論高等數(shù)學(xué)極限思想中所蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想

張敏　張道振　陳宇劍

摘要：高等數(shù)學(xué)中重要的概念均建立在極限基礎(chǔ)之上，而極限思想蘊(yùn)涵著豐富的辯證法思想，深刻領(lǐng)悟這些哲學(xué)思想對(duì)掌握高等數(shù)學(xué)有著極其重要的意義。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；極限；哲學(xué)思想

高等數(shù)學(xué)屬于自然科學(xué)，但其中蘊(yùn)涵著豐富的哲學(xué)思想。在教學(xué)中，教師如果能充分挖掘高等數(shù)學(xué)中的哲學(xué)思想，用哲學(xué)的觀點(diǎn)和思維方法來指導(dǎo)高等數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義思想，提高學(xué)生的哲學(xué)素養(yǎng)，還可以使學(xué)生從新的角度來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、感受數(shù)學(xué)。

極限是一種研究變量變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了辯證法思想。理解極限概念和其思想中所蘊(yùn)涵的哲學(xué)思想，對(duì)掌握高等數(shù)學(xué)有著極其重要的意義。

一、量變引起質(zhì)變規(guī)律極限思想體現(xiàn)了量變引起質(zhì)變的規(guī)律。量變引起質(zhì)變規(guī)律揭示了事物發(fā)展變化形式上具有的特點(diǎn)，當(dāng)量的變化達(dá)到一定程度會(huì)引起質(zhì)的變化。質(zhì)變不僅可以完成量變，而且為新的量變開辟道路。在高等數(shù)學(xué)極限概念的引入中，為求曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線的斜率，首先在曲線上另取一點(diǎn)Q，并求割線PQ的斜率；然后讓點(diǎn)Q沿曲線無限地趨近點(diǎn)P，割線的極限位置即是曲線在點(diǎn)P處的切線，而割線PQ斜率的極限就是切線的斜率。在點(diǎn)Q沿曲線無限趨近點(diǎn)P的動(dòng)態(tài)過程中，割線PQ的斜率在不斷地發(fā)生變化，越來越接近切線斜率，但這只是一個(gè)量變的過程，它表示的終究是割線的斜率，而不是切線的斜率。只有當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)極限位置即點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，割線PQ的斜率才發(fā)生質(zhì)變，成為切線的斜率，體現(xiàn)了量變引起質(zhì)變的規(guī)律。

二、對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律極限是從有限到無限的工具和橋梁，無論是概念的引入還是概念本身，都體現(xiàn)了變與不變、過程與結(jié)果、有限與無限、近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。例如，對(duì)于數(shù)列an={1/n}，其極限為0。數(shù)列中的每一項(xiàng)an的值在不斷變化，這個(gè)過程是動(dòng)態(tài)的，項(xiàng)數(shù)也是有限的，但是，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，an無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)0，這個(gè)無限運(yùn)動(dòng)變化的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，因此在極限思想中無限是有限的發(fā)展，有限是無限的結(jié)果，是對(duì)立統(tǒng)一的。再例如，剛才所說的割線斜率的極限是切線斜率，也體現(xiàn)了過程與結(jié)果、變與不變的對(duì)立統(tǒng)一。割線斜率在不斷變化，且不斷接近切線斜率，但不管多么接近于切線斜率，畢竟是近似值，而不是精確值，只有無限接近時(shí)，才轉(zhuǎn)化為精確值，這個(gè)精確值是個(gè)不變量，充分體現(xiàn)了近似與精確、變與不變的對(duì)立統(tǒng)一。

三、否定之否定規(guī)律任何事物的內(nèi)在矛盾都可以歸結(jié)為肯定和否定兩個(gè)方面，當(dāng)由肯定達(dá)到對(duì)自身的否定，并再由否定達(dá)到新的肯定，則稱之為否定之否定。高等數(shù)學(xué)的理論發(fā)展都符合否定之否定的規(guī)律。在理論形成之初，理論得到肯定，但隨著研究的深入，理論就會(huì)不完善，從而被否定，進(jìn)而被研究完善得到新的肯定。就極限概念而言，16世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦里斯最早引入變量極限的概念：“變量的極限是變量所能最大程度逼近的一個(gè)常數(shù)，使得它們的差能夠小于任何給定的量?！边@是極限概念的雛形。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西首次較完整地闡述了極限概念。他用描述性語言給出極限概念：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取得的值無限趨近一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要有多小就有多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值。特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無限地減少，使之收斂到極限0，就說這個(gè)變量為無窮小。柯西的極限概念仍然是初步的和不清楚的，沒有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度。為了排除極限概念中的直觀痕跡，18世紀(jì)維爾斯特拉斯提出了極限的精確定義，即ε-N定義，給微積分提供了嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。極限概念不斷發(fā)展完善的過程反映了哲學(xué)中否定之否定規(guī)律。否定之否定經(jīng)過一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)回到了起點(diǎn)，又高于起點(diǎn)。

數(shù)學(xué)家波爾達(dá)斯指出：“沒有哲學(xué)，難以得知數(shù)學(xué)的深度，當(dāng)然也難以得知哲學(xué)的深度，兩者相互依存。還應(yīng)特別指出，如果既沒有數(shù)學(xué)又無哲學(xué)，則不能認(rèn)識(shí)任何事物?！睌?shù)學(xué)與哲學(xué)關(guān)系緊密，因此在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，不能忽視哲學(xué)思想的滲透，這樣才能更好地發(fā)展數(shù)學(xué)，保持?jǐn)?shù)學(xué)之樹常青。當(dāng)然，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維中的哲學(xué)思想和在哲學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要方法和手段，作為教育工作者應(yīng)該重視在教學(xué)過程中滲透哲學(xué)思想。