運用綜合法與分析法進行初中幾何證明教學(xué)

范娟

摘 要 初中幾何演繹推理對于學(xué)生思維能力的鍛煉得到我國廣大教育工作者的認可，但只有為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”，使學(xué)生掌握了正確的思維和書寫方式，理解幾何證明的邏輯規(guī)律，幾何證明的魅力才會是令人難以忘懷的，幾何證明鍛煉人的邏輯推理能力和教會人思維規(guī)則意識的教育價值才是有意義的。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明

中圖分類號：G633.63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）10-0022-02

上個世紀，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”——“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個方面引領(lǐng)世界的中國”，而偉大的科學(xué)家愛因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛因斯坦論斷”——“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時期）發(fā)現(xiàn)通過系統(tǒng)實驗可能找出因果關(guān)系。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步……”

時至今日，也許是被“愛因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國教育界對幾何演繹推理對于學(xué)生邏輯思維能力的教育價值有了深刻的認識，在歐美主要發(fā)達國家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時，我國在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重要內(nèi)容。

新課標(biāo)雖然對幾何證明的內(nèi)容進行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實并沒有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡，但證明的過程要求做到事實準(zhǔn)確、道理嚴密、證明過程完整。

幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重點和難點，其難點在于如何運用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問題、嚴密邏輯思維推理、語言組織表達等能力。而教師在平時教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書寫證明張冠李戴，欠缺嚴密邏輯推理等，更有甚者是毫無頭緒。

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過渡，而學(xué)生開始學(xué)習(xí)幾何證明，沒有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語言表達方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。

為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問題、書寫解題過程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅持在實際教學(xué)中運用，取得了良好的效果。請看示例：

例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.

分析：

OE平分∠AOB

↑

∠1=∠2

↑ ↑

△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE

↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE

CE=DE AE=BE

↑ ↑

△ACE≌△BDE

↑AC=BD，∠3=∠4，

∠A=∠B

↑

△OAD≌△△OBC

↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC

（條件具備，即得證）

該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問題中較難的一道利用全等三角形解決的問題，分析過程中的“↑”表示“要證明…，只需證明…”，“↑”符號右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過程中的“︷”表示實現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書出來的過程，不僅能顯示解題過程的來龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書寫出正確的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書寫的幾何教學(xué)原則。分析過程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD。求證：DC是⊙O的切線。

分析：

DC是⊙O的切線

↑連接OD

∠ODC=90€？

↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切線

∠ODC=∠OBC

↑

△ODC≌△OBC

↑OD=OB，OC=OC

∠COD=∠COB

↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD

∠ODA=∠OAD

↑

OD=OA（條件具備，即得證）

題中的“↑”顯示的是解題的思維主線，而“←”則是由題設(shè)能夠推出的初步結(jié)論，最后都象涓涓細流匯入到解題的主體思路中來。從此題可以看出，要準(zhǔn)確、清晰解答幾何證明問題，除了掌握良好的思維方法，基本的輔助線的掌握顯然也是必不可少的。

當(dāng)然，除了思維方法的訓(xùn)練，在幾何教與學(xué)中注重幾何語言的提煉、格式的規(guī)范、圖形的標(biāo)識、定理的積累、題型的拓展和圖形的變換等等也都是必不可少的。endprint

摘 要 初中幾何演繹推理對于學(xué)生思維能力的鍛煉得到我國廣大教育工作者的認可，但只有為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”，使學(xué)生掌握了正確的思維和書寫方式，理解幾何證明的邏輯規(guī)律，幾何證明的魅力才會是令人難以忘懷的，幾何證明鍛煉人的邏輯推理能力和教會人思維規(guī)則意識的教育價值才是有意義的。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明

中圖分類號：G633.63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）10-0022-02

上個世紀，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”——“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個方面引領(lǐng)世界的中國”，而偉大的科學(xué)家愛因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛因斯坦論斷”——“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時期）發(fā)現(xiàn)通過系統(tǒng)實驗可能找出因果關(guān)系。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步……”

時至今日，也許是被“愛因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國教育界對幾何演繹推理對于學(xué)生邏輯思維能力的教育價值有了深刻的認識，在歐美主要發(fā)達國家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時，我國在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重要內(nèi)容。

新課標(biāo)雖然對幾何證明的內(nèi)容進行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實并沒有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡，但證明的過程要求做到事實準(zhǔn)確、道理嚴密、證明過程完整。

幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重點和難點，其難點在于如何運用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問題、嚴密邏輯思維推理、語言組織表達等能力。而教師在平時教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書寫證明張冠李戴，欠缺嚴密邏輯推理等，更有甚者是毫無頭緒。

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過渡，而學(xué)生開始學(xué)習(xí)幾何證明，沒有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語言表達方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。

為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問題、書寫解題過程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅持在實際教學(xué)中運用，取得了良好的效果。請看示例：

例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.

分析：

OE平分∠AOB

↑

∠1=∠2

↑ ↑

△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE

↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE

CE=DE AE=BE

↑ ↑

△ACE≌△BDE

↑AC=BD，∠3=∠4，

∠A=∠B

↑

△OAD≌△△OBC

↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC

（條件具備，即得證）

該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問題中較難的一道利用全等三角形解決的問題，分析過程中的“↑”表示“要證明…，只需證明…”，“↑”符號右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過程中的“︷”表示實現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書出來的過程，不僅能顯示解題過程的來龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書寫出正確的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書寫的幾何教學(xué)原則。分析過程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD。求證：DC是⊙O的切線。

分析：

DC是⊙O的切線

↑連接OD

∠ODC=90€？

↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切線

∠ODC=∠OBC

↑

△ODC≌△OBC

↑OD=OB，OC=OC

∠COD=∠COB

↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD

∠ODA=∠OAD

↑

OD=OA（條件具備，即得證）

題中的“↑”顯示的是解題的思維主線，而“←”則是由題設(shè)能夠推出的初步結(jié)論，最后都象涓涓細流匯入到解題的主體思路中來。從此題可以看出，要準(zhǔn)確、清晰解答幾何證明問題，除了掌握良好的思維方法，基本的輔助線的掌握顯然也是必不可少的。

當(dāng)然，除了思維方法的訓(xùn)練，在幾何教與學(xué)中注重幾何語言的提煉、格式的規(guī)范、圖形的標(biāo)識、定理的積累、題型的拓展和圖形的變換等等也都是必不可少的。endprint

摘 要 初中幾何演繹推理對于學(xué)生思維能力的鍛煉得到我國廣大教育工作者的認可，但只有為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”，使學(xué)生掌握了正確的思維和書寫方式，理解幾何證明的邏輯規(guī)律，幾何證明的魅力才會是令人難以忘懷的，幾何證明鍛煉人的邏輯推理能力和教會人思維規(guī)則意識的教育價值才是有意義的。

關(guān)鍵詞 初中數(shù)學(xué) 綜合法與分析法 幾何證明

中圖分類號：G633.63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）10-0022-02

上個世紀，西方著名科技史家李約瑟提出了的著名“李約瑟難題”——“為什么現(xiàn)代科技不是誕生在曾經(jīng)在各個方面引領(lǐng)世界的中國”，而偉大的科學(xué)家愛因斯坦仿佛是為了回答這一著名“難題”而提出“愛因斯坦論斷”——“希臘哲學(xué)家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學(xué)中），以及（在文藝復(fù)興時期）發(fā)現(xiàn)通過系統(tǒng)實驗可能找出因果關(guān)系。在我看來，中國的賢哲沒有走上這兩步……”

時至今日，也許是被“愛因斯坦論斷”所深深地刺痛，也許是中國教育界對幾何演繹推理對于學(xué)生邏輯思維能力的教育價值有了深刻的認識，在歐美主要發(fā)達國家已經(jīng)放棄初中幾何演繹推理教學(xué)，而只需要學(xué)生能用矢量法解決一些基本的幾何論證時，我國在新課標(biāo)中依然將幾何推理證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重要內(nèi)容。

新課標(biāo)雖然對幾何證明的內(nèi)容進行了調(diào)整、難度要求降低、證明技巧淡化，但對幾何證明教學(xué)的最基本能力要求其實并沒有降低，課標(biāo)中已明確指出：在“圖形與幾何”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。雖然新的課程理念要求，推理過程不能過繁，一切從簡，但證明的過程要求做到事實準(zhǔn)確、道理嚴密、證明過程完整。

幾何證明作為初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個重點和難點，其難點在于如何運用眾多的定義、定理等尋找證明思路，從而提高學(xué)生分析問題、嚴密邏輯思維推理、語言組織表達等能力。而教師在平時教學(xué)中常常遇到學(xué)生不知從何下手，分析思維模糊不清，書寫證明張冠李戴，欠缺嚴密邏輯推理等，更有甚者是毫無頭緒。

初中學(xué)生的幾何證明學(xué)習(xí)在內(nèi)容上要經(jīng)歷從“直觀”到“論證”的轉(zhuǎn)軌。在思維方式上需要解決從“形象思維”到“邏輯思維”的過渡，而學(xué)生開始學(xué)習(xí)幾何證明，沒有適應(yīng)論證數(shù)理的答題模式、語言表達方面的特別要求，從而難以適應(yīng)從直觀到論證之間思維要求上的跳躍。因此，為學(xué)生構(gòu)建從內(nèi)容到形式，從題設(shè)到結(jié)論的“橋梁”就顯得非常必要了。

為此，我構(gòu)建了一種統(tǒng)一綜合法與分析法，讓學(xué)生易于溝通題設(shè)和結(jié)論，便于分析問題、書寫解題過程、拓展解題思路又易于被學(xué)生接受和掌握的教學(xué)方法，并堅持在實際教學(xué)中運用，取得了良好的效果。請看示例：

例1 如圖，OA=OB，C、D分別是OA，OB上的兩點，且OC=OD，連結(jié)AD、BC交于E，求證：OE平分∠AOB.

分析：

OE平分∠AOB

↑

∠1=∠2

↑ ↑

△OCE≌△ODE △OAE≌△OBE

↑OC=OD，OE=OE ↑OA=OB，OE=OE

CE=DE AE=BE

↑ ↑

△ACE≌△BDE

↑AC=BD，∠3=∠4，

∠A=∠B

↑

△OAD≌△△OBC

↑OA=OB，∠AOB=∠BOA，OD=OC

（條件具備，即得證）

該題是學(xué)生初學(xué)幾何證明問題中較難的一道利用全等三角形解決的問題，分析過程中的“↑”表示“要證明…，只需證明…”，“↑”符號右側(cè)的文字表示已經(jīng)具備的條件，而分析過程中的“︷”表示實現(xiàn)該目標(biāo)有多條路徑可以實現(xiàn)。顯然，這種利用圖示在黑板上板書出來的過程，不僅能顯示解題過程的來龍去脈，鍛煉了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，還能讓學(xué)生順著箭頭的方向，準(zhǔn)確地書寫出正確的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，且較好地契合了用分析法思考、用綜合法書寫的幾何教學(xué)原則。分析過程中顯示出的一題多解更是培養(yǎng)學(xué)生思維多樣性的利器。

例2 如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD。求證：DC是⊙O的切線。

分析：

DC是⊙O的切線

↑連接OD

∠ODC=90€？

↑∠OBC=90€？←BC是⊙O的切線

∠ODC=∠OBC

↑

△ODC≌△OBC

↑OD=OB，OC=OC

∠COD=∠COB

↑∠COD=∠ODA，∠COB=∠OAD←OC∥AD

∠ODA=∠OAD

↑

OD=OA（條件具備，即得證）

題中的“↑”顯示的是解題的思維主線，而“←”則是由題設(shè)能夠推出的初步結(jié)論，最后都象涓涓細流匯入到解題的主體思路中來。從此題可以看出，要準(zhǔn)確、清晰解答幾何證明問題，除了掌握良好的思維方法，基本的輔助線的掌握顯然也是必不可少的。

當(dāng)然，除了思維方法的訓(xùn)練，在幾何教與學(xué)中注重幾何語言的提煉、格式的規(guī)范、圖形的標(biāo)識、定理的積累、題型的拓展和圖形的變換等等也都是必不可少的。endprint