基于MATLAB仿真任意多凸邊形面積的計(jì)算

摘要：隨著數(shù)學(xué)課程廣度和維度的加深，本文就數(shù)學(xué)課本中的多邊形面積計(jì)算的方法做了一定的推廣，使得其知識(shí)和初高中進(jìn)行銜接，并基于叉乘原理以及運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)任意多凸邊形的面積進(jìn)行了仿真計(jì)算，這樣使得數(shù)學(xué)教學(xué)更形象生動(dòng)，最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及使他們能夠拓展思維，鉆研數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)更好地運(yùn)用到生活中。

關(guān)鍵詞：任意多凸邊形；面積計(jì)算；MATLAB仿真分析；叉乘原理

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）39-0101-02

本文就目前小學(xué)數(shù)學(xué)課本中所提及的規(guī)則多邊形面積（例如：三角形、正方形、長(zhǎng)方形等）的簡(jiǎn)單計(jì)算推廣到任意多凸多邊形面積的計(jì)算中，并結(jié)合叉乘知識(shí)給出計(jì)算公式，最后運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行仿真分析。

一、坐標(biāo)系中的任意凸多邊形

要想通過軟件對(duì)任意凸多邊形面積進(jìn)行快速求解，我們將其放入到一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系中，如圖1所示。

從圖中可見，該圖為凸七邊形，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，7）、B（2，5）、C（4，4）、D（7，5）、E（8，8）、F（4，9）、G（2，8.5）。O為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。這樣就將一個(gè)凸七邊形置入一個(gè)坐標(biāo)系中。

二、凸多邊形面積的計(jì)算原理與算法

借助圖1中的凸七邊形進(jìn)行分析，分別將各頂點(diǎn)與原點(diǎn)進(jìn)行連接，如圖中虛線所示，這樣就得到了三角形△OAB，△OBC，△OCD（記為順時(shí)針三角形）和三角形△ODE，△OEF，△OFG，△OGA（記為逆時(shí)針三角形）。

則該七邊形的面積為：

七邊形ABCDEFG面積=|△ODE+△OEF+△OFG+△OGA|-|△OAB+△OBC+△OCD|

上式中順時(shí)三角形的面積為負(fù)，逆時(shí)三角形的面積為正值。

這樣我們就通過引入點(diǎn)原點(diǎn)O將七邊形的面積化為多個(gè)三角形面積的加減。

現(xiàn)以一個(gè)順時(shí)針三角形△OAB和一個(gè)逆時(shí)針三角形△ODE為例，運(yùn)用叉乘原理計(jì)算其面積。得兩個(gè)三角形面積為：S△OAB=

×

，S△ODE=

×

。

在上式中×為向量叉，叉乘的含義為以O(shè)A，OB為兩邊，再以右手準(zhǔn)則構(gòu)建出的向量。其大小為以O(shè)A，OB為兩邊的平行四邊形面積。

有了以上的基礎(chǔ)現(xiàn)在我們給出在坐標(biāo)系中OA與OB叉乘的公式，現(xiàn)記點(diǎn)A坐標(biāo)為A（x1，y1），點(diǎn)B坐標(biāo)為B（x2，y2）。則叉乘為：

×=

x

y

z

x

y

z=（yz-zy）+（zx-xz）+

（xy-yx）

由于A，B兩點(diǎn)在平面內(nèi)，所以上式中的z=0，z2=0。則上式化簡(jiǎn)為如下形式：×=

x

y

z

x

y

z=（xy-yx）。

因此可以得到兩向量叉乘的模的大小為：

×

=x

y

-y

x

。因此得到三角形面積為S△OAB=

×

=x

y

-y

x

。

通過以上的原理和算法介紹，我們完成了在直角坐標(biāo)系中三角形面積基于點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式。以此類推，可以得到凸多邊形的面積公式為：

S凸多邊形面積=（xiyi+1-xi+1yi）+（xNy1-x1yN）

上式中N表示凸多邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。到此我們就給出了在直角坐標(biāo)系中凸多邊形基于點(diǎn)坐標(biāo)的面積計(jì)算公式。

三、基于MATLAB仿真計(jì)算凸多邊形的面積

由于計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，而在中小學(xué)課程中很少涉及有相關(guān)的電腦軟件知識(shí)，因此我想在本文章中運(yùn)用軟件的知識(shí)來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，使學(xué)生更好地理解抽象問題，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣便使得學(xué)生從一開始就接觸這方面的知識(shí)與運(yùn)用，為以后銜接更高的教育打下一定的基礎(chǔ)。因此在這里我將運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)上述所討論的凸多邊形面積進(jìn)行定量計(jì)算。

如圖2所示，給出一個(gè)七邊形在直角坐標(biāo)系中的示意圖。

根據(jù)上圖所示，我們利用公式便可求得該七邊形面積為（這里我們采用逆時(shí)針法則，即從點(diǎn)A到點(diǎn)G）：

S凸多邊形面積=（xiyi+1-xi+1yi）+（xNy1-x1yN）

=[（1×5-7×2）+（2×4-5×4）+（4×5-7×

4）+（7×8-5×8）+（8×9-8×4）+（4×8.5-

9×2）+（2×7-8.1×1）]

=14.25

四、小結(jié)

通過上述方法和示例我們將凸多邊形面積進(jìn)行了快速計(jì)算，其中運(yùn)用了軟件MATLAB、叉乘原理、坐標(biāo)系等內(nèi)容，這些將有助于深化學(xué)習(xí)，使得學(xué)生思維開闊，對(duì)以后的知識(shí)提前學(xué)習(xí)，我想平時(shí)在教學(xué)中我們要積極把以后的知識(shí)拓展到現(xiàn)在的教學(xué)中，使得學(xué)生初步掌握一些先進(jìn)與高級(jí)的方法與理論。

參考文獻(xiàn)：

[1]何吉?dú)g.不規(guī)則幾何形狀的面積近似公式[J].測(cè)繪通報(bào)，1998，（10）：50–53.

[2]劉建玉.快速求解三角形面積最小值[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001，（3）：21-22.

作者簡(jiǎn)介：李玉梅（1968-），女，遼寧省朝陽縣人，內(nèi)蒙古興安盟扎賚特旗巴岱中心學(xué)校，高級(jí)教師。endprint

摘要：隨著數(shù)學(xué)課程廣度和維度的加深，本文就數(shù)學(xué)課本中的多邊形面積計(jì)算的方法做了一定的推廣，使得其知識(shí)和初高中進(jìn)行銜接，并基于叉乘原理以及運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)任意多凸邊形的面積進(jìn)行了仿真計(jì)算，這樣使得數(shù)學(xué)教學(xué)更形象生動(dòng)，最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及使他們能夠拓展思維，鉆研數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)更好地運(yùn)用到生活中。

關(guān)鍵詞：任意多凸邊形；面積計(jì)算；MATLAB仿真分析；叉乘原理

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）39-0101-02

本文就目前小學(xué)數(shù)學(xué)課本中所提及的規(guī)則多邊形面積（例如：三角形、正方形、長(zhǎng)方形等）的簡(jiǎn)單計(jì)算推廣到任意多凸多邊形面積的計(jì)算中，并結(jié)合叉乘知識(shí)給出計(jì)算公式，最后運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行仿真分析。

一、坐標(biāo)系中的任意凸多邊形

要想通過軟件對(duì)任意凸多邊形面積進(jìn)行快速求解，我們將其放入到一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系中，如圖1所示。

從圖中可見，該圖為凸七邊形，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，7）、B（2，5）、C（4，4）、D（7，5）、E（8，8）、F（4，9）、G（2，8.5）。O為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。這樣就將一個(gè)凸七邊形置入一個(gè)坐標(biāo)系中。

二、凸多邊形面積的計(jì)算原理與算法

借助圖1中的凸七邊形進(jìn)行分析，分別將各頂點(diǎn)與原點(diǎn)進(jìn)行連接，如圖中虛線所示，這樣就得到了三角形△OAB，△OBC，△OCD（記為順時(shí)針三角形）和三角形△ODE，△OEF，△OFG，△OGA（記為逆時(shí)針三角形）。

則該七邊形的面積為：

七邊形ABCDEFG面積=|△ODE+△OEF+△OFG+△OGA|-|△OAB+△OBC+△OCD|

上式中順時(shí)三角形的面積為負(fù)，逆時(shí)三角形的面積為正值。

這樣我們就通過引入點(diǎn)原點(diǎn)O將七邊形的面積化為多個(gè)三角形面積的加減。

現(xiàn)以一個(gè)順時(shí)針三角形△OAB和一個(gè)逆時(shí)針三角形△ODE為例，運(yùn)用叉乘原理計(jì)算其面積。得兩個(gè)三角形面積為：S△OAB=

×

，S△ODE=

×

。

在上式中×為向量叉，叉乘的含義為以O(shè)A，OB為兩邊，再以右手準(zhǔn)則構(gòu)建出的向量。其大小為以O(shè)A，OB為兩邊的平行四邊形面積。

有了以上的基礎(chǔ)現(xiàn)在我們給出在坐標(biāo)系中OA與OB叉乘的公式，現(xiàn)記點(diǎn)A坐標(biāo)為A（x1，y1），點(diǎn)B坐標(biāo)為B（x2，y2）。則叉乘為：

×=

x

y

z

x

y

z=（yz-zy）+（zx-xz）+

（xy-yx）

由于A，B兩點(diǎn)在平面內(nèi)，所以上式中的z=0，z2=0。則上式化簡(jiǎn)為如下形式：×=

x

y

z

x

y

z=（xy-yx）。

因此可以得到兩向量叉乘的模的大小為：

×

=x

y

-y

x

。因此得到三角形面積為S△OAB=

×

=x

y

-y

x

。

通過以上的原理和算法介紹，我們完成了在直角坐標(biāo)系中三角形面積基于點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式。以此類推，可以得到凸多邊形的面積公式為：

S凸多邊形面積=（xiyi+1-xi+1yi）+（xNy1-x1yN）

上式中N表示凸多邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。到此我們就給出了在直角坐標(biāo)系中凸多邊形基于點(diǎn)坐標(biāo)的面積計(jì)算公式。

三、基于MATLAB仿真計(jì)算凸多邊形的面積

由于計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，而在中小學(xué)課程中很少涉及有相關(guān)的電腦軟件知識(shí)，因此我想在本文章中運(yùn)用軟件的知識(shí)來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，使學(xué)生更好地理解抽象問題，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣便使得學(xué)生從一開始就接觸這方面的知識(shí)與運(yùn)用，為以后銜接更高的教育打下一定的基礎(chǔ)。因此在這里我將運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)上述所討論的凸多邊形面積進(jìn)行定量計(jì)算。

如圖2所示，給出一個(gè)七邊形在直角坐標(biāo)系中的示意圖。

根據(jù)上圖所示，我們利用公式便可求得該七邊形面積為（這里我們采用逆時(shí)針法則，即從點(diǎn)A到點(diǎn)G）：

S凸多邊形面積=（xiyi+1-xi+1yi）+（xNy1-x1yN）

=[（1×5-7×2）+（2×4-5×4）+（4×5-7×

4）+（7×8-5×8）+（8×9-8×4）+（4×8.5-

9×2）+（2×7-8.1×1）]

=14.25

四、小結(jié)

通過上述方法和示例我們將凸多邊形面積進(jìn)行了快速計(jì)算，其中運(yùn)用了軟件MATLAB、叉乘原理、坐標(biāo)系等內(nèi)容，這些將有助于深化學(xué)習(xí)，使得學(xué)生思維開闊，對(duì)以后的知識(shí)提前學(xué)習(xí)，我想平時(shí)在教學(xué)中我們要積極把以后的知識(shí)拓展到現(xiàn)在的教學(xué)中，使得學(xué)生初步掌握一些先進(jìn)與高級(jí)的方法與理論。

參考文獻(xiàn)：

[1]何吉?dú)g.不規(guī)則幾何形狀的面積近似公式[J].測(cè)繪通報(bào)，1998，（10）：50–53.

[2]劉建玉.快速求解三角形面積最小值[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001，（3）：21-22.

作者簡(jiǎn)介：李玉梅（1968-），女，遼寧省朝陽縣人，內(nèi)蒙古興安盟扎賚特旗巴岱中心學(xué)校，高級(jí)教師。endprint

摘要：隨著數(shù)學(xué)課程廣度和維度的加深，本文就數(shù)學(xué)課本中的多邊形面積計(jì)算的方法做了一定的推廣，使得其知識(shí)和初高中進(jìn)行銜接，并基于叉乘原理以及運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)任意多凸邊形的面積進(jìn)行了仿真計(jì)算，這樣使得數(shù)學(xué)教學(xué)更形象生動(dòng)，最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及使他們能夠拓展思維，鉆研數(shù)學(xué)，熱愛數(shù)學(xué)，將數(shù)學(xué)知識(shí)更好地運(yùn)用到生活中。

關(guān)鍵詞：任意多凸邊形；面積計(jì)算；MATLAB仿真分析；叉乘原理

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2014）39-0101-02

本文就目前小學(xué)數(shù)學(xué)課本中所提及的規(guī)則多邊形面積（例如：三角形、正方形、長(zhǎng)方形等）的簡(jiǎn)單計(jì)算推廣到任意多凸多邊形面積的計(jì)算中，并結(jié)合叉乘知識(shí)給出計(jì)算公式，最后運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行仿真分析。

一、坐標(biāo)系中的任意凸多邊形

要想通過軟件對(duì)任意凸多邊形面積進(jìn)行快速求解，我們將其放入到一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系中，如圖1所示。

從圖中可見，該圖為凸七邊形，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，7）、B（2，5）、C（4，4）、D（7，5）、E（8，8）、F（4，9）、G（2，8.5）。O為坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。這樣就將一個(gè)凸七邊形置入一個(gè)坐標(biāo)系中。

二、凸多邊形面積的計(jì)算原理與算法

借助圖1中的凸七邊形進(jìn)行分析，分別將各頂點(diǎn)與原點(diǎn)進(jìn)行連接，如圖中虛線所示，這樣就得到了三角形△OAB，△OBC，△OCD（記為順時(shí)針三角形）和三角形△ODE，△OEF，△OFG，△OGA（記為逆時(shí)針三角形）。

則該七邊形的面積為：

七邊形ABCDEFG面積=|△ODE+△OEF+△OFG+△OGA|-|△OAB+△OBC+△OCD|

上式中順時(shí)三角形的面積為負(fù)，逆時(shí)三角形的面積為正值。

這樣我們就通過引入點(diǎn)原點(diǎn)O將七邊形的面積化為多個(gè)三角形面積的加減。

現(xiàn)以一個(gè)順時(shí)針三角形△OAB和一個(gè)逆時(shí)針三角形△ODE為例，運(yùn)用叉乘原理計(jì)算其面積。得兩個(gè)三角形面積為：S△OAB=

×

，S△ODE=

×

。

在上式中×為向量叉，叉乘的含義為以O(shè)A，OB為兩邊，再以右手準(zhǔn)則構(gòu)建出的向量。其大小為以O(shè)A，OB為兩邊的平行四邊形面積。

有了以上的基礎(chǔ)現(xiàn)在我們給出在坐標(biāo)系中OA與OB叉乘的公式，現(xiàn)記點(diǎn)A坐標(biāo)為A（x1，y1），點(diǎn)B坐標(biāo)為B（x2，y2）。則叉乘為：

×=

x

y

z

x

y

z=（yz-zy）+（zx-xz）+

（xy-yx）

由于A，B兩點(diǎn)在平面內(nèi)，所以上式中的z=0，z2=0。則上式化簡(jiǎn)為如下形式：×=

x

y

z

x

y

z=（xy-yx）。

因此可以得到兩向量叉乘的模的大小為：

×

=x

y

-y

x

。因此得到三角形面積為S△OAB=

×

=x

y

-y

x

。

通過以上的原理和算法介紹，我們完成了在直角坐標(biāo)系中三角形面積基于點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算公式。以此類推，可以得到凸多邊形的面積公式為：

S凸多邊形面積=（xiyi+1-xi+1yi）+（xNy1-x1yN）

上式中N表示凸多邊形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。到此我們就給出了在直角坐標(biāo)系中凸多邊形基于點(diǎn)坐標(biāo)的面積計(jì)算公式。

三、基于MATLAB仿真計(jì)算凸多邊形的面積

由于計(jì)算機(jī)的高速發(fā)展，而在中小學(xué)課程中很少涉及有相關(guān)的電腦軟件知識(shí)，因此我想在本文章中運(yùn)用軟件的知識(shí)來進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，使學(xué)生更好地理解抽象問題，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。這樣便使得學(xué)生從一開始就接觸這方面的知識(shí)與運(yùn)用，為以后銜接更高的教育打下一定的基礎(chǔ)。因此在這里我將運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)上述所討論的凸多邊形面積進(jìn)行定量計(jì)算。

如圖2所示，給出一個(gè)七邊形在直角坐標(biāo)系中的示意圖。

根據(jù)上圖所示，我們利用公式便可求得該七邊形面積為（這里我們采用逆時(shí)針法則，即從點(diǎn)A到點(diǎn)G）：

S凸多邊形面積=（xiyi+1-xi+1yi）+（xNy1-x1yN）

=[（1×5-7×2）+（2×4-5×4）+（4×5-7×

4）+（7×8-5×8）+（8×9-8×4）+（4×8.5-

9×2）+（2×7-8.1×1）]

=14.25

四、小結(jié)

通過上述方法和示例我們將凸多邊形面積進(jìn)行了快速計(jì)算，其中運(yùn)用了軟件MATLAB、叉乘原理、坐標(biāo)系等內(nèi)容，這些將有助于深化學(xué)習(xí)，使得學(xué)生思維開闊，對(duì)以后的知識(shí)提前學(xué)習(xí)，我想平時(shí)在教學(xué)中我們要積極把以后的知識(shí)拓展到現(xiàn)在的教學(xué)中，使得學(xué)生初步掌握一些先進(jìn)與高級(jí)的方法與理論。

參考文獻(xiàn)：

[1]何吉?dú)g.不規(guī)則幾何形狀的面積近似公式[J].測(cè)繪通報(bào)，1998，（10）：50–53.

[2]劉建玉.快速求解三角形面積最小值[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2001，（3）：21-22.

作者簡(jiǎn)介：李玉梅（1968-），女，遼寧省朝陽縣人，內(nèi)蒙古興安盟扎賚特旗巴岱中心學(xué)校，高級(jí)教師。endprint