機(jī)械能守恒中速度關(guān)聯(lián)問題的求解方法

竺建國

【摘要】力學(xué)中，兩個或兩個以上物體相互連接參與運動的系統(tǒng)稱為連接體。連接體的擬題在高考命題中由來已久，考查考生綜合分析能力,起初是多以平衡態(tài)下的連接體的題呈現(xiàn)在卷面上，隨著高考對能力要求的不斷提高，近幾年加強了對非平衡態(tài)下連接體的考查力度。研究對象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、機(jī)械能守恒等，學(xué)生覺得很頭疼。以下是我在具體實踐過程中的一些嘗試，在此與大家一起探討。

【關(guān)鍵詞】連接體；矢量的合成和分解；機(jī)械能守恒定律

一、研究對象的選取問題的方法

1.隔離法

（1）含義：所謂隔離法就是將所研究的對象——包括物體、狀態(tài)和某些過程，從系統(tǒng)或全過程中隔離出來進(jìn)行研究的方法。

（2）運用隔離法解題的基本步驟：①明確研究對象或過程、狀態(tài)，選擇隔離對象，選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數(shù)盡可能少。②將研究對象從系統(tǒng)中隔離出來；或?qū)⒀芯康哪碃顟B(tài)，某過程從運動的全過程中隔離出來。③對隔離出的研究對象、過程、狀態(tài)分析研究，畫出某狀態(tài)下的受力圖或某階段的運動過程示意圖。④尋找未知量與已知量之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律列方程求解。

2.整體法

（1）含義：所謂整體法就是將兩個或兩個以上物體組成的整個系統(tǒng)或整個過程作為研究對象進(jìn)行分析研究的方法。

（2）運用整體法解題的基本步驟：①明確研究的系統(tǒng)或運動的全過程。②畫出系統(tǒng)的受力圖和運動全過程的示意圖。③尋找未知量與已知量之間的關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律列方程求解。

隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉(zhuǎn)化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成。所以，兩種方法的取舍，并無絕對的界限，必須具體分析，靈活運用。無論哪種方法都應(yīng)以盡可能避免或減少非待求量(即中間未知量的出現(xiàn),如非待求的力,非待求的中間狀態(tài)或過程等)的出現(xiàn)為原則。正確建立連接體間的速度關(guān)聯(lián)關(guān)系，是求解連接體有關(guān)速度問題的切入點，也是求解有關(guān)連接體綜合問題的關(guān)鍵之二。

二、繩系物體的求解方法

對于繩聯(lián)問題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當(dāng)繩不可伸長時，繩聯(lián)物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可得到兩者的速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解相關(guān)問題。

例１：一輕繩通過無摩擦的定滑輪在傾角為30°的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接。已知定滑輪到桿的距離為m，物體m2由靜止從AB連線為水平位置開始下滑1m時，m1、m2恰受力平衡如圖１所示。試求：

（1）m2在下滑過程中的最大速度。

（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動的最大距離。

圖1

解析：（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過程，以后將做減速運動，所以m2的最大速度即出現(xiàn)在圖示位置.對m1、m2組成的系統(tǒng)來說，在整個運動過程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒.ΔE增=ΔE減，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由圖示位置m1、m2受力平衡，應(yīng)有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知識知v1=v2cos∠ACB，代入數(shù)值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距離最大時m1、m2速度為零，在整個過程中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE減′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中質(zhì)量關(guān)系可求得m2下滑的最大距離H=4-3m=2.31 m

二、桿聯(lián)問題的求解方法

例2：如圖2所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當(dāng)桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度大小。（提示與答案：將A球豎直向下的速度向沿桿向下和垂直桿斜向下分解，將B球水平向右的速度向沿桿向下和垂直桿斜向上分解。答案：vBtanɑ）

圖2

解：速度分解如圖所示，B球速度在桿方向的投影與A球速度在桿方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接觸物體的速度求解方法

求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出兩者的速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解相關(guān)問題。

例3：如圖２-1所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現(xiàn)將一個質(zhì)量與斜劈質(zhì)量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機(jī)械能的損失忽略不計）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，當(dāng)A落地時，B速度最大，下落過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由圖中幾何知識知：h=cot30°·r=r ②

A、B的運動均可分解為沿斜面和垂直斜面的運動，如圖2-2所示。

圖2-2

由于兩物體在垂直斜面方向不發(fā)生相對運動，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30° ③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反彈速度vA′=vA

做豎直上拋運動的最大高度：

Hm=

綜上所述，復(fù)雜的速度關(guān)聯(lián)問題是有解題思路和巧妙的解題方法的，首先明確連接體的速度沿繩、桿、垂直接觸面等方向分解的分速度相等，在結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒，抓住始末狀態(tài)，就不必考慮中間細(xì)節(jié)，使問題大大簡單。

endprint

【摘要】力學(xué)中，兩個或兩個以上物體相互連接參與運動的系統(tǒng)稱為連接體。連接體的擬題在高考命題中由來已久，考查考生綜合分析能力,起初是多以平衡態(tài)下的連接體的題呈現(xiàn)在卷面上，隨著高考對能力要求的不斷提高，近幾年加強了對非平衡態(tài)下連接體的考查力度。研究對象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、機(jī)械能守恒等，學(xué)生覺得很頭疼。以下是我在具體實踐過程中的一些嘗試，在此與大家一起探討。

【關(guān)鍵詞】連接體；矢量的合成和分解；機(jī)械能守恒定律

一、研究對象的選取問題的方法

1.隔離法

（1）含義：所謂隔離法就是將所研究的對象——包括物體、狀態(tài)和某些過程，從系統(tǒng)或全過程中隔離出來進(jìn)行研究的方法。

（2）運用隔離法解題的基本步驟：①明確研究對象或過程、狀態(tài)，選擇隔離對象，選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數(shù)盡可能少。②將研究對象從系統(tǒng)中隔離出來；或?qū)⒀芯康哪碃顟B(tài)，某過程從運動的全過程中隔離出來。③對隔離出的研究對象、過程、狀態(tài)分析研究，畫出某狀態(tài)下的受力圖或某階段的運動過程示意圖。④尋找未知量與已知量之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律列方程求解。

2.整體法

（1）含義：所謂整體法就是將兩個或兩個以上物體組成的整個系統(tǒng)或整個過程作為研究對象進(jìn)行分析研究的方法。

（2）運用整體法解題的基本步驟：①明確研究的系統(tǒng)或運動的全過程。②畫出系統(tǒng)的受力圖和運動全過程的示意圖。③尋找未知量與已知量之間的關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律列方程求解。

隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉(zhuǎn)化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成。所以，兩種方法的取舍，并無絕對的界限，必須具體分析，靈活運用。無論哪種方法都應(yīng)以盡可能避免或減少非待求量(即中間未知量的出現(xiàn),如非待求的力,非待求的中間狀態(tài)或過程等)的出現(xiàn)為原則。正確建立連接體間的速度關(guān)聯(lián)關(guān)系，是求解連接體有關(guān)速度問題的切入點，也是求解有關(guān)連接體綜合問題的關(guān)鍵之二。

二、繩系物體的求解方法

對于繩聯(lián)問題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當(dāng)繩不可伸長時，繩聯(lián)物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可得到兩者的速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解相關(guān)問題。

例１：一輕繩通過無摩擦的定滑輪在傾角為30°的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接。已知定滑輪到桿的距離為m，物體m2由靜止從AB連線為水平位置開始下滑1m時，m1、m2恰受力平衡如圖１所示。試求：

（1）m2在下滑過程中的最大速度。

（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動的最大距離。

圖1

解析：（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過程，以后將做減速運動，所以m2的最大速度即出現(xiàn)在圖示位置.對m1、m2組成的系統(tǒng)來說，在整個運動過程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒.ΔE增=ΔE減，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由圖示位置m1、m2受力平衡，應(yīng)有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知識知v1=v2cos∠ACB，代入數(shù)值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距離最大時m1、m2速度為零，在整個過程中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE減′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中質(zhì)量關(guān)系可求得m2下滑的最大距離H=4-3m=2.31 m

二、桿聯(lián)問題的求解方法

例2：如圖2所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當(dāng)桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度大小。（提示與答案：將A球豎直向下的速度向沿桿向下和垂直桿斜向下分解，將B球水平向右的速度向沿桿向下和垂直桿斜向上分解。答案：vBtanɑ）

圖2

解：速度分解如圖所示，B球速度在桿方向的投影與A球速度在桿方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接觸物體的速度求解方法

求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出兩者的速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解相關(guān)問題。

例3：如圖２-1所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現(xiàn)將一個質(zhì)量與斜劈質(zhì)量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機(jī)械能的損失忽略不計）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，當(dāng)A落地時，B速度最大，下落過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由圖中幾何知識知：h=cot30°·r=r ②

A、B的運動均可分解為沿斜面和垂直斜面的運動，如圖2-2所示。

圖2-2

由于兩物體在垂直斜面方向不發(fā)生相對運動，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30° ③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反彈速度vA′=vA

做豎直上拋運動的最大高度：

Hm=

綜上所述，復(fù)雜的速度關(guān)聯(lián)問題是有解題思路和巧妙的解題方法的，首先明確連接體的速度沿繩、桿、垂直接觸面等方向分解的分速度相等，在結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒，抓住始末狀態(tài)，就不必考慮中間細(xì)節(jié)，使問題大大簡單。

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【摘要】力學(xué)中，兩個或兩個以上物體相互連接參與運動的系統(tǒng)稱為連接體。連接體的擬題在高考命題中由來已久，考查考生綜合分析能力,起初是多以平衡態(tài)下的連接體的題呈現(xiàn)在卷面上，隨著高考對能力要求的不斷提高，近幾年加強了對非平衡態(tài)下連接體的考查力度。研究對象多了，涉及到的物理量也多了，有力、速度、能量等，涉及矢量合成和分解、機(jī)械能守恒等，學(xué)生覺得很頭疼。以下是我在具體實踐過程中的一些嘗試，在此與大家一起探討。

【關(guān)鍵詞】連接體；矢量的合成和分解；機(jī)械能守恒定律

一、研究對象的選取問題的方法

1.隔離法

（1）含義：所謂隔離法就是將所研究的對象——包括物體、狀態(tài)和某些過程，從系統(tǒng)或全過程中隔離出來進(jìn)行研究的方法。

（2）運用隔離法解題的基本步驟：①明確研究對象或過程、狀態(tài)，選擇隔離對象，選擇原則是：一要包含待求量，二是所選隔離對象和所列方程數(shù)盡可能少。②將研究對象從系統(tǒng)中隔離出來；或?qū)⒀芯康哪碃顟B(tài)，某過程從運動的全過程中隔離出來。③對隔離出的研究對象、過程、狀態(tài)分析研究，畫出某狀態(tài)下的受力圖或某階段的運動過程示意圖。④尋找未知量與已知量之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律列方程求解。

2.整體法

（1）含義：所謂整體法就是將兩個或兩個以上物體組成的整個系統(tǒng)或整個過程作為研究對象進(jìn)行分析研究的方法。

（2）運用整體法解題的基本步驟：①明確研究的系統(tǒng)或運動的全過程。②畫出系統(tǒng)的受力圖和運動全過程的示意圖。③尋找未知量與已知量之間的關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律列方程求解。

隔離法與整體法，不是相互對立的，一般問題的求解中，隨著研究對象的轉(zhuǎn)化，往往兩種方法交叉運用，相輔相成。所以，兩種方法的取舍，并無絕對的界限，必須具體分析，靈活運用。無論哪種方法都應(yīng)以盡可能避免或減少非待求量(即中間未知量的出現(xiàn),如非待求的力,非待求的中間狀態(tài)或過程等)的出現(xiàn)為原則。正確建立連接體間的速度關(guān)聯(lián)關(guān)系，是求解連接體有關(guān)速度問題的切入點，也是求解有關(guān)連接體綜合問題的關(guān)鍵之二。

二、繩系物體的求解方法

對于繩聯(lián)問題，由于繩的彈力總是沿著繩的方向，所以當(dāng)繩不可伸長時，繩聯(lián)物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可得到兩者的速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解相關(guān)問題。

例１：一輕繩通過無摩擦的定滑輪在傾角為30°的光滑斜面上的物體m1連接，另一端和套在豎直光滑桿上的物體m2連接。已知定滑輪到桿的距離為m，物體m2由靜止從AB連線為水平位置開始下滑1m時，m1、m2恰受力平衡如圖１所示。試求：

（1）m2在下滑過程中的最大速度。

（2）m2沿豎直桿能夠向下滑動的最大距離。

圖1

解析：（1）由圖可知，隨m2的下滑，繩子拉力的豎直分量是逐漸增大的，m2在C點受力恰好平衡，因此m2從B到C是加速過程，以后將做減速運動，所以m2的最大速度即出現(xiàn)在圖示位置.對m1、m2組成的系統(tǒng)來說，在整個運動過程中只有重力和繩子拉力做功，但繩子拉力做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒.ΔE增=ΔE減，即

1-2 m1v12+1-2 m22v2+m1g（A—C-A—B）sin30°

=m2g·B—C

又由圖示位置m1、m2受力平衡，應(yīng)有：

Tcos∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知識知v1=v2cos∠ACB，代入數(shù)值可解得v2=2.15 m/s；

（2）m2下滑距離最大時m1、m2速度為零，在整個過程中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，得：

ΔE增′=ΔE減′

即:m1g（）sin30°=m2gH

利用（1）中質(zhì)量關(guān)系可求得m2下滑的最大距離H=4-3m=2.31 m

二、桿聯(lián)問題的求解方法

例2：如圖2所示，均勻直桿上連著兩個小球A、B，不計一切摩擦。當(dāng)桿滑到如圖位置時，B球水平速度為vB，桿與豎直夾角為α，求此時A球速度大小。（提示與答案：將A球豎直向下的速度向沿桿向下和垂直桿斜向下分解，將B球水平向右的速度向沿桿向下和垂直桿斜向上分解。答案：vBtanɑ）

圖2

解：速度分解如圖所示，B球速度在桿方向的投影與A球速度在桿方向的投影是相等的，所以Vacosα=Vb cos(90°-α)

Va = vbtanɑ

三、接觸物體的速度求解方法

求相互接觸物體的速度關(guān)聯(lián)問題時，首先要明確兩接觸物體的速度，分析彈力的方向，然后將兩物體的速度分別沿彈力的方向和垂直于彈力的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿彈力方向的速度相等即可求出兩者的速度關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解相關(guān)問題。

例3：如圖２-1所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現(xiàn)將一個質(zhì)量與斜劈質(zhì)量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計一切摩擦，求此后運動中：

（1）斜劈的最大速度。

（2）球觸地后彈起的最大高度。（球與地面作用中機(jī)械能的損失忽略不計）

解析：（1）A加速下落，B加速后退，當(dāng)A落地時，B速度最大，下落過程中，斜面與球之間彈力對球和斜面做功代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

mg（h-r）=1-2 mvA2+1-2 mvB2 ①

由圖中幾何知識知：h=cot30°·r=r ②

A、B的運動均可分解為沿斜面和垂直斜面的運動，如圖2-2所示。

圖2-2

由于兩物體在垂直斜面方向不發(fā)生相對運動，所以vA2=vB2

即vAcos30°=vBsin30° ③

解得vA=

vB=

（2）A球落地后反彈速度vA′=vA

做豎直上拋運動的最大高度：

Hm=

綜上所述，復(fù)雜的速度關(guān)聯(lián)問題是有解題思路和巧妙的解題方法的，首先明確連接體的速度沿繩、桿、垂直接觸面等方向分解的分速度相等，在結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒，抓住始末狀態(tài)，就不必考慮中間細(xì)節(jié)，使問題大大簡單。

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