代數(shù)式求值問題的解題策略

范軍武

代數(shù)式求值問題是初中數(shù)學(xué)考試中出現(xiàn)頻率較高的題型。這種題的靈活性相當(dāng)高，不僅涉及代數(shù)式的化簡、變形和運(yùn)算，還需要熟練地掌握各種技能。在教學(xué)中，教師通過代數(shù)式的變形和整合，使復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡單的運(yùn)算，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。

一、借用整體思想求值

例1：3x+2y=1+3m ①2x+3y=1-m ②滿足 x+y<0，求m的取值范圍。（2012年甘肅初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題）

分析： 觀察方程組中x和y的系數(shù)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的代數(shù)和相等，因此可以用整體

思想。

解：①+②，得5x+5y=1+2m，即x+y= 。

因?yàn)閤+y<0，所以 <0，所以m<0。

即m的取值范圍是m<0。

評(píng)注：看到題目后不要盲目地計(jì)算，要善于觀察，尋找題目的特點(diǎn)，從而尋找簡便的方法。

二、巧用和差法

例2： 已知2x2+xy=7，xy+2y2=-5，則4x2-xy-6y2=___。（2013年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題）

分析：4x2-xy-6y2中，其中代數(shù)式4x2、-xy和-y2，在已知的兩個(gè)等式中可以用等式性質(zhì)變形所得，然后用和差法。

解：因?yàn)?x+xy=7 ①

xy+2y2=-5 ②

①×2-②×3 得4x2+2xy-3xy-6y2=14-（-15）。

即 4x2-xy-6y2=29。

評(píng)注：本題考查學(xué)生的觀察能力和探索能力，讓學(xué)生在探索的過程中尋求解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

三、取特殊值

例3： 若x+y+1=0，則x3+y3+4x2y+4xy2+x3y+xy3+2x2y2

=- 。（2013年甘肅初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題）

分析：因?yàn)闈M足方程x+y+1-0的x，y有無數(shù)個(gè)，為了方便計(jì)算，可取滿足此方程的一組特殊值x=-1，y=0直接代入待求的多項(xiàng)式中。

解：取方程x+y+1=0的一組特殊的解：x=-1，y=0，代入待求式得：原式=（-1）3+0+4×0+4×0+0+0+2×0=-1。

評(píng)注：常規(guī)解法是對(duì)待求多項(xiàng)式恒等變形，整理成x+y的新多項(xiàng)式（x+y）3+（xy（x+y）2+xy（x+y），然后再整體將x+y=-1代入計(jì)算，使用該方法對(duì)學(xué)生的代數(shù)式恒等變形的能力要求較高。而取特殊值，則簡化了計(jì)算過程，提高了解題的效率。

四、設(shè)參數(shù)求值

例4：已知 = = ，求代數(shù)式 的值。（2013年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題）

分析：已知條件只知道a、b、c三者之間的比例關(guān)系，是不可能求出各個(gè)字母的具體數(shù)值的。對(duì)于這種連比的題目，可設(shè)參數(shù)k進(jìn)行代換求值，這是一種常用的方法。

解：設(shè) = = =k，則a=4k，b=5k，c=6k。

當(dāng)a=4k，b=5k，c=6k時(shí)， = =-21。

評(píng)注：此類問題，要求學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，代入?yún)?shù)，起到橋梁作用，最后又消去參數(shù)，從而解決問題。

五、利用因式分解法求值

例5：已知x2+x= ，求5x4+10x3+9x2+4x的值。（2013年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題）

分析：常規(guī)解法是先從二元一次方程中解出，再代入待求式中，解出很麻煩。我們可以先將所求代數(shù)式恒等變形，看看能否利用已知條件。

解：已知條件可變形為5x2+5x-1=0，所以5x4+10x3+9x2+

4x=（5x4+5x3-x2）+（5x3+5x2-x）+（5x2+5x-1）+1=（5x2+5x-1）（x2+5x+1）+1=0+1=1。

評(píng)注：代數(shù)式化簡求值的技巧通常是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧和方法。在求代數(shù)式值時(shí)，盡量避免解方程（或方程組），而把所求代數(shù)式適當(dāng)變形，然后把已知條件的代數(shù)式的值代入，使問題簡單化。

（甘肅省通渭縣什川鄉(xiāng)太山學(xué)校）