利用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)計(jì)算第一類曲面積分的教與學(xué)

應(yīng)志領(lǐng)

摘 要 本文比較了第一類曲面積分在直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)下的計(jì)算方法，給出利用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)計(jì)算第一類曲面積分的公式，并說(shuō)明在教學(xué)過程中，如何讓學(xué)生易于理解柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)下的面積元素。

關(guān)鍵詞 第一類曲面積分 柱面坐標(biāo) 球面坐標(biāo)

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Teaching and Learning on Use of Cylindrical Coordinates or Spherical

Coordinates to Calculate First Class Surface Integral

YING Zhiling

（School of Science， Nanjing University of Posts and Telecommunications， Nanjing， Jiangsu 210023）

Abstract This paper compares the first class surface integral calculation method in cylindrical coordinates or Cartesian coordinates and spherical coordinates， given the use of cylindrical coordinates or spherical coordinates to calculate surface integral equations of the first kind， and described in the teaching process， how to make students easily understood area element cylindrical coordinates or spherical coordinates.

Key words first surface integral； cylindrical coordinates； spherical coordinates

計(jì)算第一類曲面積分（即對(duì)面積的曲面積分）的基本方法是將第一類曲面積分通過“一代，二換，三投影”化為投影區(qū)域上的二重積分來(lái)計(jì)算。例如，設(shè) （，，）是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)， ： = （，）， （，），函數(shù) = （，）在上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則

（，，） = （，，（，））·

例1 計(jì)算 =，其中是介于平面 = 0和 = 之間的圓柱面 + = 。

對(duì)例1，我們可用柱面的參數(shù)方程按上述公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算。設(shè)曲面： + = （0≤≤），其參數(shù)方程為 = ， = ， = ，其中（） = {（）∣0≤≤，0≤≤}。由公式（2）可知 = = ，所以 = = = = 。

下題是[3，P140]的例3， 那里采用的是在直接坐標(biāo)下進(jìn)行計(jì)算，我們也可以用球面的參數(shù)方程按公式（1）或（2）進(jìn)行計(jì)算。

例 2 求半徑為的均勻半球殼的質(zhì)心。

解： 設(shè)半球殼的方程為 = ， （） = {（）∣ + ≤}，其參數(shù)方程為 = ， = ， = ，其中（，） = {（，）∣0≤≤， 0≤≤}。由公式（2）可知 = = ，所以 = = = = 。利用對(duì)稱性可知質(zhì)心的坐標(biāo) = = 0，所以均勻半球殼的質(zhì)心為（0，0，）。

我們看到當(dāng)曲面為柱面，或球面的一部分時(shí)，用上述方法計(jì)算確實(shí)簡(jiǎn)便，關(guān)鍵是要得出柱面坐標(biāo)下的面積元素 = 以及球面坐標(biāo)下的面積元素 = 。但在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，受課時(shí)的限制，無(wú)法在課堂上推導(dǎo)公式。如果直接給出結(jié)論，學(xué)生又不易接受。筆者在教學(xué)時(shí)，采用推導(dǎo)出柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo)下體積元素的類似做法，起到很好的效果。

設(shè)球面的方程為 + + = 。為了把變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用二組坐標(biāo)平面 = 常數(shù)， = 常數(shù)，把曲面分成許多小閉區(qū)域?？紤]由，各取得微小增量，所成的區(qū)域。不計(jì)高階無(wú)窮小，可把這個(gè)區(qū)域看作長(zhǎng)方形。經(jīng)線方向的長(zhǎng)為， 緯線方向的寬為， 因此面積元素 = 。這里我們以球面坐標(biāo)為例，柱面坐標(biāo)下面積元素的推導(dǎo)方法是類似的。

基金項(xiàng)目：南京郵電大學(xué)教改項(xiàng)目（JG00712JX65）

參考文獻(xiàn)

[1] 陳文燈，黃先開.考研數(shù)學(xué)題型集粹與水平測(cè)試（2013理工版）[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2012.

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 趙洪牛，萬(wàn)彩云，胡國(guó)雷，王友國(guó).高等數(shù)學(xué)（下）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2001.