三類(lèi)方程在微積分中若干典型應(yīng)用

嚴(yán) 慧，徐立峰

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

三類(lèi)方程在微積分中若干典型應(yīng)用

嚴(yán) 慧，徐立峰

(湖北師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 黃石 435002)

討論以代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方法、差分方程為工具，解決微積分中的各類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題的典型方法，內(nèi)容包括極限、定積分、重積分、變限積分、級(jí)數(shù)的展開(kāi)與求和，輔助函數(shù)的構(gòu)造等各方面的常見(jiàn)題型。在[1]中我們討論了代數(shù)方程，微分方程的應(yīng)用，在此我們將著重討論函數(shù)方程，差分方程及微分方程在更廣泛的問(wèn)題中的典型應(yīng)用.

微積分；微分方程；差分方程；函數(shù)方程

方程是我們解決各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題最重要的工具．在中國(guó)古代，即已出現(xiàn)用不定方程求解“雞兔同籠”等問(wèn)題，15世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家以求解高次方程相互挑戰(zhàn)而風(fēng)靡一時(shí)．在現(xiàn)代，隨機(jī)微分方程、偏微分方程、抽象空間中的微分方程等仍是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最具挑戰(zhàn)性的領(lǐng)域．因而在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，從最基礎(chǔ)的教學(xué)開(kāi)始，就注意訓(xùn)練學(xué)生逐步掌握好這一工具是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)有意義的課題．方程體系龐大，理論深邃，但本文的目的是訓(xùn)練學(xué)生有效地掌握這一工具，并不涉及方程的理論，因而我們把所用到的知識(shí)限制在經(jīng)濟(jì)類(lèi)高等數(shù)學(xué)知識(shí)范疇(即所謂數(shù)學(xué)三)，例如高教版中國(guó)人民大學(xué)朱來(lái)義主編的《微積分》．

本文的寫(xiě)法：用各類(lèi)實(shí)例介紹用建立方程的技巧解決微積分中的各類(lèi)問(wèn)題，如極限、定積分、二重積分、變限積分、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)、中值問(wèn)題中輔助函數(shù)的構(gòu)造等．以使學(xué)生在盡可能廣泛的知識(shí)領(lǐng)域中受到訓(xùn)練，使學(xué)生在各種形式不同的問(wèn)題中，有意識(shí)地自覺(jué)運(yùn)用各類(lèi)方程這一數(shù)學(xué)工具．為說(shuō)明方法的代表性，我們大部分例子選自碩士研究生入學(xué)考試試題，我們將予以標(biāo)注，例如“99年數(shù)學(xué)三”，即指1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題．

由于本文的目的在于增強(qiáng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，因此我們重在對(duì)解題思路的分析，而略去了解題的過(guò)程．

1 實(shí)例與分析

在文[1]中我們討論了代數(shù)方程、微分方程的應(yīng)用．本文是[1]的繼續(xù)，將討論函數(shù)方程、差分方程的應(yīng)用，然后討論微分方程在中值問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)唯一性問(wèn)題、某些極限問(wèn)題中構(gòu)造輔助函數(shù)方面的應(yīng)用．

首先我們討論冪級(jí)數(shù)中方程方法的應(yīng)用，實(shí)際上在高中數(shù)學(xué)中已有這樣的技巧，但那是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，而在[1]中我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)微分方程，而在有些場(chǎng)合我們則需要構(gòu)建函數(shù)方程或差分方程．

f(x)=(1+qx)(1+q2x)……(1+qnx)…

(1)

(2)

a0+(a1q+a0q)x+(a2q2+a1q2)x2+…+(anqn+an-1qn)xn+…

(3)

對(duì)比系數(shù)得anqn+an-1qn=an，于是得到遞推式

(4)

微分方程的離散化即成為差分方程，如果說(shuō)積分和函數(shù)的極限問(wèn)題常將微分方程作為工具的話，那么作為類(lèi)比級(jí)數(shù)，數(shù)列的許多問(wèn)題常以差分方程作為工具．但遺憾的是盡管差分方程已納入教學(xué)內(nèi)容，但這方面不僅是學(xué)生的短板，在我們的教學(xué)與參考書(shū)籍中這方面的論述也很少．

分析 這是課本[1]中原題，課本有如下提示：

這種方法需較高的技巧。如將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)差分方程的問(wèn)題，則從思想方法上看，會(huì)簡(jiǎn)單許多。借助裂項(xiàng)法的思路構(gòu)造差分方程：

(5)

遞推數(shù)列極限的證明與計(jì)算是微積分中的一類(lèi)典型問(wèn)題，而遞推數(shù)列本身就是一類(lèi)差分方程，差分方程的求解方法自然也就成為解決這類(lèi)問(wèn)題的工具．

微分中值定理被稱(chēng)為微分學(xué)基本定理，微分學(xué)大部分應(yīng)用直接或間接地依賴(lài)于中值定理，因此中值定理的應(yīng)用技巧被視為微積分教學(xué)與各類(lèi)考試的重點(diǎn)也就是理所應(yīng)當(dāng)?shù)牧耍兄刀ɡ響?yīng)用中的主要技巧就是輔助函數(shù)的構(gòu)造.微分方程則是構(gòu)造輔助基本的工具．

問(wèn)題(2)的關(guān)鍵在于構(gòu)造輔助函數(shù)，使f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1 的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)函數(shù)F(x) 的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．由結(jié)論f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]-1 =0 ，可構(gòu)造微分方程f′(x)-λf(x)=1-λx，由求解公式得f(x)=eλx(xe-λx+c)(c為任意常數(shù))分離常數(shù)c=[f(x)-x]e-λx，故構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=e-λx[f(x)-x]，由于F(0)=0,F(η)=0 在[0,η] 上使用羅爾定理，存在ξ∈(0,η) 使F′(ξ)=0，即e-λξ[f′(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)-1]=0，但e-λξ≠0，故f′(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1 ．

輔助函數(shù)常常能使條件或結(jié)論更為集中，因此例5中構(gòu)造輔助函數(shù)的方法不僅適用于中值問(wèn)題，也適合于微積分中的其它各類(lèi)問(wèn)題．

例6 設(shè)f(x) 在R上可導(dǎo)，且f(x)+f′(x)>0 .試證：f(x)使至多只有一個(gè)零點(diǎn)．

分析 通常的思路是希望證得f′(x)>0 ，但這并不容易從條件中獲得，考慮構(gòu)造輔助函數(shù)使條件更為集中．

先構(gòu)造微分方程f(x)+f′(x)=0 ，解得f(x)=ce-x分離常量，c=exf(x)

故構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=exf(x) ，由條件F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]>0，故F(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，F(xiàn)(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，但ex無(wú)零點(diǎn)，于是f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)．

2 結(jié)束語(yǔ)

由于篇幅所限，微積分又涉及如此龐大的體系，本文中的內(nèi)容僅是九牛一毛而已，我們做這一專(zhuān)題討論是希望更進(jìn)一步豐富課堂教學(xué)的內(nèi)容，使學(xué)生能主動(dòng)自覺(jué)地運(yùn)用方程這一工具解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們相信經(jīng)過(guò)不斷地研究、總結(jié)必能大大提高學(xué)生解題能力．并為今后運(yùn)用它解決現(xiàn)實(shí)世界中各種實(shí)際問(wèn)題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而這也正是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所在．

在第1部分中，我們使用了代數(shù)方程、微積分方程、函數(shù)方程、差分方程作為我們的解題工具，在應(yīng)用中應(yīng)仔細(xì)研究，捉摸各種應(yīng)用場(chǎng)合的特點(diǎn)，作為本文的結(jié)束，我們?cè)俳o出一個(gè)反例，其錯(cuò)誤原因就在于混淆了不同類(lèi)的方程，這也是初學(xué)者易犯的一個(gè)典型錯(cuò)誤．

(6)

方程(6)兩端對(duì)c求導(dǎo)得2e2c=ce2c，故c=2 ．

上述解法的錯(cuò)誤就在于把(6)當(dāng)作微分方程(積分方程)而(6)實(shí)際上是一個(gè)代數(shù)方程，其中c并不是自變量，而是一個(gè)特定的數(shù)值，不能兩端求導(dǎo)，否則就如x=1 兩端求導(dǎo)而得到 1=0這樣荒謬的結(jié)果了．

[1]嚴(yán)慧.方程在微積分中的應(yīng)用[J]．湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011，31(3):115～118.

[2]朱來(lái)義.微積分(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2009.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第五版)[M]．北京：高等教育出版社，2002.

[4]胡適耕，姚云飛.數(shù)學(xué)分析——定理·問(wèn)題·方法[M]．北京：科學(xué)出版社，2007.

[5]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè))[M]．北京：高等教育出版社，2001.

[6]李永樂(lè)，劉西垣，袁蔭棠.數(shù)學(xué)(三)歷年試題解析[M]．北京：國(guó)家行政學(xué)院出版社，2009.

Ontheapplicationoffunctionequations,differenceequationsanddifferentialequationsindifferential-integralcalculus

YAN Hui, XU Li-feng

(Collage of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University,Huangshi 435002,China)

In this paper, we discuss the methods to solve the problems in differential-integral calculus by the using of algebraic equations. The content include the limit, definite integral, multiple integral, variable limit of integral, series and the construction of auxiliary function.

differential-integral calculus; differential equation; difference equation; function equation

2014—04—03

湖北省教育廳資助項(xiàng)目(Q20122202)

嚴(yán)慧，女，湖北黃梅人，講師，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

O172.2

A

1009-2714(2014)03- 0100- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.023