混合系數(shù)線性模型的一類有偏估計(jì)

蔡擇林

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

混合系數(shù)線性模型的一類有偏估計(jì)

蔡擇林

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

研究了連續(xù)測量數(shù)據(jù)情況下的混合系數(shù)線性模型的參數(shù)估計(jì)問題. 利用壓縮估計(jì)方法給出了該模型的一類有偏估計(jì)，并討論了該估計(jì)的一些優(yōu)良性質(zhì)和壓縮系數(shù)的選取問題.

混合系數(shù)線性模型;stein估計(jì);嶺估計(jì);均方誤差 .

0 引言

考慮如下混合系數(shù)線性模型

z(t)=[x(t)]′a+[y(t)]′β

(1)

式中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xp(t))′,y(t)=(y1(t),y2(t),…,yq(t))′,x1(t),x2(t),…,xp(t) 及y1(t),y2(t),…,yq(t)都是t的已知函數(shù)，a是p×1的固定系數(shù)向量，β是q×1的隨機(jī)系數(shù)向量，且β～(b,∑).

現(xiàn)對m個樣品，分別在tij(ti1p+q) 時測得以下數(shù)據(jù)：

(2)

這里的βi和εij分別是每個樣品的隨機(jī)系數(shù)和每次測量的誤差，βi與εij獨(dú)立，且

若記zi=(zi1,zi2,…,zini)′,εi=(εi1,εi2,…,εini)′

則可得

zi=Xia+Yiβi+εi

(3)

式中

設(shè)Ci=(Xi,Yi),d=(a′,b′)′,ei=Yi(βi-b)+εi, 則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

進(jìn)一步，記

D=diag(D1,D2,…,Dm)

z=Cd+e,e～(0,D)

(5)

這里p≥0,q≥0. 顯然，當(dāng)p=0時模型化為完全隨機(jī)系數(shù)形式，當(dāng)q=0時模型化為一般的線性模型.這里還要求 rank(Xi)=p,rank(Yi)=q,rank(Xi,Yi)=p+qg.混合系數(shù)線性模型的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)與一般的線性模型及完全隨機(jī)系數(shù)的線性模型有很大的差異，而在實(shí)際問題中又有著廣泛的應(yīng)用背景，如經(jīng)濟(jì)分析、可靠性退化分析以及生物學(xué)等領(lǐng)域，因此，對該模型的研究無論是從理論上還是從應(yīng)用角度都是十分重要和必要的.自莊東辰、茆詩松(文獻(xiàn)[4])提出了混合系數(shù)線性模型以后，許多學(xué)者研究了這種模型的參數(shù)估計(jì)(見文獻(xiàn)[5]-[18])，基于(5)，文獻(xiàn)[4]給出了d的LS 估計(jì), LS估計(jì)雖然無偏，但當(dāng)系數(shù)陣接近病態(tài)時， LS估計(jì)的均方誤差過大，穩(wěn)定性不好，針對此情況，文獻(xiàn)[7]提出了一種有偏估計(jì)——Stein估計(jì).本文亦利用壓縮估計(jì)方法給出了該模型的一類有偏估計(jì)，并討論了該估計(jì)的一些優(yōu)良性質(zhì)和壓縮系數(shù)的選取問題.

1 新估計(jì)的提出

其中L=CQ,r=Q′d,Q′C′CQ=Λ=diag(λ1,λ2,…,λg)

文獻(xiàn)[7]給出了d的如下Stein 估計(jì)

(6)

其典則形式為

其中0≤k≤ 1 稱為壓縮系數(shù)

本文給出d的如下估計(jì)

(7)

其典則形式為

其中0≤K=diag(k1,k2,…,kg)≤I稱為壓縮系數(shù)。

顯然，當(dāng)K=kI,0≤k≤1 時即為普通stein估計(jì)(6),當(dāng)K=(Λ+S)-1Λ,S=diag(s1,s2,…,sg)≥0 時即為嶺估計(jì)。

2 新估計(jì)的一些性質(zhì)

證明 顯然

其中

lj=(L′ML)jj≥0

引理1 對于模型y=Xβ+e,e～(0,V),

假定X=I,則Ay～β的充要條件為1)AV對稱,2)A的所有特征根在[0,1]內(nèi).

KL′ML=L′MLK

證明 將模型(5)變?yōu)?/p>

(C′C)-1C′Z=d+(C′C)-1C′e,(C′C)-1C′e～(0,(C′C)-1C′DC(C′C)-1)

其中A=QKQ′,y=(C′C)-1C′Z,V=(C′C)-1C′DC(C′C)-1

故AV=(AV)′?QKQ′(C′C)-1C′DC(C′C)-1=(C′C)-1C′DC(C′C)-1QKQ′ ?KΛ-1L′DLΛ-1=Λ-1L′DLΛ-1K?KΛ-1L′MLΛ-1+σ2KΛ-1=Λ-1L′MLΛ-1K+σ2Λ-1K?KL′ML=L′MLK

A=QKQ′的特征根顯然均在[0,1]內(nèi)，由引理1知，定理得證。

3 壓縮系數(shù) K的選取

1)極小化均方誤差法

2)極小化均方誤差的無偏估計(jì)法

[1]Rao C R.The theory of least squares when the parameters are stochastic and its application to the analysis of Growth curves[J]. Biomitrika, 1965,52: 447～458.

[2]Swamy P A V B.Statistical inference in random coefficient regression model[J]. New York:Springer-Verlage, 1971.

[3]Johanson S.Asumptotic inference on random coefficient regression models[J]. Scand J Statist, 1982,9:201～207.

[4]Zhuang dongchen, Mao shisong. Estimation of parameters for mixed-effect coefficient liear model [J]. Journal of Applied Probability and Statistics, 1996, 12(1): 81～87.

[5]Chen jing. Ridge estimator for mixed-effect coefficient linear model[J]. Journal of Qingdao Univ, 2007，20(2)：37～41.

[6]Liu xiaomao, Zhang jun. The root squaring estimation of parameters in a linear model with mixed coefficients[J]. J Huazhong Univ of Sci &Tech, 1997，25(3)：111～112.

[7]Liu xiaomao, Mao shisong. Stein shrunken estimates of parameters for mixed-effect coefficient linear model[J]. Acta Mathematica Scientia, 2001，21A(4)：453～457.

[8]Liu xiaomao, Zhang jun. The estimation of parameters and distributions of estimates for a linear model with mixed coefficients[J]. J Huazhong Univ of Sci &Tech,1997，25(6)：103～105.

[9]Li hui, Liu jianzhou. Some results on parameter estimation in a linear model with mixed coefficents[J]. Journal of Jishou Univ, 2004，25(1)：16～21.

[10]Pan jinxiao, Xue yakui. A new estimate of parameters in the linear model of mixed coefficient[J]. Journal of North China Institute of Technology, 1998，19(4)：283～285.

[11]Liu weiqi, Wang feng. An estimate of parameters in the linear model mixed coefficient with constraint[J]. Journal of Engineering Mathematics, 2000，17(4)：103～106.

[12]Li na. An estimate of parameters in the linear model of mixed coefficient[J]. Advanced Mathematics Bulletin, 2005，54(3)：64～66.

[13]Li na. Local stein shrunken estimates of parameters for mixed-effect coefficient linear model[J]. Journal of Yangtze Univ, 2008，5(3)：124～126.

[14]Li na, Wang lei. An admissible estimate of parameter in the linear model of mixed coefficient[J].Guangxi Sciences, 2009，16(4)：403～405.

[15]Li na. Comparison between a new estimation and least square estimation of parameter in a linear model with mixed coefficients[J].Journal of China Three Gorges Univ, 2009，31(1): 110～112.

[16]Liu hongling. The improvement of estimation of parameters for mixed-effect coefficient linear model[J].Journal of Mathematics, 2006，26(5)：513～518.

[17]Chen jing. Local root square estimation of parameters in a linear model with mixed coefficients[J].Journal of Qingdao Univ, 2005，18(1)：7～11.

[18]Cai zelin. Almost unbiased ridge estimator for mixed-effect coefficient linear model [J].Journal of Mathematics, 2013，26(5)：513～518.

Keywords:mixed-effect coefficient linear model;stein estimator;ridge estimator;mean square error

Anewbiasedestimatorforamixed-effectcoefficientlinearmodel

CAI Ze-lin

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002, China)

In the paper, we consider a mixed-effect coefficient linear model with the repeatedly measured data. Using the shrunken method, a new biased estimator of the model are given and its optimal property is shown. And the optimal value for the shrunken coefficient is established.

2013—09—15

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究資助項(xiàng)目(Q20122203)

蔡擇林(1963— )，男，湖北浠水人，教授，主要研究方向?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì).

O212

A

1009-2714(2014)01- 0005- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.002