一類加權(quán)的Jackson型不等式與Marcinkiewicz-Zygmund型不等式

翟學(xué)博

(棗莊學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 棗莊 277160)

0 引言

經(jīng)典的Jackson型不等式和Marcinkiewicz-Zygmund(下面簡稱M-Z)型不等式廣泛的應(yīng)用于函數(shù)逼近理論和調(diào)和分析中.近幾年來，這類不等式在加權(quán)和不加權(quán)的情形下都有了一些結(jié)果.2005年，徐源證明了單位球面、單位球體和單純形上的加權(quán)Jackson型不等式.2006年，戴峰得到了單位球面、單位球體上的M-Z不等式.而對(duì)于區(qū)間[-1,1]上加權(quán)Sobolev空間中的Jackson型不等式和M-Z型不等式都沒有給出明確的證明，本文就對(duì)此做了研究，并給出了證明過程.

1 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)果

考慮[-1,1]上的權(quán)函數(shù)wα,β(x):=(1-x)α(1+x)β,α,β>-1/2，用Lp,α,β(1≤p<∞)表示具有有限范數(shù)

的可測函數(shù)構(gòu)成的空間，當(dāng)p=∞時(shí)，用連續(xù)函數(shù)空間C[-1,1]代替L∞,α,β.對(duì)于f∈Lp(wα,β)，令

En(f)p,α,β:=inf{‖f-P‖p,α,β:P∈Πn}

(1.1)

(1.2)

hn(α,β)～n-1只依賴于α,β.于是對(duì)于任意的f∈L2,α,β，都有

(1.3)

接下來給出加權(quán)Sobolev空間的定義.

對(duì)于給定的r>0，定義分布意義下f的r階分?jǐn)?shù)次導(dǎo)算子為

(1.4)

于是，[-1,1]上的加權(quán)Sobolev空間定義為

(1.5)

我們的主要結(jié)果敘述如下：

En(f)p,α,β?n-r‖(-Dα,β)r/2f‖p,α,β.

(1.6)

此不等式為Jackson型不等式，下面的不等式即是M-Z型不等式.

定理2 對(duì)于1≤p≤∞，f∈Πn，我們有

(1.7)

2 主要結(jié)果的證明

首先介紹一些定義和記號(hào).記

(2.1)

(2.2)

則[2]對(duì)于g∈Πn，有Vn(g)=g，對(duì)于任意的f∈Lp,α,β，(1≤p≤∞)，有Vn(f)∈Π2n，且有

‖Vn(f)‖p,α,β?‖f‖p,α,β，‖f-Vn(f)‖p,α,β?En(f)p,α,β.

(2.3)

其中En(f)p,α,β的定義由(1.1)給出.

我們先來證明Jackson型不等式.

定理1的證明 由(C,n)的Cesàro平均的定義[3]以及(1.2)(1.3)有

取[4]μk=(k(k+α+β+1))-r/2，τk=(μk)-1，令

(2.4)

使用Abel變換n+1次，得

(2.5)

由于Δn+1μk?k-n-1-r，根據(jù)[5]中論斷1.1和(2.4)(2.5)可得

?n-r‖(-Dα,β)r/2f‖p,α,β.

(1.6)得證.定理1證畢.

引理[1]對(duì)于n≥1，求積公式

對(duì)于4n-1次多項(xiàng)式精確成立.

定理2的證明 在[6]中的命題1中令p=1得

再由(2.2)(2.3)得

(2.6)

其中在第二個(gè)不等式中應(yīng)用了H?lder不等式.

(2.7)

綜合(2.6)(2.7)得(1.7)式成立.定理2證畢.

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