帶電的標(biāo)量場擾動下Reissner-Nordstr?m Anti-de Sitter黑洞的不穩(wěn)定性

朱致英

(長沙理工大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院， 中國 長沙 410114)

帶電的標(biāo)量場擾動下Reissner-Nordstr?m Anti-de Sitter黑洞的不穩(wěn)定性

朱致英*

(長沙理工大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院， 中國 長沙 410114)

研究了帶電的有質(zhì)量標(biāo)量場微擾下Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter黑洞的穩(wěn)定性問題．在烏龜坐標(biāo)下推導(dǎo)出了標(biāo)量場所滿足的徑向運動方程，并給出有效勢．采用有限差分法將標(biāo)量場所滿足的波方程進行離散化．通過數(shù)值計算研究了擾動場隨時間的演化．研究結(jié)果表明，隨著時間的演化,帶電的標(biāo)量場在晚期會出現(xiàn)暴漲．這就意味著在帶電的標(biāo)量場擾動下，Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter黑洞會出現(xiàn)不穩(wěn)定．隨著標(biāo)量場電荷的增加，擾動場在晚期出現(xiàn)暴漲的速度將加快．隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加，擾動場暴漲的速度將減慢．

不穩(wěn)定性；標(biāo)量場擾動；Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter黑洞；有限差分法

在宇宙中，真實的黑洞不是孤立存在的，而是不斷地與周圍的物質(zhì)之間有著相互作用．因此，在黑洞物理和天體物理領(lǐng)域，對黑洞外部擾動場的研究一直都是人們所關(guān)注的課題．人們可以通過分析黑洞外部的擾動場來判斷黑洞的穩(wěn)定性．給黑洞一個微小的擾動，如果擾動場在演化的晚期是衰減的，那么這樣的黑洞就是穩(wěn)定的，是可能真存在的．相反，如果擾動場在演化的晚期出現(xiàn)暴漲，那么黑洞就是不穩(wěn)定的．這樣的黑洞會消失，或者轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌奈矬w．

無論是在四維漸進平直的時空背景下，還是在四維的漸進de Sitter背景下，人們已經(jīng)研究了各種黑洞，比如Schwarzschild黑洞、Reissner-Nordstr?m黑洞、Kerr黑洞等，在電中性的標(biāo)量場擾動、電磁場擾動和引力擾動下的穩(wěn)定性問題，并且發(fā)現(xiàn)在這些情況下，黑洞都是穩(wěn)定的．近些年來，隨著人們對AdS/CFT對應(yīng)性研究的展開和深入，在AdS黑洞微擾穩(wěn)定性方面也取得了許多的成果．人們發(fā)現(xiàn)四維的AdS黑洞在各種電中性的標(biāo)量場擾動、電磁場擾動和引力場擾動下都是穩(wěn)定的．因此，幾乎所有的四維黑洞在電中性的擾動下都是穩(wěn)定的．關(guān)于這方面的工作，可以參考相關(guān)綜述文獻[1-2]．

如果考慮到高維時空中黑洞的微擾穩(wěn)定性，其情況將不同于四維時空．高維時空中的黑洞更容易產(chǎn)生不穩(wěn)定性．比如，對于黑弦和黑膜，在線性擾動下存在著Gregory-Laflamme不穩(wěn)定性[3-4]．對于Einstein-Gauss-Bonnet理論中的高維黑洞，只有當(dāng)角量子數(shù)l較大時才是不穩(wěn)定的[5-6]．最近，Konoplya和Cardoso發(fā)現(xiàn)一個奇怪的現(xiàn)象，只有當(dāng)時空的維度大于六維時，漸進de Sitter背景下的Reissner-Nordstr?m黑洞才是不穩(wěn)定的[7-8]．

到目前為止，關(guān)于電中性微擾下黑洞的穩(wěn)定性問題，人們已經(jīng)做了比較全面的研究．但是，帶電微擾下黑洞的穩(wěn)定性問題并沒有得到完全的解決，還有待于人們進一步的研究．本文中，作者將通過數(shù)值計算來分析帶電的標(biāo)量場擾動下Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter黑洞的穩(wěn)定性問題．

1 時空幾何和擾動場

Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter(下面簡寫為RNAdS)度規(guī)描述的是帶電的漸進anti-de Sitter的球形黑洞．在球坐標(biāo)下，它的具體形式為

(1)

其中，函數(shù)f(r)的定義為

(2)

(3)

其中，κ+、κ-、A、B、α和β的表達(dá)式分別為

從(3)式中很容易得到，當(dāng)r→∞時，r*→0；當(dāng)r→r+時，r*→-∞．

考慮RNAds黑洞外部(r>r+)帶電的有質(zhì)量標(biāo)量場與RNAds黑洞相互作用．那么，可以用Klein-Gordon方程

[(▽ν-iqAν)(▽ν-iqAν)-μ2]ψ=0,

(4)

(5)

將(5)式代入(4)式，可以得到徑向場所滿足的方程

(6)

上式中，我們采用了烏龜坐標(biāo)．其中，有效勢V的表達(dá)式為

(7)

從(7)式可以看出，對于電中性的標(biāo)量場擾動，在事件視界處有效勢為零;但是對于帶電的標(biāo)量場擾動，在事件視界處有效勢總是為負(fù)值．有效勢描述了時空曲率對場的散射[10]．通常，人們認(rèn)為如果在某些區(qū)域有效勢為負(fù)值，則擾動場就有可能會出現(xiàn)暴漲．這就意味著系統(tǒng)有可能是不穩(wěn)定的[11]．因此，我們首先來看看黑洞外部有效勢的行為．在圖1中，畫出了標(biāo)量場電荷q取不同值時有效勢的行為．可以看到，在所選取的參數(shù)范圍內(nèi)，黑洞外部的有效勢存在一個負(fù)勢阱．這樣的勢阱就使得能量有可能在此聚集，并最終導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定．我們注意到，隨著標(biāo)量場電荷的增加，負(fù)勢阱會越來越大．這就意味著標(biāo)量場電荷越大，越容易導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定．從圖2中可以看出，隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加，負(fù)勢阱變得越來越小．通常，負(fù)勢阱的出現(xiàn)只是系統(tǒng)不穩(wěn)定的必要條件．因此，要確定系統(tǒng)是否有不穩(wěn)定性，更直觀的方法是研究擾動場隨時間的演化．

圖1 標(biāo)量場電荷q=18,20,25,30時，黑洞外部有效勢的行為．其他參數(shù)分別為M=1，Q=0.5，Λ=-1，μ=2，l=0Fig.1 The effective potential outside the black hole for the charge of the scalar field q=18,20,25,30. The other parameters are M=1，Q=0.5，Λ=-1，μ=2，l=0

圖2 標(biāo)量場質(zhì)量μ=1.5,1.6,1.8,2時，黑洞外部有效勢的行為．其他參數(shù)分別為M=1，Q=0.5，Λ=-1，q=20，l=0Fig.2 The effective potential outside the black hole for the mass of the scalar field μ=1.5,1.6,1.8,2. The other parameters are M=1，Q=0.5，Λ=-1，q=20，l=0

2 數(shù)值方法

為了更加直觀地研究RNAdS黑洞的穩(wěn)定性，在這一節(jié)中我們將采用有限差分法[12]來給出擾動場隨時間的演化，并通過擾動場在晚期的演化行為來判斷黑洞的穩(wěn)定性．如果擾動場在演化的晚期是衰減的，那么黑洞就是穩(wěn)定的．如果擾動場在演化的晚期出現(xiàn)暴漲，那么黑洞就是不穩(wěn)定的．

通過定義Ψ(r*,t)=Ψ(jΔr*,iΔt)=Ψj,i，V(r(r*))=V(jΔr*)=Vj，Φ(r(r*))=Φ(jΔr*)=Φj，可以將徑向方程(6)式離散化，并得到

3 數(shù)值結(jié)果

在圖3中，考慮了不同標(biāo)量場電荷的微擾，并畫出了黑洞外部擾動場隨時間的演化關(guān)系．從圖中可以看到，當(dāng)標(biāo)量場的電荷較小時(例如q=18)，擾動場在晚期的行為是衰減的．這就意味著，在這樣的擾動下RNAdS黑洞是可以保持穩(wěn)定的．但是，隨著擾動場電荷q的增加，擾動場在晚期的行為會出現(xiàn)暴漲．圖中，縱坐標(biāo)采用的是對數(shù)作圖．因此，在擾動場演化的晚期曲線的斜率就反應(yīng)了暴漲的速度．從圖3中可以看到，擾動場的電荷越大，在晚期出現(xiàn)暴漲的速度就越快，黑洞就更容易不穩(wěn)定．這與在第2節(jié)中分析有效勢的行為所得出的結(jié)論是一致．當(dāng)擾動場所帶的電荷越大，有效勢的負(fù)勢阱就越深，并且越寬．能量就越容易在負(fù)勢阱處累積，并導(dǎo)致黑洞的不穩(wěn)定性．考慮不同的標(biāo)量場質(zhì)量，在圖4中畫出了黑洞外部擾動場隨時間的演化關(guān)系．我們發(fā)現(xiàn)，隨著標(biāo)量場質(zhì)量的增加，雖然擾動場出現(xiàn)暴漲的時間變得更早，但是暴漲的速度變得更?。?/p>

圖3 黑洞外部r*=5處帶電的標(biāo)量場擾動隨時間的變化．其他參數(shù)分別為M=1，Q=0.5，Λ=-1，μ=2，l=0，q=18,20,25,30Fig.3 Time domain profile for the charged scalar field perturbation at r*=5 outside the black hole. The other parameters are M=1, Q=0.5, Λ=-1, μ=2, l=0, q=18,20,25,30

圖4 黑洞外部r*=5處帶電的標(biāo)量場擾動隨時間的變化．其他參數(shù)分別為M=1，Q=0.5，Λ=-1，q=20，l=0，μ=1.5,1.6,1.8,2Fig.4 Time domain profile for the charged scalar field perturbation at r*=5 outside the black hole. The other parameters are M=1, Q=0.5, Λ=-1, q=20, l=0, μ=1.5,1.6,1.8,2

4 結(jié)束語

本文考慮帶電的有質(zhì)量標(biāo)量場擾動與Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter黑洞相互作用，在Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter度規(guī)下，推導(dǎo)出了帶電標(biāo)量場所滿足的運動方程，并且給出了有效勢的表達(dá)式．通過分析有效勢的形狀，初步得到了系統(tǒng)可能出現(xiàn)不穩(wěn)定的參數(shù)空間．采用有限差分法，在數(shù)值上給出了標(biāo)量場擾動隨時間的演化．發(fā)現(xiàn)帶電的標(biāo)量場擾動在晚期會出現(xiàn)暴漲．這就意味著在帶電的標(biāo)量場擾動下，Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter黑洞會出現(xiàn)不穩(wěn)定．通過改變標(biāo)量場的參數(shù)，發(fā)現(xiàn)擾動場的電荷越大，它在晚期暴漲的速度也越大；擾動場的質(zhì)量越大，它在晚期暴漲的速度就越慢．

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(編輯 陳笑梅)

Instability of the Reissner-Nordstr?m Anti-de Sitter Black Hole under the Charged Scalar Field Perturbation

ZHUZhi-ying*

(Department of Physics and Electronic Science, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

The stability of Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter black hole under charged massive scalar field perturbation is studied. In the tortoise coordinate, the radial equation of motion of the scalar field is derived, and the effective potential is obtained. Using the finite difference method, the wave equation of the the scalar field is discretized. From a numerical investigation, the time domain profiles of the perturbation field is studied. The results show that with the evolution of the time, the charged scalar field increased greatly at late time. It means that the Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter black hole is unstable under charged scalar field perturbation. With the increase of the charge of the scalar field, the growth of the perturbation at late time would speed up. With the increase of the mass of the scalar field, the growth of the perturbation would slow down.

instability; scalar field perturbation; Reissner-Nordstr?m anti-de Sitter black hole; the finite difference method

2014-07-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(11005013)

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,E-mail：zhiyingzhu@gmail.com

O412.1

A

1000-2537(2014)05-0053-05