剛體轉(zhuǎn)動慣量的求解討論

趙 強(qiáng) 韓春杰

（石家莊機(jī)械化步兵學(xué)院 河北 石家莊 050083）

剛體轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動特性的重要物理量之一，其大小不僅與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，而且還和質(zhì)量相對于軸的分布有關(guān)，同一剛體對于不同的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動慣量不同.教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)員在求解剛體轉(zhuǎn)動慣量常常不得要領(lǐng).本文總結(jié)了求解剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法.

1 定義求解法

剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和，定義式為J＝，對于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，則可用積分代替求和，即.此式僅可用于求解幾何形狀簡單、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量.

【例1】求均勻細(xì)棒繞垂直通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.

分析：這類問題求解的關(guān)鍵是如何取質(zhì)元dm使問題簡化.當(dāng)剛體質(zhì)量為線分布時，取dm＝λdl；當(dāng)質(zhì)量為面分布時，則取dm＝σdS；當(dāng)質(zhì)量為體分布時，則取dm＝ρdV.式中λ，σ和ρ分別為線質(zhì)量密度、面質(zhì)量密度和體質(zhì)量密度，dl，dS和dV分別為所取的線元、面元和體元.由此可見，本題可在沿棒的方向取質(zhì)量線元dm即可方便求解.

圖1

2 定理求解法

2.1 利用平行軸定理求解

當(dāng)質(zhì)量為m的剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量JC已知，若另一軸與此軸平行且相距為d，則此剛體對后一軸的轉(zhuǎn)動慣量可表示為

上式即為平行軸定理.

【例2】計算例1中細(xì)棒繞端點(diǎn)D的轉(zhuǎn)動慣量.

分析：對于過端點(diǎn)D的轉(zhuǎn)動慣量，可根據(jù)平行軸定理來計算，此時

解：根據(jù)平行軸定理JD＝JC＋md2，以及繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，可得

2.2 利用垂直軸定理求解

設(shè)剛體厚度為無窮小的薄板平面xy，z軸與之垂直（如圖2所示），則對于任何原點(diǎn)O繞3個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為

圖2

顯然，無窮小厚度的薄板對與它垂直的坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于薄板對板面內(nèi)另外兩個直角坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量之和，即垂直軸定理.

【例3】均質(zhì)等厚度薄圓板的質(zhì)量為m，半徑為R，板的厚度遠(yuǎn)小于半徑.求對過圓心且在板面內(nèi)之軸的轉(zhuǎn)動慣量.

分析：由題設(shè)條件可知，板的厚度遠(yuǎn)小于半徑，所以，此圓板可看作無窮小厚度的板.可利用垂直軸定理求解.

解：以盤心為原點(diǎn)O，x和y軸在板面內(nèi).根據(jù)對稱性可知Jx＝Jy，由垂直軸定理，得

2.3 利用轉(zhuǎn)動慣量定理求解

在求解轉(zhuǎn)動慣量時，我們還經(jīng)常用到轉(zhuǎn)動慣量定理

其中Jx，Jy，Jz表示繞3個互相垂直相交軸的轉(zhuǎn)動慣量，mi為第i個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，ri為第i個質(zhì)點(diǎn)離開3軸交點(diǎn)的距離，當(dāng)剛體質(zhì)量連續(xù)分布時，定理可表述為，這樣，可以把對3軸線的積分轉(zhuǎn)化成對坐標(biāo)原點(diǎn)的積分，從而大大降低了積分的難度.

【例4】求質(zhì)量為M，半徑為R實心球繞直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量.

分析：由于實心球繞任何直徑軸的轉(zhuǎn)動慣量都相等，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有

通過轉(zhuǎn)動慣量理即可求得.實心球體繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量.

解：由轉(zhuǎn)動慣量定理和實心球體的對稱性可得

3 質(zhì)量投影法

由轉(zhuǎn)動慣量的定義我們不難發(fā)現(xiàn)，如果剛體上各質(zhì)元mi到轉(zhuǎn)軸距離ri保持不變，那么剛體對此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量不變.依據(jù)這一結(jié)論，在保持總質(zhì)量不變的前提下，如果把三維剛體上各質(zhì)元的質(zhì)量向垂直于轉(zhuǎn)軸的平面“投影”，便可將三維剛體簡化為二維剛體，通過這一變換得到的剛體平面對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與三維剛體對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量相等.以此類推，對于二維剛體可將剛體平面的質(zhì)量“投影”到該平面上某軸進(jìn)而簡化為一維剛線，由此計算出的轉(zhuǎn)動慣量與剛體平面對同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量相等.

利用質(zhì)量投影法可以較方便求得橢圓盤、六面體、圓柱體、圓臺體等均質(zhì)剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量.

【例5】如圖3所示，質(zhì)量m的均質(zhì)薄橢圓盤，其長、短半軸長為a和b，分別計算其對x，y，z軸的轉(zhuǎn)動慣量.

分析：利用質(zhì)量投影法，將橢圓盤分別向x，y軸投影求出y，x軸的轉(zhuǎn)動慣量，然后再根據(jù)垂直定理求出橢圓盤對z軸的轉(zhuǎn)動慣量.

圖3

解：首先求橢圓盤對x軸的轉(zhuǎn)動慣量.此時，可將橢圓盤向y軸投影得到長為2 b的線段，質(zhì)量仍為m，注意這時的質(zhì)量非均勻分布，可求得質(zhì)量線密度為

同理可得均質(zhì)橢圓盤對y軸的轉(zhuǎn)動慣量

4 標(biāo)度變換法求解

若物體的質(zhì)量為m，通過物體質(zhì)心C的軸的方向用i表示.該物體對i軸的轉(zhuǎn)動慣量可表示為J＝kml2，其中k是常量，由物體的形狀和i的方向決定，l是物體的特征尺寸.

如果能夠把物體分成n等分，其形狀和取向都和原物體一樣，每個小塊對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量都可以用上式表示，且常量k相同，但m和l的值卻不同，那么物體的轉(zhuǎn)動慣量可用下式求得

其中Ji為第i個小塊對通過質(zhì)心C的軸的轉(zhuǎn)動慣量.

【例6】求均勻立方體繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.

分析：如圖4所示，將此立方體分成8個相等的小立方體，求出一個小立方體對棱邊轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，然后，根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的可加性求出整個立方體對過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.

圖4

解：設(shè)立方體的質(zhì)量為m，棱長為l，JC＝kml2，中心軸到棱邊的距離為，由平行軸定理可知，立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為

8個小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量之和應(yīng)等于大立方體繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量

1 漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程.北京：高等教育出版社，2005

2 祝之光.物理學(xué)上冊（第二版）.北京：高等教育出版社，2004

3 John.F.Streib.關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量定理.大學(xué)物理，1992，11（2）

4 王永超.剛體轉(zhuǎn)動慣量的質(zhì)量投影法.大學(xué)物理，2010（9）