理想紗條的纖維排列與隨機(jī)過程分析

嚴(yán)廣松，蘇玉恒

(1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 451191；2. 河南工程學(xué)院 紡織學(xué)院，河南 鄭州 450007)

理想紗條的纖維排列與隨機(jī)過程分析

嚴(yán)廣松1，蘇玉恒2

(1.河南工程學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 451191；2. 河南工程學(xué)院 紡織學(xué)院，河南 鄭州 450007)

在Rao給出的理想紗條定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了理想紗條纖維排列的新定義.新定義考慮了纖維的長度分布，從纖維頭端排列的概率分布角度指出了理想紗條的形態(tài)，新的理想紗條定義完全滿足Rao理想紗條的4個(gè)條件.使用隨機(jī)過程對這個(gè)新定義的理想紗條進(jìn)行了分析，證明了這個(gè)隨機(jī)過程是一個(gè)弱平穩(wěn)過程,進(jìn)一步求出了這個(gè)平穩(wěn)過程的期望、方差和相關(guān)函數(shù)表達(dá)式,為理解理想紗條的意義和擬合非理想紗條建立了理論基礎(chǔ)，也給出了理想紗條仿真的數(shù)學(xué)方法和途徑.

理想紗條；纖維排列；纖維頭端；隨機(jī)過程

短纖維紗線一般是指使用具有一定長度分布的天然纖維制造的纖維線性集合體.由于受到纖維長短不一和紡紗加工過程的影響，纖維所形成的紗線會具有一定的均勻度.短纖維紗線的均勻度是重要的紗線質(zhì)量指標(biāo)，也一直是紡織基礎(chǔ)與應(yīng)用研究的熱點(diǎn)之一,研究短纖維紗線的均勻度對于提高紗線的質(zhì)量、改進(jìn)紡紗工藝和研制檢測儀器等都具有重要的意義.

紗線的均勻度研究也稱為紗線條干不勻研究，這個(gè)研究最早起源于20世紀(jì)四十年代.Martindale等[1]首先研究了紗線的極限不勻，給出了紗線極限不勻的重要公式，歷史上稱為Martindale公式.盡管這個(gè)公式存在種種缺陷，但是在長期的紡紗工程實(shí)踐中還是發(fā)揮了重要作用.許多學(xué)者都對Martindale的紗線不勻理論進(jìn)行了有益的探索，如Brown, Suh和Zeidman等[2-4]討論過紗線極限不勻的構(gòu)成以及概率性質(zhì)等，取得了一定的進(jìn)展.近幾年來，Yan等[5]研究了紗線截面纖維根數(shù)的分布，使用二項(xiàng)分布方法對紗條截面纖維根數(shù)進(jìn)行建模和分析.嚴(yán)廣松、蘇玉恒[6]建立了平行纖維束頭端的一個(gè)模型，并且使用Monte Carlo方法對紗線條干均勻度進(jìn)行了模擬，得到了紗條均勻度的一些性質(zhì).為了進(jìn)一步研究各種紗線中纖維排列的性質(zhì)，嚴(yán)廣松等[7]提出了一種纖維頭端的擬均勻分布作為等效分布，對擬合纖維頭端的概率分布起到了一定的作用. 匡雪琴、嚴(yán)廣松等[8]還提出了極限不勻的一個(gè)新數(shù)學(xué)表達(dá)式.

除了研究紗線均勻度的影響因素以及理論分析以外，還有一些關(guān)于紗條均勻度的研究集中在理想紗條的研究領(lǐng)域.這個(gè)研究最早也是由Martindale提出的，而系統(tǒng)且全面的理想紗條研究則是由Rao完成的[9].

邱燕煒通過對纖維的線密度引入平穩(wěn)過程和窗函數(shù)的概念，對理想紗條的假設(shè)進(jìn)一步減弱，建立了一種更具普遍意義的理想紗條數(shù)學(xué)模型[10],這也是我國較少見的使用隨機(jī)過程研究理想紗條的文獻(xiàn)之一.

但對理想紗條的研究，迄今為止大部分是基于紗條截面面積的探索，而對纖維在紗線中的排列狀態(tài)依然缺乏進(jìn)一步的研究，而且大部分研究都沒有考慮纖維的長度分布.如果建立理想紗條中纖維排列的隨機(jī)規(guī)律，而且能夠給出理想紗條截面纖維根數(shù)變化的隨機(jī)過程表達(dá)，對于隨機(jī)生成理想紗條進(jìn)而討論非理想紗條的隨機(jī)排列都將是有益的.

本研究假設(shè)纖維具有一個(gè)長度分布，提出了一個(gè)理想紗條纖維排列的分布模型，從而給出了基于纖維隨機(jī)排列的理想紗條新定義,不僅證明了這個(gè)新定義與Rao所給出的定義是一致的，并且進(jìn)一步分析了這個(gè)新定義的理想紗條所形成的截面纖維根數(shù)的隨機(jī)過程,而且證明了這個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，求出了這個(gè)隨機(jī)過程的期望、方差和相關(guān)函數(shù)，為今后理想紗條的模擬仿真以及更廣泛的討論打下了基礎(chǔ).

1 理想紗條的新定義

1961年，Rao給出了理想紗條的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，按照他的定義，理想紗條是一個(gè)滿足以下條件的無限長的纖維結(jié)構(gòu)：

(1) 所有纖維順直且平行于紗線的軸向；

(2) 在紗條的任何一點(diǎn)作為原點(diǎn)，x是離開原點(diǎn)的有向距離，則在區(qū)間(x,x+Δx)內(nèi)恰好出現(xiàn)一個(gè)左(右)頭端的概率等于μΔx+o(Δx)，其中μ與x無關(guān)，o(Δx)是Δx的高階無窮??；

(3) 單根纖維的線密度均勻不變，不同纖維之間線密度可以不同，但其分布與纖維長度無關(guān)；

(4) 各纖維的左(右)頭端在軸上的分布相互獨(dú)立.

Rao在提出上述定義時(shí)，強(qiáng)調(diào)了紗條形成的前提，也就是任何紡紗過程都無法精確地控制纖維的排列.也就是說，纖維在紗條中只能按照一定概率分布進(jìn)行排列.上述定義盡管描述了理想紗條的基本結(jié)構(gòu)，但是并沒有進(jìn)一步給出理想紗條中纖維隨機(jī)排列的規(guī)律.如果考慮到纖維的長度分布，而且進(jìn)一步說明理想紗條的纖維排列，可以將上述定義進(jìn)一步寫成下列新定義：

(1′)所有纖維順直且平行于紗線的軸向；

(2′)設(shè)纖維的長度具有分布密度函數(shù)f(x)，最長長度為s，則在紗條上任何長為s區(qū)間上，均含有N個(gè)纖維的頭端,且這些頭端在長為s的任何區(qū)間內(nèi)是均勻分布的；

(3′)單根纖維的線密度均勻不變，不同纖維之間線密度可以不同，但其分布與纖維長度無關(guān)；

(4′)各纖維的左(右)端頭在x軸上的分布相互獨(dú)立.

這個(gè)定義只有第(2′)條與Rao的定義不同，實(shí)際上是更進(jìn)一步指出了理想紗條中纖維的隨機(jī)排列規(guī)律，下面只需證明新定義的第(2′)條滿足Rao的第(2)條即可.

按照新定義的均勻分布假設(shè)，下面證明在紗條上任取一點(diǎn)，x是離開原點(diǎn)的有向距離，則在區(qū)間(x,x+Δx)內(nèi)恰好出現(xiàn)一個(gè)頭端的概率等于μΔx+o(Δx)，其中μ與x無關(guān)，o(Δx)是Δx的高階無窮小.

(1)

由于

(2)

代入(1)式，有

(3)

顯然，(3)式中的s是一個(gè)與Δx無關(guān)的量，且(3)式的后一項(xiàng)是Δx的高階無窮小.這表明，新定義對纖維在紗線中隨機(jī)排列的描述符合理想紗條的原始定義.

理想紗條的新定義進(jìn)一步給出了理想紗條中纖維的分布特征，對于具有一定長度分布的纖維，可以按照這個(gè)定義來進(jìn)一步分析.

2 理想紗條纖維的隨機(jī)排列

2.1理想紗條截面纖維根數(shù)的期望與方差

首先要按照理想紗條的新定義，把纖維在紗條中的排列做一個(gè)分析.

任何一根紗條截面內(nèi)的纖維，都是頭端在這個(gè)截面左側(cè)的纖維向右伸展而形成的.把這個(gè)截面記為C-C′，記纖維的最長長度為s，則截面左側(cè)長為s的區(qū)段里纖維左頭端的個(gè)數(shù)與纖維長度分布決定著這個(gè)截面內(nèi)纖維根數(shù)的分布.

圖1 紗條的幾何模型Fig.1 The geometric yarn model

圖1給出了纖維順直排列的示意圖，其中的C-C′截面是紗條的任一截面.這個(gè)截面的橫坐標(biāo)等于纖維的最長長度，這樣就能保證這個(gè)截面的纖維數(shù)是一個(gè)典型的紗條.而這個(gè)截面的左方，由于纖維都是向右伸展的，所以不是紗條的主體，而是類似于紗線斷口的結(jié)構(gòu).

可以證明，無論纖維長度分布是什么樣的，當(dāng)纖維的左頭端在C-C′左側(cè)均勻分布的時(shí)候，所得到的C-C′截面上纖維根數(shù)的變異系數(shù)為最小.

設(shè)纖維長度的密度函數(shù)是f(x)，纖維的最長長度是s.需要計(jì)算通過截面C-C′纖維根數(shù)的期望和方差，這個(gè)期望與方差就是理想紗條截面纖維根數(shù)隨機(jī)過程的期望與方差.

設(shè)纖維的左邊頭端點(diǎn)為隨機(jī)變量X，其在0到C-C′截面之間服從均勻分布，其分布密度函數(shù)是

(4)

其概率為

P{ξi=1}=p=P{Xi+Yi≥s}，P{ξi=0}=1-p.

(5)

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，顯然有

(6)

D(ξ)=Np(1-p).

(7)

下面計(jì)算P{Xi+Yi≥s}.

帶入(6)式和(7)式，有

(8)

從(8)式的結(jié)果可以看出，期望與方差都是與隨機(jī)過程的狀態(tài)無關(guān)的量，于是理想紗條截面纖維根數(shù)的隨機(jī)過程{X(t)}是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過程.這個(gè)隨機(jī)過程是否為強(qiáng)平穩(wěn)，取決于它的自相關(guān)函數(shù)是否與步長有關(guān).

2.2理想紗條截面纖維根數(shù)的相關(guān)函數(shù)

為了能夠全面反映理想紗條截面纖維根數(shù)隨機(jī)過程{X(t)}，還需要求出這個(gè)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，即R[X(t)X(t+l)].其中,l表示兩點(diǎn)間的距離，顯然當(dāng)這個(gè)距離大于纖維的最大長度s時(shí)，X(t)與X(t+l)無關(guān).

圖2 隨機(jī)過程相鄰點(diǎn)之間關(guān)系Fig.2 The adjacent points in the stochastic process

按照圖1所定義的理想紗條纖維生成過程來求自相關(guān)函數(shù)顯然很難，下面從圖2來分析.在圖2中，X(t)與X(t+l)相距l(xiāng)，下面來分析計(jì)算它們之間的相關(guān)函數(shù).

(9)

X(t)和X(t+l)兩點(diǎn)上纖維根數(shù)的相關(guān)系數(shù)為

(10)

(10)式的結(jié)果顯然是合理的，當(dāng)l變小時(shí)，兩點(diǎn)之間距離變近，相關(guān)系數(shù)提高，而當(dāng)l等于纖維的最大長度s時(shí)，相關(guān)系數(shù)為0.當(dāng)l=0時(shí)，相關(guān)系數(shù)為1.

按照概率論的知識，相關(guān)系數(shù)

(11)

所以，

(12)

將(8)式和(10)式的結(jié)果代入(12)式，有

(13)

顯然，這個(gè)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)是一個(gè)與步長有關(guān)的量，所以，理想紗條截面纖維根數(shù)的隨機(jī)過程是一個(gè)弱平穩(wěn)的隨機(jī)過程.

3 結(jié)論

在Rao的理想紗條定義基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對紗條中纖維的長度分布和纖維頭端分布進(jìn)行了假設(shè)，從而給出了與Rao的定義等價(jià)的新的理想紗條定義.在使用隨機(jī)過程對理想紗條截面纖維根數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，進(jìn)一步得出，理想紗條截面纖維根數(shù)的隨機(jī)過程是一個(gè)弱平穩(wěn)的過程.根據(jù)2.1的分析可以知道，這個(gè)弱平穩(wěn)的隨機(jī)過程漸進(jìn)服從正態(tài)分布，所以也是個(gè)正態(tài)過程.

在纖維頭端均勻分布假設(shè)下，得到了理想紗條截面纖維根數(shù)的相關(guān)函數(shù)，為今后使用隨機(jī)方法生成紗條的隨機(jī)過程打下了基礎(chǔ).對理想紗條截面纖維根數(shù)的隨機(jī)過程模擬將采用正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)和Monte Carlo方法進(jìn)行.對于非理想紗條的建模，還需要在這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究.

[1] Martindale J G.A new method of measuring the irregularity of yarns with some observations on the origin of irregularities in worsted slivers and yarns[J].Journal of the Textile Institute,1945(36):35-47.

[2] Brown G H,Ly G N. Statistics for the number of fiber ends in a segment of a random assembly of aligned fibers[J].Textile Research Journal,1985,55(4):206-210.

[3] Suh M W.Probabilistic assessment of irregularity in random fiber arrays-effect of fiber length distribution on “variance-length curve”[J].Textile Research Journal,1976(45):291-298.

[4] Zeidman M,Suh M W,Batra S K.A new perspective on yarn unevenness: components and determinants of general unevenness [J].Textile Research Journal,1998,56(4):1-6.

[5] Yan G S,Zhu J Z,Yu C W.A new approach to theoretical yarn unevenness: a binomial distribution model[J]. Journal of the Textile Institute,2010,101(8): 753-757.

[6] 嚴(yán)廣松，蘇玉恒，朱進(jìn)忠.紗線條干不勻的隨機(jī)模擬[J].紡織學(xué)報(bào)，2012，33(1)：33-37.

[7] 嚴(yán)廣松，蘇玉恒.棉紗線中纖維頭端的等效分布研究[J].河南工程學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，23(2)：1-5.

[8] Kuang X,Yan G,Jiang Z, et al.A new mathematical expression of yarn limit unevenness[J].Fibers and Polymers, 2013, 14(11): 1943-1946.

[9] Rao S J.The mathematical model for the ideal sliver and its applications to the theory of roller drafting[J]. Journal of the Textile Institute, 1961(52):570-600.

[10]邱燕煒.理想紗條的數(shù)學(xué)建模[J].中國紡織大學(xué)學(xué)報(bào)，1999, 25(3): 6-9.

Thealignmentoffibersinidealsliveranditsanalysisbystochasticprocess

YAN Guang-song1, SU Yu-heng2

((1.SchoolofSciences,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China; 2.CollegeofTextileEngineering,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou450007,China)

Based on the definition of ideal slivers given by Rao, a new definition of ideal slivers concerning the fiber alignment in slivers is proposed. The new definition takes account of the length distribution of the constituent fibers and gives the probability distribution of fiber tips along the length direction of the ideal sliver. The new definition of ideal slivers is proved to be consistent to the four conditions of the former definition given by Rao. A stochastic process analysis is carried out and the result is proved that the stochastic process of the number of fibers in the cross section of the ideal sliver is weakly stationary. And further work is done to have found out the mathematical expectation, the variance and the co-variance of the process. All these works are helpful to the understanding of the ideal sliver and the fitting of the non-ideal slivers. The stochastic process analysis is also a platform of generating ideal silver by simulations.

ideal slivers; fiber alignment; fiber tips; stochastic process

2013-11-18

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51173023)；河南省高?？萍紕?chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃項(xiàng)目(13IRTSTHN024)

嚴(yán)廣松(1958-)，男，湖北新洲人，教授，博士，主要從事概率與紡紗基礎(chǔ)理論研究.

TS101.1

A

1674-330X(2014)01-0001-05