一類非恰當(dāng)微分方程的解法

蔡 鋼,羅 萍

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

一類非恰當(dāng)微分方程的解法

蔡 鋼,羅 萍

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 重慶 401331)

討論一類非恰當(dāng)微分方程的具體解法, 給出了具體的例子, 完善了一階微分方程的解法.

微分方程;積分因子;解法

恰當(dāng)微分方程是微分方程的一個(gè)重要部分, 但是很多微分方程都不是恰當(dāng)微分方程, 因此怎樣才能將非恰當(dāng)微分方法轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程顯得尤為重要. 積分因子的出現(xiàn), 給我們提供了一種將非恰當(dāng)微分方法轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程的途徑, 然而要求出一個(gè)微分方程的積分因子卻不是一件容易的事, 當(dāng)積分因子為只含x或者y的函數(shù)時(shí), 我們可以運(yùn)用公式很快求出積分因子. 若一個(gè)方程含有的積分因子是關(guān)于x和y二元函數(shù)時(shí), 則要求出積分因子卻是一件困難的事. 本文討論了一類非恰當(dāng)微分方程, 將它適當(dāng)分組, 采取分組求積分因子的方法, 求出了這類方程含有x和y的積分因子.

定義1[1]如果方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

(1)

的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)u(x,y) 的全微分, 即

則稱 (1) 為恰當(dāng)微分方程.

定理2[2]若μ=μ(x,y) 是方程 (1) 的一個(gè)積分因子，使得

μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=dΦ(x,y)

則μ(x,y)g(Φ(x,y)) 也是 (1) 的一個(gè)積分因子，其中g(shù)(·) 是任一可微 (非零) 函數(shù).

因此

定理3 若μ=μ(x,y) 是方程 (1) 的一個(gè)積分因子，即存在Φ(x,y)使得

μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=dΦ(x,y)

(2)

又設(shè)μ1=μ1(x,y)為方程 (1) 的另外一個(gè)積分因子，即存在Ψ(x,y)

μ1P(x,y)dx+μ1Q(x,y)dy=dΨ(x,y)

(3)

則μ1必可表為μ1=μg(Φ) 的形式，其中g(shù)(·) 是任一可微 (非零) 函數(shù).

證明 因?yàn)檠趴吮刃辛惺?/p>

所以Ψ和Φ函數(shù)相關(guān). 由 (2) 和 (3) 知

現(xiàn)在我們可以給出分組求積分因子法的一般解法. 假設(shè)方程 (1) 的左端可以分成兩組,即

(P1dx+Q1dy)+(P2dx+Q2dy)=0

其中第一組和第二組各有積分因子μ1和μ2. 從而存在可微函數(shù)Φ1和Φ2使得

μ1P1dx+μ1Q1dy=dΦ1,μ2P2dx+μ2Q2dy=dΦ2

由定理2知, 對(duì)任意的可微函數(shù)h1和h2, 函數(shù)μ1h1(Φ1) 是第一組的積分因子，函數(shù)μ2h2(Φ2) 是第二組的積分因子. 若能適當(dāng)?shù)倪x取h1和h2使得μ1h1(Φ1)=μ2h2(Φ2), 則μ=μ1f1(Φ1) 就是 (1) 的一個(gè)積分因子.

下面我們通過(guò)具體的例子說(shuō)明用分組求積分因子法來(lái)求微分方程通解的過(guò)程.

例1 求解微分方程(x3y+4y2)dx+x4dy=0 .

解 首先將方程左端分成兩組:

(x3ydx+x4dy)+4y2dx=0

(4)

觀察易知第一組有積分因子x-3和通解xy=C,第二組有積分因子y-2和通解x=C. 我們需要尋找可微函數(shù)h1和h2滿足

x-3h1(xy)=y-2h2(x)

即是h1(xy)=x3y-2h2(x) . 我們可取h2(x)=x-5和h1(xy)=(xy)-2, 從而方程有積分因子μ=x-5y-2，將它乘在方程 (4) 兩端, 得

(xy)-2d(xy)+4x-5dx=0

故通解為 (xy)-1-x-4=C.

例2 求解微分方程ydx-(2x2+2y2+x)dy=0 .

解 首先將方程左端分成兩組:

(ydx-xdy)-2(x2+y2)dy=0

(5)

即

解 方程重新分組為

(P(x,y)ydx-dy)+Q(x,y)yndx=0

[1]王高雄，周之銘，王壽松,等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2006.

[2]丁同仁，李承治. 常微分方程教程(第二版)[M]. 北京: 高等教育出版社，2004.

Thesolvingprocessofsomenon-exactdifferentialequation

CAI Gang, LUO Ping

(College of Mathematics Science，Chongqing Normal University，Chongqing 401331，China)

This paper discusses the solving process of some non-exact differential equation. Some examples are given. We perfect the methods of solution to one order differential equation.

differential equation; integrating factor;solution.

2014—03—18

重慶師范大學(xué)基金項(xiàng)目資助(14XLB002)

蔡鋼(1984— ),男,重慶巴南區(qū)人,講師,博士生,主要從事泛函分析研究.

O155

A

1009-2714(2014)03- 0109- 03

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.03.025