以“轉(zhuǎn)化”為例談小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的全局把握

吳賢

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布后，數(shù)學(xué)思想方法成為新的研究熱點(diǎn)。但當(dāng)下“散點(diǎn)滲透式”的教學(xué)方式，還難以達(dá)成“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想”的目標(biāo)。以“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想為例，教師可以站在全局的視野，從內(nèi)容梳理、方法建構(gòu)、整體溝通三個(gè)維度，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效落實(shí)作出有益的探索與實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化全局把握

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出通過(guò)數(shù)學(xué)課程，滲透數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這使得數(shù)學(xué)思想方法再次成為小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)注和研究的熱點(diǎn)。以“轉(zhuǎn)化”這一較常見的思想方法為切入點(diǎn)，筆者嘗試突破數(shù)學(xué)思想方法“散點(diǎn)滲透式”的傳統(tǒng)教學(xué)方式，著力以全局視野進(jìn)行內(nèi)容上的全息梳理和方法上的統(tǒng)籌考量，以構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整體脈絡(luò)。

一、內(nèi)容梳理：為轉(zhuǎn)化思想畫一幅全息地圖

要使數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)不再是知識(shí)點(diǎn)中的零散滲透、教學(xué)中的即興穿插，就必須形成一幅多維、立體、全視域的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法“全息地圖”。

1.橫向與縱向——“轉(zhuǎn)化”的兩種脈絡(luò)。

從教材內(nèi)容這一橫向脈絡(luò)，可以梳理出“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”及“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分中的轉(zhuǎn)化思想。如小學(xué)一年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”部分，就有“數(shù)的分與合”這樣的“構(gòu)造轉(zhuǎn)化”、“湊十法”這樣的“復(fù)雜—簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化”以及把自然數(shù)序列轉(zhuǎn)化為數(shù)軸圖這樣的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”等。而從知識(shí)發(fā)展這一縱向脈絡(luò)觀察，轉(zhuǎn)化思想又呈現(xiàn)出在同一領(lǐng)域反復(fù)理解、螺旋上升的狀態(tài)。以數(shù)的運(yùn)算為例，從幾加幾到9加幾，從乘法口訣到用口訣算整十、整百數(shù)乘法，從整數(shù)四則運(yùn)算到小數(shù)四則運(yùn)算，從同分母加減到異分母加減，從分?jǐn)?shù)乘法到分?jǐn)?shù)除法進(jìn)而到百分?jǐn)?shù)運(yùn)算，能看出在整個(gè)小學(xué)階段，轉(zhuǎn)化思想在不同內(nèi)容中的反復(fù)強(qiáng)化與凸顯。

2.顯性與隱性——“轉(zhuǎn)化”的兩種形態(tài)。

學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)，如平行四邊形的面積，無(wú)論是傳統(tǒng)教法還是學(xué)生自主探究，都會(huì)出現(xiàn)把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形進(jìn)而推導(dǎo)公式的情況，這體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想的一種顯性特質(zhì)。而有時(shí)，轉(zhuǎn)化又是隱性的，需要教師具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在研讀教材的過(guò)程中加以發(fā)現(xiàn)。如四年級(jí)“三角形的內(nèi)角和”中，教材通過(guò)把三個(gè)角“折并”成一個(gè)角得到內(nèi)角和，就隱含著“等價(jià)轉(zhuǎn)化”思想。

二、方法建構(gòu)：給轉(zhuǎn)化思想尋一條教學(xué)路徑

通過(guò)多維度梳理，我們得到了一幅線索清晰的“轉(zhuǎn)化思想內(nèi)容圖”，在實(shí)際教學(xué)中就可以進(jìn)行全盤統(tǒng)籌的考量。

1.瞻前顧后：給轉(zhuǎn)化思想一個(gè)系統(tǒng)的邏輯架構(gòu)。

數(shù)學(xué)思想方法不僅要有一個(gè)準(zhǔn)確的目標(biāo)定位，還需要建立一個(gè)系統(tǒng)的邏輯框架，形成一條無(wú)形的線，在時(shí)間序列中不斷盤桓、浸潤(rùn)。如教學(xué)“圓柱體積公式的推導(dǎo)”，如果僅僅將其孤立地看成圓柱向長(zhǎng)方體的等體積轉(zhuǎn)化，就很容易成為一種個(gè)例的學(xué)習(xí)，而如果放手讓學(xué)生提前嘗試思考：借助已有知識(shí)，你能想辦法推導(dǎo)出圓柱的體積公式嗎？則會(huì)因各個(gè)學(xué)生不同的知識(shí)構(gòu)造，呈現(xiàn)出獨(dú)具特色的個(gè)人傾向：有的把圓柱水平切成無(wú)數(shù)圓片，借助平移長(zhǎng)方形得到長(zhǎng)方體的感悟，以極限思想推導(dǎo)；有的聯(lián)系圓面積推導(dǎo)過(guò)程，把圓柱底面均分成若干個(gè)等體積扇形，類比轉(zhuǎn)化探索公式；還有的試圖把圓柱切成許多個(gè)小長(zhǎng)方體，雖然難以推導(dǎo)出公式，但嘗試的過(guò)程未嘗不閃爍著學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略進(jìn)行思考、分析的光芒。

因此，在教學(xué)中，如果教師能在不同內(nèi)容的教學(xué)中，把握每一次機(jī)會(huì)讓學(xué)生充分感受所用到的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)他們獨(dú)立思考解決類似的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)充分展示出自己“潛藏”的、體悟過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法，而后，教師進(jìn)行分析和比較，就會(huì)讓學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)更清晰、應(yīng)用更自覺(jué)，進(jìn)而為數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)搭建起系統(tǒng)的邏輯框架。

2.螺旋發(fā)展：給轉(zhuǎn)化思想一個(gè)遞進(jìn)的生長(zhǎng)空間。

在教學(xué)中，我們還應(yīng)為轉(zhuǎn)化思想創(chuàng)造一個(gè)螺旋發(fā)展的生長(zhǎng)空間，關(guān)注到數(shù)學(xué)思想方法的遞進(jìn)、延展。如學(xué)習(xí)“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”時(shí)可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)：明明讓算20×3，你怎么會(huì)算成2×3呢？學(xué)習(xí)“不進(jìn)位的兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生反思：算法雖然不同，但都要把14×2進(jìn)行變化或分解，成為我們熟悉的計(jì)算就好辦了。學(xué)習(xí)“48×2”時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)“拆開來(lái)”算的好處。只要有機(jī)會(huì)，都試著外化學(xué)生樸素的思考，將轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值用描述性的問(wèn)題或簡(jiǎn)單的結(jié)語(yǔ)體現(xiàn)出來(lái)。單元復(fù)習(xí)時(shí)利用計(jì)算“48×9”，讓學(xué)生思考：你能用哪些方法進(jìn)行計(jì)算？無(wú)論是用豎式還是還原成加法，還是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再減48，都體現(xiàn)出了轉(zhuǎn)化的思想。

在小學(xué)六年的教學(xué)中，如果能這樣不斷地凸顯某一種數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生充分體會(huì)其價(jià)值，學(xué)生就會(huì)對(duì)各種數(shù)學(xué)思想方法都有充分的積淀，這必將為其今后的學(xué)習(xí)提供一個(gè)更廣闊的生長(zhǎng)空間。

三、整體溝通：為數(shù)學(xué)思想方法織一張全局的網(wǎng)

張奠宙教授說(shuō)：“只有把數(shù)學(xué)思想方法嵌入日常的教學(xué)之中，成為教師備課的有機(jī)組成部分，‘四基數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正落到實(shí)處?！痹诮虒W(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思想方法本身、對(duì)其與實(shí)際生活、與人的學(xué)習(xí)進(jìn)行更為全面的聯(lián)系，這樣，數(shù)學(xué)思想方法才能真正融入學(xué)生的行為、思考方式中，成為影響他們終身的素養(yǎng)。

1.橫向溝通，讓轉(zhuǎn)化與其他思想建立廣泛的聯(lián)系。

新課標(biāo)提出了三種數(shù)學(xué)基本思想，而基本思想又衍生、發(fā)展出數(shù)十種思想（如分類、集合等），在解題中，又會(huì)形成更為多樣的思想方法，可見，數(shù)學(xué)基本思想之間、基本思想與衍生思想之間、數(shù)學(xué)思想與方法之間存在著緊密的聯(lián)系。我們應(yīng)重視這些聯(lián)系，以總體的眼光看待小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思想方法，不僅心中有明晰的某一思想方法之線，腦中還要形成多種數(shù)學(xué)思想方法之譜。可以通過(guò)積極融匯學(xué)生所呈現(xiàn)的不同數(shù)學(xué)思想方法，豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。如解決這樣的問(wèn)題：將長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■，現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的幾分之幾？任意找一個(gè)長(zhǎng)方形，結(jié)論是否不變？對(duì)分?jǐn)?shù)乘除印象深刻的學(xué)生會(huì)將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加，即長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)的■，面積就是原來(lái)面積的■，寬也是原來(lái)寬的■，面積就是原來(lái)面積的■；習(xí)慣進(jìn)行歸納推理的學(xué)生，會(huì)由特殊到一般，通過(guò)多個(gè)數(shù)據(jù)的計(jì)算進(jìn)行推論；函數(shù)思想發(fā)展較好的學(xué)生，會(huì)通過(guò)設(shè)長(zhǎng)、寬分別為a、b，用字母式進(jìn)行計(jì)算證明；“數(shù)形結(jié)合”思想運(yùn)用得較好的學(xué)生，會(huì)用圖進(jìn)行解釋。學(xué)生不同的思考路徑顯示出他們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法運(yùn)用中鮮明的個(gè)人傾向，進(jìn)一步讓學(xué)生討論“你喜歡誰(shuí)的方法？其他方法給了你怎樣的啟示？”又可以讓學(xué)生在求同存異中明確不同思想方法在具體應(yīng)用中的優(yōu)點(diǎn)和問(wèn)題，使學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題更為靈活、更具適切性。

2.縱向溝通，讓轉(zhuǎn)化與一般學(xué)習(xí)建立豐富的關(guān)聯(lián)。

學(xué)習(xí)內(nèi)在的機(jī)理是相通的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所獲取的轉(zhuǎn)化、分類討論、模型等思想意識(shí)，完全可以在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用，同時(shí)也可以通過(guò)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)得以鞏固。在學(xué)校組織的一次數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)科的聯(lián)合教研中，能把數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用到科學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)生，就很好地設(shè)計(jì)出了檢驗(yàn)“空氣是不是有質(zhì)量”的方案。如果能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與一般學(xué)習(xí)相互影響，那我們將能真正讓數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生頭腦中活起來(lái)，使其真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)后可以“帶得走的東西”?！?/p>

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎(jiǎng)

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布后，數(shù)學(xué)思想方法成為新的研究熱點(diǎn)。但當(dāng)下“散點(diǎn)滲透式”的教學(xué)方式，還難以達(dá)成“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想”的目標(biāo)。以“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想為例，教師可以站在全局的視野，從內(nèi)容梳理、方法建構(gòu)、整體溝通三個(gè)維度，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效落實(shí)作出有益的探索與實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化全局把握

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出通過(guò)數(shù)學(xué)課程，滲透數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這使得數(shù)學(xué)思想方法再次成為小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)注和研究的熱點(diǎn)。以“轉(zhuǎn)化”這一較常見的思想方法為切入點(diǎn)，筆者嘗試突破數(shù)學(xué)思想方法“散點(diǎn)滲透式”的傳統(tǒng)教學(xué)方式，著力以全局視野進(jìn)行內(nèi)容上的全息梳理和方法上的統(tǒng)籌考量，以構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整體脈絡(luò)。

一、內(nèi)容梳理：為轉(zhuǎn)化思想畫一幅全息地圖

要使數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)不再是知識(shí)點(diǎn)中的零散滲透、教學(xué)中的即興穿插，就必須形成一幅多維、立體、全視域的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法“全息地圖”。

1.橫向與縱向——“轉(zhuǎn)化”的兩種脈絡(luò)。

從教材內(nèi)容這一橫向脈絡(luò)，可以梳理出“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”及“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分中的轉(zhuǎn)化思想。如小學(xué)一年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”部分，就有“數(shù)的分與合”這樣的“構(gòu)造轉(zhuǎn)化”、“湊十法”這樣的“復(fù)雜—簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化”以及把自然數(shù)序列轉(zhuǎn)化為數(shù)軸圖這樣的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”等。而從知識(shí)發(fā)展這一縱向脈絡(luò)觀察，轉(zhuǎn)化思想又呈現(xiàn)出在同一領(lǐng)域反復(fù)理解、螺旋上升的狀態(tài)。以數(shù)的運(yùn)算為例，從幾加幾到9加幾，從乘法口訣到用口訣算整十、整百數(shù)乘法，從整數(shù)四則運(yùn)算到小數(shù)四則運(yùn)算，從同分母加減到異分母加減，從分?jǐn)?shù)乘法到分?jǐn)?shù)除法進(jìn)而到百分?jǐn)?shù)運(yùn)算，能看出在整個(gè)小學(xué)階段，轉(zhuǎn)化思想在不同內(nèi)容中的反復(fù)強(qiáng)化與凸顯。

2.顯性與隱性——“轉(zhuǎn)化”的兩種形態(tài)。

學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)，如平行四邊形的面積，無(wú)論是傳統(tǒng)教法還是學(xué)生自主探究，都會(huì)出現(xiàn)把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形進(jìn)而推導(dǎo)公式的情況，這體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想的一種顯性特質(zhì)。而有時(shí)，轉(zhuǎn)化又是隱性的，需要教師具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在研讀教材的過(guò)程中加以發(fā)現(xiàn)。如四年級(jí)“三角形的內(nèi)角和”中，教材通過(guò)把三個(gè)角“折并”成一個(gè)角得到內(nèi)角和，就隱含著“等價(jià)轉(zhuǎn)化”思想。

二、方法建構(gòu)：給轉(zhuǎn)化思想尋一條教學(xué)路徑

通過(guò)多維度梳理，我們得到了一幅線索清晰的“轉(zhuǎn)化思想內(nèi)容圖”，在實(shí)際教學(xué)中就可以進(jìn)行全盤統(tǒng)籌的考量。

1.瞻前顧后：給轉(zhuǎn)化思想一個(gè)系統(tǒng)的邏輯架構(gòu)。

數(shù)學(xué)思想方法不僅要有一個(gè)準(zhǔn)確的目標(biāo)定位，還需要建立一個(gè)系統(tǒng)的邏輯框架，形成一條無(wú)形的線，在時(shí)間序列中不斷盤桓、浸潤(rùn)。如教學(xué)“圓柱體積公式的推導(dǎo)”，如果僅僅將其孤立地看成圓柱向長(zhǎng)方體的等體積轉(zhuǎn)化，就很容易成為一種個(gè)例的學(xué)習(xí)，而如果放手讓學(xué)生提前嘗試思考：借助已有知識(shí)，你能想辦法推導(dǎo)出圓柱的體積公式嗎？則會(huì)因各個(gè)學(xué)生不同的知識(shí)構(gòu)造，呈現(xiàn)出獨(dú)具特色的個(gè)人傾向：有的把圓柱水平切成無(wú)數(shù)圓片，借助平移長(zhǎng)方形得到長(zhǎng)方體的感悟，以極限思想推導(dǎo)；有的聯(lián)系圓面積推導(dǎo)過(guò)程，把圓柱底面均分成若干個(gè)等體積扇形，類比轉(zhuǎn)化探索公式；還有的試圖把圓柱切成許多個(gè)小長(zhǎng)方體，雖然難以推導(dǎo)出公式，但嘗試的過(guò)程未嘗不閃爍著學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略進(jìn)行思考、分析的光芒。

因此，在教學(xué)中，如果教師能在不同內(nèi)容的教學(xué)中，把握每一次機(jī)會(huì)讓學(xué)生充分感受所用到的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)他們獨(dú)立思考解決類似的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)充分展示出自己“潛藏”的、體悟過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法，而后，教師進(jìn)行分析和比較，就會(huì)讓學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)更清晰、應(yīng)用更自覺(jué)，進(jìn)而為數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)搭建起系統(tǒng)的邏輯框架。

2.螺旋發(fā)展：給轉(zhuǎn)化思想一個(gè)遞進(jìn)的生長(zhǎng)空間。

在教學(xué)中，我們還應(yīng)為轉(zhuǎn)化思想創(chuàng)造一個(gè)螺旋發(fā)展的生長(zhǎng)空間，關(guān)注到數(shù)學(xué)思想方法的遞進(jìn)、延展。如學(xué)習(xí)“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”時(shí)可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)：明明讓算20×3，你怎么會(huì)算成2×3呢？學(xué)習(xí)“不進(jìn)位的兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生反思：算法雖然不同，但都要把14×2進(jìn)行變化或分解，成為我們熟悉的計(jì)算就好辦了。學(xué)習(xí)“48×2”時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)“拆開來(lái)”算的好處。只要有機(jī)會(huì)，都試著外化學(xué)生樸素的思考，將轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值用描述性的問(wèn)題或簡(jiǎn)單的結(jié)語(yǔ)體現(xiàn)出來(lái)。單元復(fù)習(xí)時(shí)利用計(jì)算“48×9”，讓學(xué)生思考：你能用哪些方法進(jìn)行計(jì)算？無(wú)論是用豎式還是還原成加法，還是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再減48，都體現(xiàn)出了轉(zhuǎn)化的思想。

在小學(xué)六年的教學(xué)中，如果能這樣不斷地凸顯某一種數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生充分體會(huì)其價(jià)值，學(xué)生就會(huì)對(duì)各種數(shù)學(xué)思想方法都有充分的積淀，這必將為其今后的學(xué)習(xí)提供一個(gè)更廣闊的生長(zhǎng)空間。

三、整體溝通：為數(shù)學(xué)思想方法織一張全局的網(wǎng)

張奠宙教授說(shuō)：“只有把數(shù)學(xué)思想方法嵌入日常的教學(xué)之中，成為教師備課的有機(jī)組成部分，‘四基數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正落到實(shí)處?！痹诮虒W(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思想方法本身、對(duì)其與實(shí)際生活、與人的學(xué)習(xí)進(jìn)行更為全面的聯(lián)系，這樣，數(shù)學(xué)思想方法才能真正融入學(xué)生的行為、思考方式中，成為影響他們終身的素養(yǎng)。

1.橫向溝通，讓轉(zhuǎn)化與其他思想建立廣泛的聯(lián)系。

新課標(biāo)提出了三種數(shù)學(xué)基本思想，而基本思想又衍生、發(fā)展出數(shù)十種思想（如分類、集合等），在解題中，又會(huì)形成更為多樣的思想方法，可見，數(shù)學(xué)基本思想之間、基本思想與衍生思想之間、數(shù)學(xué)思想與方法之間存在著緊密的聯(lián)系。我們應(yīng)重視這些聯(lián)系，以總體的眼光看待小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思想方法，不僅心中有明晰的某一思想方法之線，腦中還要形成多種數(shù)學(xué)思想方法之譜?？梢酝ㄟ^(guò)積極融匯學(xué)生所呈現(xiàn)的不同數(shù)學(xué)思想方法，豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。如解決這樣的問(wèn)題：將長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■，現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的幾分之幾？任意找一個(gè)長(zhǎng)方形，結(jié)論是否不變？對(duì)分?jǐn)?shù)乘除印象深刻的學(xué)生會(huì)將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加，即長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)的■，面積就是原來(lái)面積的■，寬也是原來(lái)寬的■，面積就是原來(lái)面積的■；習(xí)慣進(jìn)行歸納推理的學(xué)生，會(huì)由特殊到一般，通過(guò)多個(gè)數(shù)據(jù)的計(jì)算進(jìn)行推論；函數(shù)思想發(fā)展較好的學(xué)生，會(huì)通過(guò)設(shè)長(zhǎng)、寬分別為a、b，用字母式進(jìn)行計(jì)算證明；“數(shù)形結(jié)合”思想運(yùn)用得較好的學(xué)生，會(huì)用圖進(jìn)行解釋。學(xué)生不同的思考路徑顯示出他們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法運(yùn)用中鮮明的個(gè)人傾向，進(jìn)一步讓學(xué)生討論“你喜歡誰(shuí)的方法？其他方法給了你怎樣的啟示？”又可以讓學(xué)生在求同存異中明確不同思想方法在具體應(yīng)用中的優(yōu)點(diǎn)和問(wèn)題，使學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題更為靈活、更具適切性。

2.縱向溝通，讓轉(zhuǎn)化與一般學(xué)習(xí)建立豐富的關(guān)聯(lián)。

學(xué)習(xí)內(nèi)在的機(jī)理是相通的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所獲取的轉(zhuǎn)化、分類討論、模型等思想意識(shí)，完全可以在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用，同時(shí)也可以通過(guò)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)得以鞏固。在學(xué)校組織的一次數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)科的聯(lián)合教研中，能把數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用到科學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)生，就很好地設(shè)計(jì)出了檢驗(yàn)“空氣是不是有質(zhì)量”的方案。如果能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與一般學(xué)習(xí)相互影響，那我們將能真正讓數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生頭腦中活起來(lái)，使其真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)后可以“帶得走的東西”。■

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎(jiǎng)

【摘 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布后，數(shù)學(xué)思想方法成為新的研究熱點(diǎn)。但當(dāng)下“散點(diǎn)滲透式”的教學(xué)方式，還難以達(dá)成“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想”的目標(biāo)。以“轉(zhuǎn)化”這一數(shù)學(xué)思想為例，教師可以站在全局的視野，從內(nèi)容梳理、方法建構(gòu)、整體溝通三個(gè)維度，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效落實(shí)作出有益的探索與實(shí)踐。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化全局把握

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出通過(guò)數(shù)學(xué)課程，滲透數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這使得數(shù)學(xué)思想方法再次成為小學(xué)數(shù)學(xué)關(guān)注和研究的熱點(diǎn)。以“轉(zhuǎn)化”這一較常見的思想方法為切入點(diǎn)，筆者嘗試突破數(shù)學(xué)思想方法“散點(diǎn)滲透式”的傳統(tǒng)教學(xué)方式，著力以全局視野進(jìn)行內(nèi)容上的全息梳理和方法上的統(tǒng)籌考量，以構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整體脈絡(luò)。

一、內(nèi)容梳理：為轉(zhuǎn)化思想畫一幅全息地圖

要使數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)不再是知識(shí)點(diǎn)中的零散滲透、教學(xué)中的即興穿插，就必須形成一幅多維、立體、全視域的小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法“全息地圖”。

1.橫向與縱向——“轉(zhuǎn)化”的兩種脈絡(luò)。

從教材內(nèi)容這一橫向脈絡(luò)，可以梳理出“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”及“綜合與實(shí)踐”四個(gè)部分中的轉(zhuǎn)化思想。如小學(xué)一年級(jí)“數(shù)與代數(shù)”部分，就有“數(shù)的分與合”這樣的“構(gòu)造轉(zhuǎn)化”、“湊十法”這樣的“復(fù)雜—簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化”以及把自然數(shù)序列轉(zhuǎn)化為數(shù)軸圖這樣的“數(shù)形轉(zhuǎn)化”等。而從知識(shí)發(fā)展這一縱向脈絡(luò)觀察，轉(zhuǎn)化思想又呈現(xiàn)出在同一領(lǐng)域反復(fù)理解、螺旋上升的狀態(tài)。以數(shù)的運(yùn)算為例，從幾加幾到9加幾，從乘法口訣到用口訣算整十、整百數(shù)乘法，從整數(shù)四則運(yùn)算到小數(shù)四則運(yùn)算，從同分母加減到異分母加減，從分?jǐn)?shù)乘法到分?jǐn)?shù)除法進(jìn)而到百分?jǐn)?shù)運(yùn)算，能看出在整個(gè)小學(xué)階段，轉(zhuǎn)化思想在不同內(nèi)容中的反復(fù)強(qiáng)化與凸顯。

2.顯性與隱性——“轉(zhuǎn)化”的兩種形態(tài)。

學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)，如平行四邊形的面積，無(wú)論是傳統(tǒng)教法還是學(xué)生自主探究，都會(huì)出現(xiàn)把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形進(jìn)而推導(dǎo)公式的情況，這體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化思想的一種顯性特質(zhì)。而有時(shí)，轉(zhuǎn)化又是隱性的，需要教師具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在研讀教材的過(guò)程中加以發(fā)現(xiàn)。如四年級(jí)“三角形的內(nèi)角和”中，教材通過(guò)把三個(gè)角“折并”成一個(gè)角得到內(nèi)角和，就隱含著“等價(jià)轉(zhuǎn)化”思想。

二、方法建構(gòu)：給轉(zhuǎn)化思想尋一條教學(xué)路徑

通過(guò)多維度梳理，我們得到了一幅線索清晰的“轉(zhuǎn)化思想內(nèi)容圖”，在實(shí)際教學(xué)中就可以進(jìn)行全盤統(tǒng)籌的考量。

1.瞻前顧后：給轉(zhuǎn)化思想一個(gè)系統(tǒng)的邏輯架構(gòu)。

數(shù)學(xué)思想方法不僅要有一個(gè)準(zhǔn)確的目標(biāo)定位，還需要建立一個(gè)系統(tǒng)的邏輯框架，形成一條無(wú)形的線，在時(shí)間序列中不斷盤桓、浸潤(rùn)。如教學(xué)“圓柱體積公式的推導(dǎo)”，如果僅僅將其孤立地看成圓柱向長(zhǎng)方體的等體積轉(zhuǎn)化，就很容易成為一種個(gè)例的學(xué)習(xí)，而如果放手讓學(xué)生提前嘗試思考：借助已有知識(shí)，你能想辦法推導(dǎo)出圓柱的體積公式嗎？則會(huì)因各個(gè)學(xué)生不同的知識(shí)構(gòu)造，呈現(xiàn)出獨(dú)具特色的個(gè)人傾向：有的把圓柱水平切成無(wú)數(shù)圓片，借助平移長(zhǎng)方形得到長(zhǎng)方體的感悟，以極限思想推導(dǎo)；有的聯(lián)系圓面積推導(dǎo)過(guò)程，把圓柱底面均分成若干個(gè)等體積扇形，類比轉(zhuǎn)化探索公式；還有的試圖把圓柱切成許多個(gè)小長(zhǎng)方體，雖然難以推導(dǎo)出公式，但嘗試的過(guò)程未嘗不閃爍著學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略進(jìn)行思考、分析的光芒。

因此，在教學(xué)中，如果教師能在不同內(nèi)容的教學(xué)中，把握每一次機(jī)會(huì)讓學(xué)生充分感受所用到的數(shù)學(xué)思想方法，當(dāng)他們獨(dú)立思考解決類似的問(wèn)題時(shí)，就會(huì)充分展示出自己“潛藏”的、體悟過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法，而后，教師進(jìn)行分析和比較，就會(huì)讓學(xué)生對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)更清晰、應(yīng)用更自覺(jué)，進(jìn)而為數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)搭建起系統(tǒng)的邏輯框架。

2.螺旋發(fā)展：給轉(zhuǎn)化思想一個(gè)遞進(jìn)的生長(zhǎng)空間。

在教學(xué)中，我們還應(yīng)為轉(zhuǎn)化思想創(chuàng)造一個(gè)螺旋發(fā)展的生長(zhǎng)空間，關(guān)注到數(shù)學(xué)思想方法的遞進(jìn)、延展。如學(xué)習(xí)“整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)”時(shí)可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)：明明讓算20×3，你怎么會(huì)算成2×3呢？學(xué)習(xí)“不進(jìn)位的兩位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生反思：算法雖然不同，但都要把14×2進(jìn)行變化或分解，成為我們熟悉的計(jì)算就好辦了。學(xué)習(xí)“48×2”時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)“拆開來(lái)”算的好處。只要有機(jī)會(huì)，都試著外化學(xué)生樸素的思考，將轉(zhuǎn)化思想的價(jià)值用描述性的問(wèn)題或簡(jiǎn)單的結(jié)語(yǔ)體現(xiàn)出來(lái)。單元復(fù)習(xí)時(shí)利用計(jì)算“48×9”，讓學(xué)生思考：你能用哪些方法進(jìn)行計(jì)算？無(wú)論是用豎式還是還原成加法，還是用8×9=72、40×9=360、72+360=432，甚至用48×10后再減48，都體現(xiàn)出了轉(zhuǎn)化的思想。

在小學(xué)六年的教學(xué)中，如果能這樣不斷地凸顯某一種數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生充分體會(huì)其價(jià)值，學(xué)生就會(huì)對(duì)各種數(shù)學(xué)思想方法都有充分的積淀，這必將為其今后的學(xué)習(xí)提供一個(gè)更廣闊的生長(zhǎng)空間。

三、整體溝通：為數(shù)學(xué)思想方法織一張全局的網(wǎng)

張奠宙教授說(shuō)：“只有把數(shù)學(xué)思想方法嵌入日常的教學(xué)之中，成為教師備課的有機(jī)組成部分，‘四基數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正落到實(shí)處?！痹诮虒W(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思想方法本身、對(duì)其與實(shí)際生活、與人的學(xué)習(xí)進(jìn)行更為全面的聯(lián)系，這樣，數(shù)學(xué)思想方法才能真正融入學(xué)生的行為、思考方式中，成為影響他們終身的素養(yǎng)。

1.橫向溝通，讓轉(zhuǎn)化與其他思想建立廣泛的聯(lián)系。

新課標(biāo)提出了三種數(shù)學(xué)基本思想，而基本思想又衍生、發(fā)展出數(shù)十種思想（如分類、集合等），在解題中，又會(huì)形成更為多樣的思想方法，可見，數(shù)學(xué)基本思想之間、基本思想與衍生思想之間、數(shù)學(xué)思想與方法之間存在著緊密的聯(lián)系。我們應(yīng)重視這些聯(lián)系，以總體的眼光看待小學(xué)階段的數(shù)學(xué)思想方法，不僅心中有明晰的某一思想方法之線，腦中還要形成多種數(shù)學(xué)思想方法之譜。可以通過(guò)積極融匯學(xué)生所呈現(xiàn)的不同數(shù)學(xué)思想方法，豐富學(xué)生的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。如解決這樣的問(wèn)題：將長(zhǎng)6厘米、寬4厘米的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別增加■，現(xiàn)在長(zhǎng)方形的面積是原來(lái)的幾分之幾？任意找一個(gè)長(zhǎng)方形，結(jié)論是否不變？對(duì)分?jǐn)?shù)乘除印象深刻的學(xué)生會(huì)將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的疊加，即長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)的■，面積就是原來(lái)面積的■，寬也是原來(lái)寬的■，面積就是原來(lái)面積的■；習(xí)慣進(jìn)行歸納推理的學(xué)生，會(huì)由特殊到一般，通過(guò)多個(gè)數(shù)據(jù)的計(jì)算進(jìn)行推論；函數(shù)思想發(fā)展較好的學(xué)生，會(huì)通過(guò)設(shè)長(zhǎng)、寬分別為a、b，用字母式進(jìn)行計(jì)算證明；“數(shù)形結(jié)合”思想運(yùn)用得較好的學(xué)生，會(huì)用圖進(jìn)行解釋。學(xué)生不同的思考路徑顯示出他們?cè)跀?shù)學(xué)思想方法運(yùn)用中鮮明的個(gè)人傾向，進(jìn)一步讓學(xué)生討論“你喜歡誰(shuí)的方法？其他方法給了你怎樣的啟示？”又可以讓學(xué)生在求同存異中明確不同思想方法在具體應(yīng)用中的優(yōu)點(diǎn)和問(wèn)題，使學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題更為靈活、更具適切性。

2.縱向溝通，讓轉(zhuǎn)化與一般學(xué)習(xí)建立豐富的關(guān)聯(lián)。

學(xué)習(xí)內(nèi)在的機(jī)理是相通的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所獲取的轉(zhuǎn)化、分類討論、模型等思想意識(shí)，完全可以在其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中得到應(yīng)用，同時(shí)也可以通過(guò)其他學(xué)科的學(xué)習(xí)得以鞏固。在學(xué)校組織的一次數(shù)學(xué)與科學(xué)學(xué)科的聯(lián)合教研中，能把數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用到科學(xué)學(xué)習(xí)中的學(xué)生，就很好地設(shè)計(jì)出了檢驗(yàn)“空氣是不是有質(zhì)量”的方案。如果能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與一般學(xué)習(xí)相互影響，那我們將能真正讓數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生頭腦中活起來(lái)，使其真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)后可以“帶得走的東西”?！?/p>

注：本文獲2013年江蘇省“教海探航”征文二等獎(jiǎng)