”。筆者認(rèn)為，要讓學(xué)生對此類問題認(rèn)識與理解到位，進(jìn)而想得到解得出，就必須讓學(xué)生明確解答此類題目的三個問題：解答的基本步驟是什么？哪些步驟要討論？每步要討論什么？

首先應(yīng)該明確，利用導(dǎo)數(shù)研究“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”解題的基本步驟為“一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟。

“一定”是指：第①步求函數(shù)的定義域；

“二導(dǎo)”是指：第②步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

“三求根”是指：第③步令f'(x)=0求出方程的根；

“四標(biāo)”是指：第④步在數(shù)軸上標(biāo)根；

“五穿”是指：第⑤步在數(shù)軸上“穿針引線”；

“六列表”是指：第⑥步列出“當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)變化情況表”

x … … … … …

f/(x) … … … … …

f(x) … … … … …

最后，根據(jù)表格可快速得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；再比較區(qū)間端點的函數(shù)值與極值的大小即得函數(shù)的最值。這些步驟充分暴露了利用導(dǎo)數(shù)研究“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”解題的思維過程，使學(xué)生明確了解題的大方向，在求解過程中思路更清晰，步驟更明確。

然后必須明確哪一步要討論？討論什么？根據(jù)以上步驟，易知以下步驟必須討論：

“第③步——求根”，求導(dǎo)后，令f'(x)=0，考慮是否有實根，從而引起討論。討論什么？有三種情況：是幾次方程要討論；對應(yīng)方程是否有實根要討論；根的大小要討論。

“第④步——標(biāo)根”，不知實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。討論什么？討論根標(biāo)（落）在定義域內(nèi)還是標(biāo)（落）在定義域外。

“第⑤步——穿針引線”，不知導(dǎo)函數(shù)圖像“開口”方向，從而引起討論。討論什么？在“穿針引線”時，因最高次項系數(shù)含參，需討論其正負(fù)。當(dāng)最高次項系數(shù)為正時，“從數(shù)軸右上方向下穿針引線”；當(dāng)最高次項系數(shù)為負(fù)時，“從數(shù)軸右下方向上穿針引線”。

以上三點即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時，可按上述三點的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。只要把握以上三個基本討論點，討論就有了方向和切入點，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復(fù)雜一些了，有時所給的區(qū)間還含參，還需要靈活把握。

下面，筆者重點介紹如何按照 “一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟來解決有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究 “含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的問題。

例1：求f'(x)=x3-3bx+3b的單調(diào)區(qū)間.

分析：由f'(x)=3x2-3b，此時求解f'(x)=0的根，需要對b開二次方根，因此必須討論b的符號。

討論點：在“求根”時，因f'(x)含參。所以f'(x)=0是否有解要討論。

簡解：（一定、二導(dǎo)）∵定義域為R,f'(x)=3x2-3b，

（三求根）①當(dāng)b≤0時，f'(x)≥0?f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)b>0時，f'(x)=(x+√b)(x-√b)

令f'(x)=0?x1=-√b，x2=√b

（四標(biāo)，五穿∵a=3 ∴從數(shù)軸右上方向下穿針引線 ）

（六列表）“當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)變化情況表”

x (-∞,-√b) -√b (-√b,√b) √b (√b,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

由表可知：函數(shù)f(x)在(-√b,√b)↓，(-∞,-√b)↑，(√b,+∞)↑

延伸１：求f(x)=x3-3bx+3b的極值

延伸２：若b=４求f(x)在區(qū)間[-3，3]上的最值。

變式１：若f'(x)=ex-b，

此時求解f'(x)=0的根，需要對b取“對數(shù)”，因此必須討論b的符號.

①當(dāng)b≤0時，f'(x)≥0?f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)b>0時，x=lnb

變式２：若f'(x)=ax-1其中a∈R

此時求解f'(x)=0的根，需要“除以a”，因此必須討論a是否為零。

①當(dāng)a=0時，f'(x)=-1<0?f(x)在上R單調(diào)遞減。

②當(dāng)a≠0時,令f'(x)=0?x= 1-a ?…

變式３：若f'(x)=2x2+ax+3(其中x>0)

此時求解f'(x)=0的根，即“求二次方程的根”，因此必須從“判別式”入手展開討論。

①當(dāng)△=0時，即a=±2√6時，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增；

②當(dāng)△<0時，即-2√60，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增；

③當(dāng)△>0時，即a>2√6時，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增;

當(dāng)a>2√6時，不妨設(shè)兩根為x1,x2且x1

則函數(shù)f(x)在(0,x1)↑，(x1,x2)↓，(x2,+∞)↑

例2：已知函數(shù)f(x)=kx3-3x2+1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

分析：∵f'(x)=3kx2-6x，對應(yīng)方程是幾次方程要討論；是否有實根要討論；方程f'(x)=0的根為x1=0，x2= 2-k ，必須討論兩根的大小。

討論點：在“標(biāo)根”時，因“根含參”大小不確定；在“穿針引線”時，因“最高次項系數(shù)含參數(shù)k”都要展開相應(yīng)的討論。

簡解：∵f'(x)=3kx2-6x

①當(dāng)k=0時，f'(x)=-6x，令f'(x)=0?x=0 ∴(-∞,0)↑，(0,+∞)↓

②當(dāng)k≠0時，令f'(x)=0?x1=0,x2= 2-k

1°.若k>0，則 2-k >0,如圖∴(-∞,0)↑，(0,2-k )↓,( 2-k,+∞)↑

2°.若k<0，則 2-k <0，如圖∴(-∞,2-k )↓，( 2-k ,0)↑,(0,+∞)↓

此時因為“最高次項系數(shù)含參數(shù)k”,在“穿針引線”時，因最高次項系數(shù)含參，需討論其正負(fù)。當(dāng)最高次項系數(shù)為正時，“從數(shù)軸右上方向下穿針引線”，當(dāng)最高次項系數(shù)為負(fù)時，“從數(shù)軸右下方向上穿針引線”。

例３： 已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2-a2x(x>0，a∈R)．

(1)是否存在實數(shù)a，使f'(1)是f(x)的極小值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

(2)當(dāng)a>0時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求a的最小值；

(3)當(dāng)a=√5時，f(x)在區(qū)間(k- 1-2 ,k)上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：這是一道利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的綜合題。

討論點：第（３）問中所研究的“區(qū)間”含參時，需依據(jù)“根”是否落在“區(qū)間”內(nèi)而展開討論。

簡解：(1) f'(x)= 2-x +2x-a2，由f'(1)=2+2-a2=0?a=±2，

?f'(x)= 2-x +2x-4=≥0? f(x)在定義域上遞增，

?f(x)沒有極小值．因此不存在實數(shù)a滿足條件．

(2)依題意f'(x)= 2-x +2x-a2≤0即a2≥ 2-x +2x在區(qū)間[1，2]上恒成立，

∴a2≥( 2-x +2x)max.當(dāng)x=2時， 2-x +2x在區(qū)間[1，2]上取得最大值5.

∴a2≥5∵a>0∴a≥5，即a的最小值為5.

(3)當(dāng)a=√5時，定義域(0,+∞)

f'(x)= 2-x +2x-5=(2x-1)x(x-2).

令 f'(x)=0?x1=2,x2= 1-2 （列表略）

當(dāng)x∈(0，1-2)∪(2，＋∞)時 f'(x)>0?f(x)在 (0，1-2)，(2，＋∞)上遞增．

當(dāng)x∈(1-2，2)時， f'(x)<0?f(x)在 (1-2，2)上遞減．

要使f(x)在區(qū)間(k- 1-2，k)上為單調(diào)函數(shù)，則 k- 1-2≥0

①當(dāng) { k ≤0時?k= 1-2

?f(x)在 (k- 1-2,k)上遞增，合題意；

k- 1-2≥1-2

②當(dāng) {k ≤2,時?k∈[1,2]

?f(x)在 (k- 1-2，k)上遞減，合題意；

③當(dāng) k-1-2≥2時?k∈[5-2,+∞)

?f(x)在 (k- 1-2，k)上遞增，合題意．

綜上，實數(shù)k的取值范圍是{1-2}∪[1,2]∪

[5-2,+∞).

按照 “一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟來解決有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究 “含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的問題，顯得自然、流暢，解題時能夠做到縱觀全局，逐一分析；應(yīng)注意在“求根、標(biāo)根、穿針引線”及“區(qū)間”含參時需討論，從而使得討論時能夠做到不慌不亂、不重不漏，具有很好的實用性與高效性。

在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)知識交匯的教學(xué)中，要特別注重分類討論思想和建模能力的培養(yǎng)，我們要以生為本，把提高課堂教學(xué)效率的對策付諸到教學(xué)活動之中。

【摘要】利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”是高中教材的重要知識點，也是近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的命題熱點.由于此類問題在解答時解題步驟多，往往需要對參數(shù)進(jìn)行多次討論，因而它是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，要讓學(xué)生對此類問題認(rèn)識與理解到位，進(jìn)而想得到解得出，就必須讓學(xué)生明確解答此類題目的三個問題：解答的基本步驟是什么？哪些步驟要討論？每步要討論什么？

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；單調(diào)區(qū)間；極值；最值；基本步驟；討論點

利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”是高中教材的重要知識點，也是近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的命題熱點.由于此類問題在解答時解題步驟多，往往需要對參數(shù)進(jìn)行多次討論，因而它是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，即便對高考參考答案，也有很多教師認(rèn)為 “思路不自然”、“學(xué)生想不到”、“非通性通法”。筆者認(rèn)為，要讓學(xué)生對此類問題認(rèn)識與理解到位，進(jìn)而想得到解得出，就必須讓學(xué)生明確解答此類題目的三個問題：解答的基本步驟是什么？哪些步驟要討論？每步要討論什么？

首先應(yīng)該明確，利用導(dǎo)數(shù)研究“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”解題的基本步驟為“一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟。

“一定”是指：第①步求函數(shù)的定義域；

“二導(dǎo)”是指：第②步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

“三求根”是指：第③步令f'(x)=0求出方程的根；

“四標(biāo)”是指：第④步在數(shù)軸上標(biāo)根；

“五穿”是指：第⑤步在數(shù)軸上“穿針引線”；

“六列表”是指：第⑥步列出“當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)變化情況表”

x … … … … …

f/(x) … … … … …

f(x) … … … … …

最后，根據(jù)表格可快速得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；再比較區(qū)間端點的函數(shù)值與極值的大小即得函數(shù)的最值。這些步驟充分暴露了利用導(dǎo)數(shù)研究“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”解題的思維過程，使學(xué)生明確了解題的大方向，在求解過程中思路更清晰，步驟更明確。

然后必須明確哪一步要討論？討論什么？根據(jù)以上步驟，易知以下步驟必須討論：

“第③步——求根”，求導(dǎo)后，令f'(x)=0，考慮是否有實根，從而引起討論。討論什么？有三種情況：是幾次方程要討論；對應(yīng)方程是否有實根要討論；根的大小要討論。

“第④步——標(biāo)根”，不知實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。討論什么？討論根標(biāo)（落）在定義域內(nèi)還是標(biāo)（落）在定義域外。

“第⑤步——穿針引線”，不知導(dǎo)函數(shù)圖像“開口”方向，從而引起討論。討論什么？在“穿針引線”時，因最高次項系數(shù)含參，需討論其正負(fù)。當(dāng)最高次項系數(shù)為正時，“從數(shù)軸右上方向下穿針引線”；當(dāng)最高次項系數(shù)為負(fù)時，“從數(shù)軸右下方向上穿針引線”。

以上三點即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時，可按上述三點的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。只要把握以上三個基本討論點，討論就有了方向和切入點，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復(fù)雜一些了，有時所給的區(qū)間還含參，還需要靈活把握。

下面，筆者重點介紹如何按照 “一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟來解決有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究 “含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的問題。

例1：求f'(x)=x3-3bx+3b的單調(diào)區(qū)間.

分析：由f'(x)=3x2-3b，此時求解f'(x)=0的根，需要對b開二次方根，因此必須討論b的符號。

討論點：在“求根”時，因f'(x)含參。所以f'(x)=0是否有解要討論。

簡解：（一定、二導(dǎo)）∵定義域為R,f'(x)=3x2-3b，

（三求根）①當(dāng)b≤0時，f'(x)≥0?f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)b>0時，f'(x)=(x+√b)(x-√b)

令f'(x)=0?x1=-√b，x2=√b

（四標(biāo)，五穿∵a=3 ∴從數(shù)軸右上方向下穿針引線 ）

（六列表）“當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)變化情況表”

x (-∞,-√b) -√b (-√b,√b) √b (√b,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

由表可知：函數(shù)f(x)在(-√b,√b)↓，(-∞,-√b)↑，(√b,+∞)↑

延伸１：求f(x)=x3-3bx+3b的極值

延伸２：若b=４求f(x)在區(qū)間[-3，3]上的最值。

變式１：若f'(x)=ex-b，

此時求解f'(x)=0的根，需要對b取“對數(shù)”，因此必須討論b的符號.

①當(dāng)b≤0時，f'(x)≥0?f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)b>0時，x=lnb

變式２：若f'(x)=ax-1其中a∈R

此時求解f'(x)=0的根，需要“除以a”，因此必須討論a是否為零。

①當(dāng)a=0時，f'(x)=-1<0?f(x)在上R單調(diào)遞減。

②當(dāng)a≠0時,令f'(x)=0?x= 1-a ?…

變式３：若f'(x)=2x2+ax+3(其中x>0)

此時求解f'(x)=0的根，即“求二次方程的根”，因此必須從“判別式”入手展開討論。

①當(dāng)△=0時，即a=±2√6時，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增；

②當(dāng)△<0時，即-2√60，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增；

③當(dāng)△>0時，即a>2√6時，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增;

當(dāng)a>2√6時，不妨設(shè)兩根為x1,x2且x1

則函數(shù)f(x)在(0,x1)↑，(x1,x2)↓，(x2,+∞)↑

例2：已知函數(shù)f(x)=kx3-3x2+1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

分析：∵f'(x)=3kx2-6x，對應(yīng)方程是幾次方程要討論；是否有實根要討論；方程f'(x)=0的根為x1=0，x2= 2-k ，必須討論兩根的大小。

討論點：在“標(biāo)根”時，因“根含參”大小不確定；在“穿針引線”時，因“最高次項系數(shù)含參數(shù)k”都要展開相應(yīng)的討論。

簡解：∵f'(x)=3kx2-6x

①當(dāng)k=0時，f'(x)=-6x，令f'(x)=0?x=0 ∴(-∞,0)↑，(0,+∞)↓

②當(dāng)k≠0時，令f'(x)=0?x1=0,x2= 2-k

1°.若k>0，則 2-k >0,如圖∴(-∞,0)↑，(0,2-k )↓,( 2-k,+∞)↑

2°.若k<0，則 2-k <0，如圖∴(-∞,2-k )↓，( 2-k ,0)↑,(0,+∞)↓

此時因為“最高次項系數(shù)含參數(shù)k”,在“穿針引線”時，因最高次項系數(shù)含參，需討論其正負(fù)。當(dāng)最高次項系數(shù)為正時，“從數(shù)軸右上方向下穿針引線”，當(dāng)最高次項系數(shù)為負(fù)時，“從數(shù)軸右下方向上穿針引線”。

例３： 已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2-a2x(x>0，a∈R)．

(1)是否存在實數(shù)a，使f'(1)是f(x)的極小值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

(2)當(dāng)a>0時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求a的最小值；

(3)當(dāng)a=√5時，f(x)在區(qū)間(k- 1-2 ,k)上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：這是一道利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的綜合題。

討論點：第（３）問中所研究的“區(qū)間”含參時，需依據(jù)“根”是否落在“區(qū)間”內(nèi)而展開討論。

簡解：(1) f'(x)= 2-x +2x-a2，由f'(1)=2+2-a2=0?a=±2，

?f'(x)= 2-x +2x-4=≥0? f(x)在定義域上遞增，

?f(x)沒有極小值．因此不存在實數(shù)a滿足條件．

(2)依題意f'(x)= 2-x +2x-a2≤0即a2≥ 2-x +2x在區(qū)間[1，2]上恒成立，

∴a2≥( 2-x +2x)max.當(dāng)x=2時， 2-x +2x在區(qū)間[1，2]上取得最大值5.

∴a2≥5∵a>0∴a≥5，即a的最小值為5.

(3)當(dāng)a=√5時，定義域(0,+∞)

f'(x)= 2-x +2x-5=(2x-1)x(x-2).

令 f'(x)=0?x1=2,x2= 1-2 （列表略）

當(dāng)x∈(0，1-2)∪(2，＋∞)時 f'(x)>0?f(x)在 (0，1-2)，(2，＋∞)上遞增．

當(dāng)x∈(1-2，2)時， f'(x)<0?f(x)在 (1-2，2)上遞減．

要使f(x)在區(qū)間(k- 1-2，k)上為單調(diào)函數(shù)，則 k- 1-2≥0

①當(dāng) { k ≤0時?k= 1-2

?f(x)在 (k- 1-2,k)上遞增，合題意；

k- 1-2≥1-2

②當(dāng) {k ≤2,時?k∈[1,2]

?f(x)在 (k- 1-2，k)上遞減，合題意；

③當(dāng) k-1-2≥2時?k∈[5-2,+∞)

?f(x)在 (k- 1-2，k)上遞增，合題意．

綜上，實數(shù)k的取值范圍是{1-2}∪[1,2]∪

[5-2,+∞).

按照 “一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟來解決有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究 “含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的問題，顯得自然、流暢，解題時能夠做到縱觀全局，逐一分析；應(yīng)注意在“求根、標(biāo)根、穿針引線”及“區(qū)間”含參時需討論，從而使得討論時能夠做到不慌不亂、不重不漏，具有很好的實用性與高效性。

在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)知識交匯的教學(xué)中，要特別注重分類討論思想和建模能力的培養(yǎng)，我們要以生為本，把提高課堂教學(xué)效率的對策付諸到教學(xué)活動之中。

【摘要】利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”是高中教材的重要知識點，也是近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的命題熱點.由于此類問題在解答時解題步驟多，往往需要對參數(shù)進(jìn)行多次討論，因而它是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，要讓學(xué)生對此類問題認(rèn)識與理解到位，進(jìn)而想得到解得出，就必須讓學(xué)生明確解答此類題目的三個問題：解答的基本步驟是什么？哪些步驟要討論？每步要討論什么？

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；單調(diào)區(qū)間；極值；最值；基本步驟；討論點

利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”是高中教材的重要知識點，也是近幾年高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯試題的命題熱點.由于此類問題在解答時解題步驟多，往往需要對參數(shù)進(jìn)行多次討論，因而它是大多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，即便對高考參考答案，也有很多教師認(rèn)為 “思路不自然”、“學(xué)生想不到”、“非通性通法”。筆者認(rèn)為，要讓學(xué)生對此類問題認(rèn)識與理解到位，進(jìn)而想得到解得出，就必須讓學(xué)生明確解答此類題目的三個問題：解答的基本步驟是什么？哪些步驟要討論？每步要討論什么？

首先應(yīng)該明確，利用導(dǎo)數(shù)研究“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”解題的基本步驟為“一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟。

“一定”是指：第①步求函數(shù)的定義域；

“二導(dǎo)”是指：第②步求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

“三求根”是指：第③步令f'(x)=0求出方程的根；

“四標(biāo)”是指：第④步在數(shù)軸上標(biāo)根；

“五穿”是指：第⑤步在數(shù)軸上“穿針引線”；

“六列表”是指：第⑥步列出“當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)變化情況表”

x … … … … …

f/(x) … … … … …

f(x) … … … … …

最后，根據(jù)表格可快速得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；再比較區(qū)間端點的函數(shù)值與極值的大小即得函數(shù)的最值。這些步驟充分暴露了利用導(dǎo)數(shù)研究“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”解題的思維過程，使學(xué)生明確了解題的大方向，在求解過程中思路更清晰，步驟更明確。

然后必須明確哪一步要討論？討論什么？根據(jù)以上步驟，易知以下步驟必須討論：

“第③步——求根”，求導(dǎo)后，令f'(x)=0，考慮是否有實根，從而引起討論。討論什么？有三種情況：是幾次方程要討論；對應(yīng)方程是否有實根要討論；根的大小要討論。

“第④步——標(biāo)根”，不知實根是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。討論什么？討論根標(biāo)（落）在定義域內(nèi)還是標(biāo)（落）在定義域外。

“第⑤步——穿針引線”，不知導(dǎo)函數(shù)圖像“開口”方向，從而引起討論。討論什么？在“穿針引線”時，因最高次項系數(shù)含參，需討論其正負(fù)。當(dāng)最高次項系數(shù)為正時，“從數(shù)軸右上方向下穿針引線”；當(dāng)最高次項系數(shù)為負(fù)時，“從數(shù)軸右下方向上穿針引線”。

以上三點即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題的三個基本討論點，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題時，可按上述三點的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。只要把握以上三個基本討論點，討論就有了方向和切入點，即使問題較為復(fù)雜，討論起來也會得心應(yīng)手、層次分明，從而使問題迎刃而解。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點或三點，這時的討論就更復(fù)雜一些了，有時所給的區(qū)間還含參，還需要靈活把握。

下面，筆者重點介紹如何按照 “一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟來解決有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究 “含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的問題。

例1：求f'(x)=x3-3bx+3b的單調(diào)區(qū)間.

分析：由f'(x)=3x2-3b，此時求解f'(x)=0的根，需要對b開二次方根，因此必須討論b的符號。

討論點：在“求根”時，因f'(x)含參。所以f'(x)=0是否有解要討論。

簡解：（一定、二導(dǎo)）∵定義域為R,f'(x)=3x2-3b，

（三求根）①當(dāng)b≤0時，f'(x)≥0?f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)b>0時，f'(x)=(x+√b)(x-√b)

令f'(x)=0?x1=-√b，x2=√b

（四標(biāo)，五穿∵a=3 ∴從數(shù)軸右上方向下穿針引線 ）

（六列表）“當(dāng)x變化時，f'(x)與f(x)變化情況表”

x (-∞,-√b) -√b (-√b,√b) √b (√b,+∞)

f'(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗

由表可知：函數(shù)f(x)在(-√b,√b)↓，(-∞,-√b)↑，(√b,+∞)↑

延伸１：求f(x)=x3-3bx+3b的極值

延伸２：若b=４求f(x)在區(qū)間[-3，3]上的最值。

變式１：若f'(x)=ex-b，

此時求解f'(x)=0的根，需要對b取“對數(shù)”，因此必須討論b的符號.

①當(dāng)b≤0時，f'(x)≥0?f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)b>0時，x=lnb

變式２：若f'(x)=ax-1其中a∈R

此時求解f'(x)=0的根，需要“除以a”，因此必須討論a是否為零。

①當(dāng)a=0時，f'(x)=-1<0?f(x)在上R單調(diào)遞減。

②當(dāng)a≠0時,令f'(x)=0?x= 1-a ?…

變式３：若f'(x)=2x2+ax+3(其中x>0)

此時求解f'(x)=0的根，即“求二次方程的根”，因此必須從“判別式”入手展開討論。

①當(dāng)△=0時，即a=±2√6時，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增；

②當(dāng)△<0時，即-2√60，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增；

③當(dāng)△>0時，即a>2√6時，f'(x)>0，∴f(x)在上(0,+∞)單調(diào)遞增;

當(dāng)a>2√6時，不妨設(shè)兩根為x1,x2且x1

則函數(shù)f(x)在(0,x1)↑，(x1,x2)↓，(x2,+∞)↑

例2：已知函數(shù)f(x)=kx3-3x2+1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

分析：∵f'(x)=3kx2-6x，對應(yīng)方程是幾次方程要討論；是否有實根要討論；方程f'(x)=0的根為x1=0，x2= 2-k ，必須討論兩根的大小。

討論點：在“標(biāo)根”時，因“根含參”大小不確定；在“穿針引線”時，因“最高次項系數(shù)含參數(shù)k”都要展開相應(yīng)的討論。

簡解：∵f'(x)=3kx2-6x

①當(dāng)k=0時，f'(x)=-6x，令f'(x)=0?x=0 ∴(-∞,0)↑，(0,+∞)↓

②當(dāng)k≠0時，令f'(x)=0?x1=0,x2= 2-k

1°.若k>0，則 2-k >0,如圖∴(-∞,0)↑，(0,2-k )↓,( 2-k,+∞)↑

2°.若k<0，則 2-k <0，如圖∴(-∞,2-k )↓，( 2-k ,0)↑,(0,+∞)↓

此時因為“最高次項系數(shù)含參數(shù)k”,在“穿針引線”時，因最高次項系數(shù)含參，需討論其正負(fù)。當(dāng)最高次項系數(shù)為正時，“從數(shù)軸右上方向下穿針引線”，當(dāng)最高次項系數(shù)為負(fù)時，“從數(shù)軸右下方向上穿針引線”。

例３： 已知函數(shù)f(x)=2lnx+x2-a2x(x>0，a∈R)．

(1)是否存在實數(shù)a，使f'(1)是f(x)的極小值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

(2)當(dāng)a>0時，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，求a的最小值；

(3)當(dāng)a=√5時，f(x)在區(qū)間(k- 1-2 ,k)上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：這是一道利用導(dǎo)數(shù)解決“含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的綜合題。

討論點：第（３）問中所研究的“區(qū)間”含參時，需依據(jù)“根”是否落在“區(qū)間”內(nèi)而展開討論。

簡解：(1) f'(x)= 2-x +2x-a2，由f'(1)=2+2-a2=0?a=±2，

?f'(x)= 2-x +2x-4=≥0? f(x)在定義域上遞增，

?f(x)沒有極小值．因此不存在實數(shù)a滿足條件．

(2)依題意f'(x)= 2-x +2x-a2≤0即a2≥ 2-x +2x在區(qū)間[1，2]上恒成立，

∴a2≥( 2-x +2x)max.當(dāng)x=2時， 2-x +2x在區(qū)間[1，2]上取得最大值5.

∴a2≥5∵a>0∴a≥5，即a的最小值為5.

(3)當(dāng)a=√5時，定義域(0,+∞)

f'(x)= 2-x +2x-5=(2x-1)x(x-2).

令 f'(x)=0?x1=2,x2= 1-2 （列表略）

當(dāng)x∈(0，1-2)∪(2，＋∞)時 f'(x)>0?f(x)在 (0，1-2)，(2，＋∞)上遞增．

當(dāng)x∈(1-2，2)時， f'(x)<0?f(x)在 (1-2，2)上遞減．

要使f(x)在區(qū)間(k- 1-2，k)上為單調(diào)函數(shù)，則 k- 1-2≥0

①當(dāng) { k ≤0時?k= 1-2

?f(x)在 (k- 1-2,k)上遞增，合題意；

k- 1-2≥1-2

②當(dāng) {k ≤2,時?k∈[1,2]

?f(x)在 (k- 1-2，k)上遞減，合題意；

③當(dāng) k-1-2≥2時?k∈[5-2,+∞)

?f(x)在 (k- 1-2，k)上遞增，合題意．

綜上，實數(shù)k的取值范圍是{1-2}∪[1,2]∪

[5-2,+∞).

按照 “一定二導(dǎo)三求根；四標(biāo)五穿六列表”這六個步驟來解決有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究 “含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值”的問題，顯得自然、流暢，解題時能夠做到縱觀全局，逐一分析；應(yīng)注意在“求根、標(biāo)根、穿針引線”及“區(qū)間”含參時需討論，從而使得討論時能夠做到不慌不亂、不重不漏，具有很好的實用性與高效性。

在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)知識交匯的教學(xué)中，要特別注重分類討論思想和建模能力的培養(yǎng)，我們要以生為本，把提高課堂教學(xué)效率的對策付諸到教學(xué)活動之中。