德薩格定理與點(diǎn)共線及線共點(diǎn)問(wèn)題

黃振華

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

德薩格定理與點(diǎn)共線及線共點(diǎn)問(wèn)題

黃振華

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

德薩格定理及其逆定理是證明“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”問(wèn)題實(shí)用性很強(qiáng)的理論工具，討論了在“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”問(wèn)題中應(yīng)用德薩格定理及其逆定理的基本方法與思想。

德薩格定理;點(diǎn)共線;線共點(diǎn);無(wú)窮遠(yuǎn)元素

高等幾何是高等師范類院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，對(duì)初等幾何的教學(xué)與研究能居高臨下地具有高觀點(diǎn)的指導(dǎo)作用和意義。德薩格(Desargues)定理是高等幾何課程中的一個(gè)重要的定理，德薩格定理的內(nèi)容從完整的角度講，包括德薩格定理及其逆定理；是證明“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”問(wèn)題的理論工具。然而，實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，許多同學(xué)在學(xué)習(xí)德薩格定理時(shí)，應(yīng)用起來(lái)常常遇到這樣或那樣的困難，針對(duì)這一問(wèn)題，將對(duì)如何正確靈活地應(yīng)用德薩格定理及其逆定理作幾點(diǎn)探討。

1 德薩格定理及應(yīng)用的基本思想

1.1德薩格定理

德薩格定理[1]如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上。

德薩格定理的逆定理[1]如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。

1.2德薩格定理應(yīng)用的基本思想

對(duì)于解決“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”問(wèn)題的有力工具德薩格定理和它的逆定理，在應(yīng)用上，具有同樣重要的地位和作用。定理本身的條件和結(jié)論都十分簡(jiǎn)明，但在應(yīng)用中的靈活性很大。有些同學(xué)在遇到有關(guān)問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手，主要是兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的選取上存在一定的難度。正確地確定滿足定理?xiàng)l件且符合所證命題結(jié)論的兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。由于使用定理的角度和出發(fā)點(diǎn)不同，從而導(dǎo)致選取對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的不同，具體思路可有以下兩種情形。

1)對(duì)于三點(diǎn)共線問(wèn)題，可選用兩個(gè)解決方式，一是把三點(diǎn)看成兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)；二是把三點(diǎn)中的兩點(diǎn)看成是兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(可作為一條連線看待)，剩余的一點(diǎn)看成是另外兩對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的交點(diǎn)。顯然，前者用德薩格定理，后者用德薩格定理的逆定理。

2)對(duì)于三線共點(diǎn)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題可把三線看成三條線段，也有可選用的二個(gè)方式，一是把三條線段分別看成兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線，而對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)就是每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)；二是把其中的兩條線段看成是兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的兩條對(duì)應(yīng)邊(它們的交點(diǎn)應(yīng)在第三條線上)，剩余一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別看成是兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的另外兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)。顯然，前者用德薩格定理的逆定理，后者用德薩格定理。

2 應(yīng)用德薩格定理的基本方法

在應(yīng)用德薩格定理時(shí)，正確地選用適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形是解決問(wèn)題之前提，這適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形往往需要通過(guò)分析并調(diào)整對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)而得出。

例1 過(guò)三角形 的三個(gè)頂點(diǎn)任作共點(diǎn)的三條直線AE、BF、CG，分別與對(duì)邊交于E、F、G，若BC×FG=X，CA×GE=Y，AB×EF=Z，則X、Y、Z三點(diǎn)共線。

分析 如圖1：設(shè)AE、BF、CG共點(diǎn)O，要證X、Y、Z三點(diǎn)共線，就需將此三點(diǎn)看成兩個(gè)三點(diǎn)形之對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)，且這兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線須共點(diǎn)。按已知件BC×FG=X，CA×GE=Y，AB×EF=Z，且AE、BF、CG共點(diǎn)O，所以尋找的兩個(gè)三點(diǎn)形構(gòu)想應(yīng)是如圖2：

圖1 例1示意圖

圖2 例1示意圖

證明 對(duì)于△ABC和△EFG:

∵ 它們?nèi)龑?duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AE、BF、CG共點(diǎn)O;

∴ 由德薩格定理，其三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)X、Y、Z三點(diǎn)共線。

應(yīng)用德薩格定理時(shí)，關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找到兩個(gè)對(duì)應(yīng)的三點(diǎn)形，而且要調(diào)整好兩個(gè)三點(diǎn)形之六點(diǎn)的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)順序，以便達(dá)到證明的目的。

例2 設(shè)XYZ是完全四點(diǎn)形ABCD的對(duì)邊三點(diǎn)形，XZ分別交AC、BD于L、M，求證YZ、BL、CM共點(diǎn)。

分析 如圖3：要證明YZ、BL、CM共點(diǎn)，就需要把每條直線看成兩個(gè)點(diǎn)的連線，此六個(gè)點(diǎn)分成每三點(diǎn)一組構(gòu)成兩個(gè)三點(diǎn)形，且這兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)須共線。為此，通過(guò)調(diào)整對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)，所以尋找的兩個(gè)三點(diǎn)形思路應(yīng)是如圖4。

圖3 例2示意圖

圖4 例2示意圖

證明 對(duì)于△BCZ和△LMY:

∵ 三對(duì)對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)BC×LM=X,CZ×MY=D,ZB×YL=A， 共完全四點(diǎn)形的AD邊;

∴由德薩格定理的逆定理，其三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線YZ、BL、CM共點(diǎn)。

3 應(yīng)用德薩格定理的靈活性

在應(yīng)用德薩格定理解決問(wèn)題時(shí)，兩個(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形的選擇不一定是唯一的。靈活地正確選用適當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)對(duì)應(yīng)三點(diǎn)形顯得尤其重要。

例3 設(shè)ABCD是一個(gè)四面體，點(diǎn)X在BC上，一直線過(guò)X分別交AB，AC于P，Q，另一直線過(guò)X，分別交DB，DC于R，S求證：PR與QS的交點(diǎn)E在AD上。

分析1 如圖5：要證明PR與QS的交點(diǎn)E在AD上，即要證明PR、QS、AD共點(diǎn)E。

證法1 在△PQA和△RSD中，對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)PQ×RS=X，QA×SD=C，AP×DR=B，

∵X、B、C共線，

∴由德薩格定理的逆定理得PR、QS、AD三直線共點(diǎn)E，所以，PR與QS的交點(diǎn)E在AD上。

分析2 如圖5：要證明PR與QS的交點(diǎn)E在AD上，即要證明A、D、E三點(diǎn)共線，

太谷縣沒(méi)有出臺(tái)飲用水水源地保護(hù)的相關(guān)辦法，僅由水庫(kù)編制了《龐莊水庫(kù)水源地保護(hù)管理辦法》報(bào)水務(wù)局，沒(méi)有形成正式條文。水源地保護(hù)未明確相關(guān)責(zé)任部門及責(zé)任人。水庫(kù)權(quán)限有限，對(duì)污染水源、破壞防護(hù)設(shè)施行為只能采取教育、勸戒手段，不能采取有效制裁措施，起不到威懾作用。未建立水源地安全保障部門聯(lián)動(dòng)機(jī)制，不能實(shí)現(xiàn)信息互享，不能保障應(yīng)急突發(fā)事件的及時(shí)處置和安全解決。

證法2 對(duì)于△BPR與△CQS，由于三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線BC，PQ，RS共點(diǎn)X，由德薩格定理可知，其對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)BP×CQ=A，BR×CS=D,PR×QS=E共線，所以，PR與QS的交點(diǎn)E在AD上。

分析3 如圖5：要證明PR與QS的交點(diǎn)E在AD上，只需證明AE通過(guò)D即可。

證法3 對(duì)于△ABC與△ERS，對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)AB×ER=P,BC×RS=X,AC×ES=Q，

∵X、P、Q共線，

∴ 由德薩格定理的逆定理得BR、CS、AE三直線共點(diǎn)，又BR、CS交于D，所以，AE通過(guò)D，即E在AD上。

例4 設(shè)OX,OY,OZ為三條定直線，A,B為兩定點(diǎn)，R為OZ上的動(dòng)點(diǎn)，直線RA,RB分別與OX,OY交于P,Q，求證PQ經(jīng)過(guò)AB上的一個(gè)定點(diǎn)。

分析 因?yàn)镽是動(dòng)點(diǎn)，作R的另一個(gè)位置R′，相應(yīng)地得到P′,Q′，設(shè)P′Q′,PQ交于點(diǎn)C，只要證明A、B、C三點(diǎn)共線，本題得證；由OX,OY,OZ共點(diǎn)于O，只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三點(diǎn)形，其三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別在OX,OY,OZ上且三對(duì)對(duì)應(yīng)邊交點(diǎn)恰為A、B、C三點(diǎn)即可。

4 應(yīng)用推廣

定理1 如果兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都平行，則對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上。

證明 ∵ 兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都平行，即這三連線共一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

∴由德薩格定理得兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一直線上。

定理2 如果兩個(gè)三點(diǎn)形三對(duì)對(duì)應(yīng)邊分別平行，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。

證明 ∵ 兩個(gè)三點(diǎn)形對(duì)應(yīng)邊分別平行，即兩個(gè)三點(diǎn)形每一對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)都是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

∴共無(wú)窮遠(yuǎn)直線，

∴由德薩格定理的逆定理得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。

例5 求證:△ABC的外心O、垂心E、重心D三點(diǎn)共線。

證明 如圖7:設(shè)F、G分別為BC、CA邊上的中點(diǎn)，連結(jié)OF、FG、GO、AE、EB， 在兩個(gè)三點(diǎn)形ABE與FGO中，三對(duì)對(duì)應(yīng)邊

AE∥OF(平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行)

BE∥OG(平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行)

AB∥FG(三角形的中位線平行于第三邊)

∴由定理2知:兩個(gè)三點(diǎn)形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線AF、BG、EO共點(diǎn)。

∴D=AF×BG與E、O三點(diǎn)共線。

總之，應(yīng)用德薩格(Desargues)定理或逆定理去解決一些“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”問(wèn)題時(shí)，不單需要綜合分析已知條件和所證結(jié)論等因素，還需要熟練地掌握選擇兩個(gè)恰當(dāng)?shù)娜c(diǎn)形這一關(guān)鍵的基本方法和思想，這樣，問(wèn)題解決起來(lái)就非常簡(jiǎn)捷、方便、靈活。在應(yīng)用方面，德薩格定理的逆定理與德薩格定理具同樣的應(yīng)用方法和價(jià)值。德薩格定理蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)具體問(wèn)題的處理方法具有獨(dú)特性，是證明“點(diǎn)共線”和“線共點(diǎn)”問(wèn)題實(shí)用性很強(qiáng)的理論工具。

圖5 例3示意圖

圖6 例4示意圖

圖7 例5示意圖

[1]梅向明，劉增賢.高等幾何[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]梅向明，劉增賢.高等幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題選解[M].北京:高等教育出版社，2003.

[3]趙臨龍，郭玲玲.Desargues三角形定理及其逆定理的關(guān)系與應(yīng)用[J]. 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，(2)：6～7.

Desarguestheoremandthecollinearpointsandlinesoftheconcurrentproblem

HUANG Zheng-hua

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

Desargues theorem and its converse therom are practical theoretical tools to prove the collinear points and concurrent lines.this paper discuss the application of Desargues theorem and its converse therom in proving collinear points and concurrent lines problems.

desargues theorem；collinear points；concurrent lines；infinite element

2013—09—19

黃振華(1960— )，男，黃石人，副教授，從事幾何教學(xué)與研究.

O185.1

A

1009-2714(2014)01- 0111- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.024