2014年高考數(shù)學(理科)數(shù)列試題分析及教學建議

合肥工業(yè)大學附中 (郵編：230009)

1 2014年全國高考(理科)試題數(shù)列部分的統(tǒng)計分析

表1 2014年全國高考(理科)試卷數(shù)列試題分析

從上表中可以看出，數(shù)列作為高中數(shù)學的主干知識，在2014年全國高考各省試題中均有考查.

從分值分布上分析，福建以1道選擇題呈現(xiàn)，遼寧以一道填空題呈現(xiàn)，分值均為5分；北京卷同時以1道選擇題、1道填空題出現(xiàn)，分值共計10分；其他省份均在分值較高的解答題中考查數(shù)列問題，分值在12分到21分不等.

從試題出現(xiàn)位置上看，數(shù)列考點的解答題多出現(xiàn)在解答題型的前2道，以考查基本知識、數(shù)學運算能力為主.同時，數(shù)列試題與其他知識點綜合，出現(xiàn)在部分省份的高考解答題的中間偏后甚至壓軸題位置，以全面考查學生的綜合思維能力.

從考查的知識點的角度，統(tǒng)計分析數(shù)列考點相關高考試題，考查的知識點中，有11份試卷考查數(shù)列的綜合應用.試題形式中，出現(xiàn)次數(shù)最多的解答題基本上都是設置兩小問形式，求通項公式和前n項或者證明等差等比數(shù)列相關的不等式.

從試題難度設置上，所有試題都屬于常規(guī)題，尤其是以選擇題填空題形式出現(xiàn)的數(shù)列題，都是用解決數(shù)列問題的通性通法可以解決的問題.除此以外，數(shù)列題還被放置到了壓軸位置，對學生能力要求較高.

2 高考數(shù)列問題典型考題分析

2.1 填空選擇題

今年高考理科試題中有9個省份以選擇填空題形式考查了數(shù)列問題.全部都是考查等差等比數(shù)列的基本公式和性質(zhì)等基礎知識，考查考生的運算能力，總體難度中等偏低.

例1(安徽卷12題) 數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數(shù)列，則q=________.

評析本題考查等差等比數(shù)列基本運算和性質(zhì).從基本量計算的角度看，可以列方程求解，這是通法，有一定的運算量；從性質(zhì)的角度看，數(shù)列a1,a3,a5成等差數(shù)列，數(shù)列1,3,5也成等差數(shù)列，故a1+1,a3+3,a5+5仍然成等差數(shù)列，又a1+1,a3+3,a5+5構成公比為q的等比數(shù)列，故q=1.此法無計算量.體現(xiàn)了“多考想的，少考算的”的命題理念，體現(xiàn)了思維的靈活性.

例2(全國大綱卷10題) 等比數(shù)列{an}中，a4=2,a5=5，則數(shù)列{lgan}的前8項和等于( )

A．6 B．5 C．4 D．3

評析本題考查等比數(shù)列性質(zhì)和對數(shù)運算，但不同的角度，可以展現(xiàn)不同的思維能力層次.

解法1求通項，再求和.(解略)

解法2利用性質(zhì)求{an}的前8項積，再求數(shù)列{lgan}的前8項和.

a1a2…a7a8=(a4a5)4=104，故lga1+lga2+…+lga7+lga8=4.

解法3{an}成等比數(shù)列，則數(shù)列{lgan}成等差數(shù)列，

填空選擇題型一般均為考查學生的基本知識、基本方法、基本能力.針對數(shù)列問題，需要理解等差、等比數(shù)列的定義，熟練掌握通項公式、求和公式的靈活運用.此部分試題應屬于考生的基本拿分題，力求準確、快捷.

2.2 基礎解答題

今年理科試卷中有9個省份數(shù)列解答題放置在解答題靠前位置，難度較低.有8個省份數(shù)列試題第一問都是求數(shù)列的通項公式，其中已知是等差等比數(shù)列用基本量法求解的占多數(shù)，其次是用構造法求數(shù)列通項公式以及利用an和Sn關系求解的；除求解通項公式外，有7個省份是求數(shù)列前n項和，重點考查等差等比數(shù)列求和以及用錯位相減法，裂項相消法等常用數(shù)列求和方法.

例3(全國大綱卷第18題) 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.(I)求{an}的通項公式；

評析本題考查了首項為正，公差為負數(shù)的等差數(shù)列前n項和的最大問題.另外，本題還考查了裂項相消法求數(shù)列前n項和.山東卷和浙江卷也考查了該方法.

此類試題需要考生在掌握數(shù)列知識點的基本內(nèi)容基礎上，熟悉各種解題思路與方法，如裂項相消法、錯位相減法等，能熟練運用各類數(shù)學方法解決數(shù)學問題.

2.3 數(shù)列綜合題

高考數(shù)列試題除了以選擇填空題、基本解答題等形式出現(xiàn)，重點考查學生對數(shù)列問題的基本性質(zhì)、基本公式的理解和掌握外，還因數(shù)列問題本身的靈活性、較復雜的運算要求，往往與其他知識點交匯組合，成為高考試題的壓軸綜合題.

例4(天津卷 第19題) 已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設集合M={0,1,2,…,q-1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈Mi,i=1,2,…,n}.

(Ⅰ)當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；

(Ⅱ)設s,t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai,bi∈M，i=1,2,…,n. 證明：若an

評析本題主要考查集合的含義和表示，等比數(shù)列的前n項和公式，不等式的證明等基礎知識和基本方法. 考查運算能力、分析問題和解決問題的能力.

(1)若b=1，求a2,a3及數(shù)列{an}的通項公式；

(2)若b=-1，問：是否存在實數(shù)c使得a2n

評析(Ⅰ)解法1構造等差數(shù)列{(an-1)2} ；

下面用數(shù)學歸納法證明加強命題：a2n

先證0≤an≤1(n∈N*)

①(略)

再證a2n

②(略)

又由①、②及f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù)得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2，

本題是重慶卷的壓軸題，難度較大.無獨有偶，安徽卷第21題也是有關數(shù)列的壓軸題.不難發(fā)現(xiàn)它們的相似之處，均以數(shù)列為載體，考查了證明不等式的兩種方法：數(shù)學歸納法、利用導數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性進而得到不等關系.可見數(shù)列與不等式結(jié)合考查的題型我們需要多訓練.

2.4 新概念型數(shù)列問題

例6(江蘇卷) 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，則稱{an}是“H數(shù)列”．

(1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n(n∈N*)，證明：{an}是“H數(shù)列”；

(2)設{an}是等差數(shù)列，其首項a1=1，公差d<0．若{an}是“H數(shù)列”，求d的值；

(3)證明：對任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn(n∈N*)成立．

評析本題“H數(shù)列’屬于新概念型問題，題目新穎，要求學生具備較好的自學探究能力.主要考查數(shù)列的概念、an與Sn的關系，等差數(shù)列等基礎知識，以及學生的推理論證能力.

3 對高三數(shù)列復習的建議

由以上的分析可以看出，對數(shù)列知識的考查，基本是“一小一大”.小題注重數(shù)列的通項公式，等差等比數(shù)列的性質(zhì)與基本量的求解.大題以等差等比數(shù)列知識的綜合運用為主，或結(jié)合其它知識(一般是函數(shù)、不等式)與數(shù)學歸納法，考查考生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力、推理論證能力.具體到數(shù)列知識的復習備考，需要注意以下幾點：

(1)對數(shù)列通項公式的探求是高考考查數(shù)列的一個主要命題點，可以考查考生的觀察、分析、歸納、猜想、推理論證能力.因而熟練求通項公式的常用方法：如用方程思想利用基本量解決等比等差數(shù)列通項公式；構造等差等比數(shù)列進而求解數(shù)列的通項公式;歸納猜想求數(shù)列通項公式;利用前n項和公式求通項公式；特別是由遞推關系確定通項公式，變化多，較靈活等.

(2)等差等比數(shù)列是數(shù)列中研究的重要內(nèi)容.熟練掌握等差等比數(shù)列的定義、通項公式、求和公式和性質(zhì)，是解決數(shù)列綜合問題的基礎，許多數(shù)列問題，都可以轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列來解決,如利用放縮法將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列問題進而證明不等式.

(3) 數(shù)列求和一般與不等式證明相結(jié)合，因而需熟練求數(shù)列前n項和的方法，如對于等差等比數(shù)列用公式法；錯位相減法，裂項相消法，分組求和法、倒序相加等等.

(4) 從函數(shù)的角度理解數(shù)列是必要的，這樣就可以利用函數(shù)的思想與方法來處理數(shù)列問題.在數(shù)列不等關系的問題中，通過把數(shù)列問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)問題，利用函數(shù)的工具，解決數(shù)列問題是很常用的手段.但要注意函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性還是有區(qū)別的，解題時要關注和體會它的不同.

(5) 厘清知識間的交匯點，注重多個知識點的綜合題的訓練與解題方法的積累.如數(shù)列與三角函數(shù)結(jié)合、數(shù)列與集合結(jié)合，數(shù)列與導數(shù)結(jié)合，數(shù)列與解析幾何結(jié)合、數(shù)列與平面向量結(jié)合、數(shù)列與不等式結(jié)合等問題.特別是數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合問題，它綜合了函數(shù)性質(zhì)、導數(shù)、數(shù)列、不等式、數(shù)學歸納法等方面的知識與方法，對考生綜合運用知識分析問題、解決問題的能力有較高的要求，對高分學生有很好的區(qū)分度，因而以數(shù)列為背景的不等式的證明問題以及以函數(shù)為背景構造數(shù)列的問題，成了高考壓軸題的寵兒.

(6)注意強化運算能力訓練.從以上例題可以看出數(shù)列題計算量相對較大，能不能熟練準確的計算直接影響答題的速度和準確率.因此，在復習時必須重視訓練對數(shù)式運算能力的提高.