基于馬爾科夫鏈的公交站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)算法＊

胡繼華 李國(guó)源 程智鋒

（1.中山大學(xué)工學(xué)院 廣州市510006；2.廣東省智能交通系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 廣州510006）

0 引 言

優(yōu)先發(fā)展公交系統(tǒng)是提高城市交通資源利用效率，緩解交通擁堵的重要手段。城市公交行程時(shí)間具有明顯的時(shí)段分布特征，尤其是早晚高峰與平峰時(shí)段的公交行程時(shí)間各不相同，導(dǎo)致公交到站時(shí)間間隔不均勻、可靠性下降、候車時(shí)間過長(zhǎng)、載客率差異大等諸多問題，影響了乘客乘坐公交的意愿［1］。研究公交車輛行程時(shí)間預(yù)測(cè)方法，對(duì)于提高公交車輛時(shí)間可靠性、公交車輛調(diào)度、提高公交資源利用率及吸引人群采用公交出行等具有重要意義。

公交車輛行程時(shí)間預(yù)測(cè)方法包括歷史趨勢(shì)方法預(yù)測(cè)、多元回歸法預(yù)測(cè)模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、卡爾曼濾波模型、非參數(shù)回歸模型預(yù)測(cè)方法及支持向量機(jī)模型等。

基于歷史數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)模型是通過對(duì)同一時(shí)段的大量歷史數(shù)據(jù)取平均值進(jìn)行預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)精度較低，但算法及校正簡(jiǎn)單，實(shí)際應(yīng)用廣泛。陳巳康等［2］通過研究公交車路段平均運(yùn)行速度來確定路段行程時(shí)間。

回歸模型研究－系列自變量與因變量之間的關(guān)系。周雪梅等［3］提出了多元回歸公交行程時(shí)間分析預(yù)測(cè)模型，并利用威海市的公交數(shù)據(jù)對(duì)該分析預(yù)測(cè)模型進(jìn)行驗(yàn)證。魏華等［4］通過研究公交行程時(shí)間與道路路段實(shí)時(shí)交通量的關(guān)系，從而確定預(yù)測(cè)模型。

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由大量的節(jié)點(diǎn)（神經(jīng)元）及其之間的相互聯(lián)接構(gòu)成的1種運(yùn)算模型。相對(duì)于回歸模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法不需要考慮輸入變量之間的關(guān)系，也不需要特定的方程式。楊兆升等［5］提出了1種基于模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)路段行程時(shí)間估計(jì)模型，該模型可利用實(shí)測(cè)交通數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)未來路段公交車輛行程時(shí)間。Ehsan等［6］將道路飽和率和公交時(shí)刻表準(zhǔn)點(diǎn)率作為輸入變量，其預(yù)測(cè)精度高于歷史數(shù)據(jù)模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)普遍存在學(xué)習(xí)過程、算法的時(shí)間耗費(fèi)過多，導(dǎo)致實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的效率低下。

卡爾曼濾波模型是1種基于線性遞歸的算法，由于其高效的預(yù)測(cè)誤差修正特性，該算法在動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)中有一定的應(yīng)用。美國(guó)的Mei Chen等［7］利用了AVL數(shù)據(jù)建立了公交車到達(dá)時(shí)間的卡爾曼濾波預(yù)測(cè)模型。國(guó)內(nèi)的周文霞［8］等考慮多種影響因素，利用卡爾曼濾波算法給出了行程時(shí)間預(yù)測(cè)模型。

機(jī)器學(xué)習(xí)中的支持向量機(jī)也逐漸在公交行程時(shí)間預(yù)測(cè)中得到應(yīng)用。Peng等［9］提出了基于貝葉斯概率的相關(guān)向量機(jī)預(yù)測(cè)算法，可獲取到站時(shí)間預(yù)測(cè)值及誤差的方差。Yu等［10－11］將支持向量機(jī)應(yīng)用到公交行程時(shí)間預(yù)測(cè)中，該預(yù)測(cè)模型具備更強(qiáng)的解釋力及穩(wěn)定性；并且將遺忘因子引入到支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型中，得到了更高的預(yù)測(cè)精度。

交通流信息反映道路的實(shí)際交通情況，故能在此基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)公交行程時(shí)間。2012年李海姣等［12］以交通波理論為基礎(chǔ)建立了站點(diǎn)間行程時(shí)間預(yù)測(cè)模型，取得較好的預(yù)測(cè)效果。

馬爾科夫鏈在交通領(lǐng)域方面的應(yīng)用主要集中在交通事故［13］、交通流密度［14］等方面，在公交行程時(shí)間預(yù)測(cè)的應(yīng)用還較少。馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)針對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移進(jìn)行計(jì)算［15］，具有可操作性較強(qiáng)，且簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。筆者研究基于馬爾科夫鏈的公交站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)算法，并利用移動(dòng)誤差補(bǔ)償法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)以得到更高的預(yù)測(cè)精度。

1 基于馬爾科夫鏈的預(yù)測(cè)算法

1.1 算法基礎(chǔ)

公交車輛是1類時(shí)空過程對(duì)象，其在特定的線路運(yùn)行過程中受到當(dāng)時(shí)具體的環(huán)境影響，包括道路交通狀態(tài)、車輛運(yùn)行狀況及天氣狀況等多種因素。在1次過程中，公交車輛下一階段的運(yùn)行過程受到前一階段或多個(gè)階段的運(yùn)行狀況影響較大，比如，為了保證班次準(zhǔn)點(diǎn)，當(dāng)車輛在前面的站點(diǎn)發(fā)生延誤時(shí)，車輛在后續(xù)站點(diǎn)會(huì)相應(yīng)加速以彌補(bǔ)延誤時(shí)間。

公交車輛行程時(shí)間是由各個(gè)站間行程時(shí)間及停站時(shí)間構(gòu)成，且站間行程時(shí)間的預(yù)測(cè)是動(dòng)態(tài)行程時(shí)間預(yù)測(cè)的關(guān)鍵。某一站間行程時(shí)間可視為特定公交線路的系統(tǒng)狀態(tài)，一系列的站間行程時(shí)間是系統(tǒng)在不同階段的運(yùn)行狀態(tài)，因此可以利用離散系統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法來估計(jì)公交車輛站間行程時(shí)間。

公交車輛是典型的時(shí)空過程對(duì)象，其運(yùn)行具有狀態(tài)轉(zhuǎn)移性，公交車輛的下一階段發(fā)生狀態(tài)的概率與當(dāng)前狀態(tài)相關(guān)，符合馬爾科夫鏈的基本思想，因此提出以下假設(shè)。

假設(shè)1。同一線路同一方向下的公交車輛站間行程時(shí)間的延誤符合馬爾科夫過程。

假設(shè)2。同一線路同一方向在同一時(shí)段內(nèi)，所有的站間狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率一致。

在假設(shè)1的前提下，實(shí)際上是公交車輛站間行程時(shí)間的延誤構(gòu)成了馬爾科夫鏈，因此只需要預(yù)測(cè)公交車站行程時(shí)間的延誤，即可得到公交車輛站間預(yù)測(cè)行程時(shí)間；假設(shè)2充分考慮了公交車輛運(yùn)行的時(shí)段差異特征，同時(shí)，認(rèn)為同一時(shí)段同一方向的公交運(yùn)行具有同質(zhì)性，簡(jiǎn)化了馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的復(fù)雜性。

1.2 基本算法

對(duì)于一系列相依的隨機(jī)變量用步長(zhǎng)為1的馬爾科夫鏈模型和初始分布推算出未來的絕對(duì)分布，即為基于馬爾科夫鏈的基本行程時(shí)間預(yù)測(cè)算法，具體預(yù)測(cè)算法步驟如下。

1）劃分車輛運(yùn)行時(shí)段。對(duì)1 d內(nèi)的公交車輛工作時(shí)間進(jìn)行時(shí)段劃分，假設(shè)1 h為1個(gè)時(shí)段Ti，那么07：00時(shí)到19：00時(shí)則可劃分為12個(gè)運(yùn)行時(shí)段。

2）構(gòu)造狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣依賴于公交車輛運(yùn)行的歷史數(shù)據(jù)，對(duì)于每個(gè)運(yùn)行時(shí)段，對(duì)要預(yù)測(cè)的線路統(tǒng)計(jì)3個(gè)相鄰公交站點(diǎn)a，b，c之間的站間運(yùn)行時(shí)間tab和tbc，見圖1。

圖1 公交行駛圖示1Fig.1 Schematic Illustration 1 of bus driving

則得到公交車輛的站間延誤為

（Δtab，Δtbc）構(gòu)成了一系列的延誤轉(zhuǎn)移對(duì)，如（－20，－10）表明在（a，b）站間的延誤由－20s轉(zhuǎn)變?yōu)椋╞，c）站間的－10s，并且可以得到（－20，－10）此狀態(tài)轉(zhuǎn)移發(fā)生的概率。由一系列的延誤轉(zhuǎn)移對(duì)得到1個(gè)在時(shí)段T線路R的延誤轉(zhuǎn)移概率矩陣。

式中：di或dj（i，j∈ ［0，n－1］）是具體的延誤時(shí)間，正數(shù)表示公交車輛提前到站，負(fù)數(shù)表示延遲到站，且滿足為簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)移概率矩陣，可以將dij轉(zhuǎn)化為連續(xù)的時(shí)間范圍值。

3）馬氏性檢驗(yàn)。馬氏性的檢驗(yàn)，是決定序列是否可用馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)方法來預(yù)測(cè)的關(guān)鍵，只有公交車輛站間行程時(shí)間延誤序列符合馬氏性檢測(cè)條件，才能用馬爾科夫鏈進(jìn)行預(yù)測(cè)。驗(yàn)證馬氏性一般用卡方檢驗(yàn)方法［16］。

4）站間行程時(shí)間動(dòng)態(tài)推導(dǎo)：已知線路R的某輛公交車在時(shí)段T內(nèi)，在（b，c）站間的運(yùn)行延誤時(shí)間為Δt′bc，見圖2：

圖2 公交行駛圖示2Fig.2 Schematic Illustration 2 of bus driving

即其在（c，d）站間的預(yù)測(cè)行程時(shí)間tcd為

式中：pij＝PTR（i，j）。

根據(jù)上述可見，首先由 Δt′bc確定di，找到Δt′bc在狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣PTR中的行，然后求解該行概率下的轉(zhuǎn)移概率期望，即可得到該站與下一站的公交車輛站間的預(yù)測(cè)行程時(shí)間延誤，進(jìn)而得到站間的預(yù)測(cè)行程時(shí)間。

1.3 改進(jìn)算法

直接由概率矩陣得到的預(yù)測(cè)值在平穩(wěn)序列中的魯棒性較大，但當(dāng)公交線路行駛階段不穩(wěn)定狀態(tài)較多時(shí)，馬爾科夫預(yù)測(cè)值的失真度也較大，造成馬爾科夫鏈算法預(yù)測(cè)不準(zhǔn)確的假象。因此，提出了1種移動(dòng)誤差補(bǔ)償法，提升預(yù)測(cè)精度。

改進(jìn)算法的基本思想是假設(shè)在公交車輛運(yùn)行過程中，上一狀態(tài)的預(yù)測(cè)誤差與下一狀態(tài)的預(yù)測(cè)誤差具有較高的相似性，即用已知的預(yù)測(cè)誤差減少當(dāng)前預(yù)測(cè)時(shí)間的誤差。具體描述如下。

1）假設(shè)到達(dá)公交車站K時(shí)得到的馬爾科夫預(yù)測(cè)站間行程時(shí)間為tK，而實(shí)際的站間行程時(shí)間為則稱實(shí)際站間行程時(shí)間與預(yù)測(cè)站間行程時(shí)間tK的差值為公交車站K的移動(dòng)誤差，即

上式為單步的移動(dòng)誤差；K步的移動(dòng)誤差為

2）當(dāng)城市道路上有突發(fā)事件發(fā)生時(shí)，實(shí)際的公交車輛站間行程時(shí)間會(huì)大幅度增加，帶來極端的移動(dòng)誤差。為了消除極端移動(dòng)誤差，在此引入移動(dòng)誤差閾值θ，因此可將K步移動(dòng)誤差公式改

寫為式中：移動(dòng)誤差閾值θ為樣本數(shù)據(jù)中站間實(shí)際行程時(shí)間與平均行程時(shí)間之差的絕對(duì)值的平均值。

3）當(dāng)預(yù)測(cè)公交車站K與下一站K＋1的站間行程時(shí)間時(shí)，將多步的移動(dòng)誤差補(bǔ)償?shù)今R爾科夫預(yù)測(cè)值中，得到的站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)值為

上式中前2項(xiàng)與基本算法的預(yù)測(cè)公式一致，為直接由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣得到的預(yù)測(cè)站間行程時(shí)間值。由引入閾值的移動(dòng)誤差則可以不斷將前K個(gè)狀態(tài)的預(yù)測(cè)誤差補(bǔ)償?shù)较乱粻顟B(tài)的預(yù)測(cè)中。在公交車輛的1次行程中，前面幾個(gè)站點(diǎn)的數(shù)量可能滿足不了K個(gè)狀態(tài)的預(yù)測(cè)誤差補(bǔ)償，則以最大步長(zhǎng)作為補(bǔ)償差，比如到達(dá)第3個(gè)站臺(tái)后要預(yù)測(cè)到達(dá)第4個(gè)站臺(tái)的行程時(shí)間，最大只能用2步的移動(dòng)誤差補(bǔ)償。

2 實(shí)例驗(yàn)證

2.1 實(shí)例數(shù)據(jù)集

為了評(píng)估該算法的預(yù)測(cè)性能，使用了廣州市BRT線路B1自2011年8月22日～28日共1周的GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先由GPS數(shù)據(jù)得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，然后提取20個(gè)完整的公交線路行駛過程進(jìn)行預(yù)測(cè)仿真。

原始GPS數(shù)據(jù)給出的是時(shí)間和經(jīng)緯度信息，需要對(duì)公交站臺(tái)進(jìn)行匹配和車輛狀態(tài)分析，通過劃分得到公交車輛進(jìn)站出站的過程。其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)見表1，平均每個(gè)時(shí)段可以獲得483個(gè)轉(zhuǎn)移序列對(duì)。

表1公交車輛GPS數(shù)據(jù)集數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表Tab.1 Structural table of GPS data for the public vehicles

2.2 馬氏性檢驗(yàn)

采用卡方檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)隨機(jī)過程｛Xt，t∈T｝是否具有馬氏性，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)估算法得到公交車輛站間行程時(shí)間延誤轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣，進(jìn)而由轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣和公式計(jì)算，可得

即有χ2＝599.698 8。

令自由度為k＝（m－1）2＝（15－1）2，即k＝196，此處取置信度α＝0.01。由于k＞45，χ2α（k）不能直接查表得到，當(dāng)k值足夠大時(shí)，有

式中：zα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位點(diǎn)。查表得到z0.01＝2.235，則可得到可即該隨機(jī)過程為馬爾科夫過程。

同理對(duì)剩余劃分時(shí)段的值進(jìn)行計(jì)算，均有χ2，即對(duì)于各研究時(shí)段，其隨機(jī)過程符合馬氏性，也即所建立的模型為馬爾科夫模型。

2.3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了評(píng)估和比較各個(gè)公交站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，從而引入平均絕對(duì)相對(duì)誤差εM（mean relative percentage error，MRPE）和均等系數(shù)εE（equality coefficient，EC）2個(gè)指標(biāo)，二者的定義分別為

式中：m為單程所要預(yù)測(cè)的站間行程數(shù)，y′i為第i段行程的實(shí)測(cè)值，yi為第i段行程的預(yù)測(cè)值。εM表征了單程中預(yù)測(cè)值和實(shí)測(cè)值的平均絕對(duì)相關(guān)誤差，εM越小，表明預(yù)測(cè)精度越高；εE表征了單程中預(yù)測(cè)值對(duì)于實(shí)測(cè)值的偏離程度，εE越大，表明預(yù)測(cè)精度的穩(wěn)定性越高。

2.4 模型對(duì)比

為了檢驗(yàn)預(yù)測(cè)算法的精度，除了將預(yù)測(cè)算法的結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析之外，實(shí)驗(yàn)采用了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為對(duì)比預(yù)測(cè)算法。算法如下。

1）建立1個(gè)3層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中輸入層共有5個(gè)神經(jīng)元，分別輸入時(shí)段T下前3 d各自的站間平均行程時(shí)間，該時(shí)段總的站間平均時(shí)間和上一狀態(tài)的站間行程時(shí)間。

2）中間層神經(jīng)元的數(shù)目采用經(jīng)驗(yàn)公式

式中：n為輸入層神經(jīng)元數(shù)量，所以中間層的數(shù)量為3。神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)使用常用的Sigmoid函數(shù)，其數(shù)學(xué)形式為

3）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層為1個(gè)神經(jīng)元，輸出所要預(yù)測(cè)的站間行程時(shí)間。訓(xùn)練樣本同樣為B1的1周GPS數(shù)據(jù)，確保了預(yù)測(cè)效果對(duì)比的可信性。

2.5 預(yù)測(cè)結(jié)果與分析

分別計(jì)算20次實(shí)驗(yàn)中基本馬爾科夫算法、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及馬爾科夫改進(jìn)算法的平均絕對(duì)相對(duì)誤差和均等系數(shù)，具體結(jié)果值見圖3、4。由圖3可知，馬爾科夫改進(jìn)算法的平均絕對(duì)相對(duì)誤差總體偏低，基本馬爾科夫算法次之，對(duì)比模型BP算法最高。而由圖4可知，馬爾科夫改進(jìn)算法的均等系數(shù)整體偏高，說明其預(yù)測(cè)穩(wěn)定性最高；同時(shí)，3種算法各自的評(píng)價(jià)指標(biāo)的平均值見表2?？梢钥闯鲴R爾科夫改進(jìn)算法的平均MAPE最小，說明預(yù)測(cè)誤差小，平均EC最大，說明其預(yù)測(cè)穩(wěn)定性高。因此，從總體來看，馬爾科夫改進(jìn)算法在公交行程時(shí)間預(yù)測(cè)中更優(yōu)，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性都較高，基本馬爾可夫算法次之。

圖3 MAPE對(duì)比曲線Fig.3 Comparison curve of MAPE

圖4 EC對(duì)比曲線Fig.4 Comparison curve of EC

表2 評(píng)價(jià)指標(biāo)平均值Tab.2 Average value of evaluation indicator

圖5為隨機(jī)抽取的4次實(shí)驗(yàn)中公交站間行程時(shí)間的實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值對(duì)比示意圖。從圖5中可以看到，馬爾科夫改進(jìn)算法的公交站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)結(jié)果較其他2種算法更加接近實(shí)測(cè)值。

圖5 實(shí)際值與預(yù)測(cè)值對(duì)比圖Fig.5 Comparison curve between actual value and predicted value

3 結(jié)束語

針對(duì)公交車輛的運(yùn)行特性，提出了基于馬爾科夫鏈的公交站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)及其改進(jìn)算法。筆者首先將公交車輛在站間的運(yùn)行過程視作馬爾科夫鏈，由GPS數(shù)據(jù)提取出不同時(shí)段下站間行程時(shí)間的馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，實(shí)現(xiàn)了站間行程時(shí)間的動(dòng)態(tài)推導(dǎo)；然后提出了移動(dòng)誤差補(bǔ)償法對(duì)原有的馬爾科夫預(yù)測(cè)算法進(jìn)行了改進(jìn)，以得到更高的預(yù)測(cè)精度。

最后，筆者以廣州市BRT線路B1的實(shí)際運(yùn)行GPS數(shù)據(jù)，通過基本馬爾科夫算法及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)改進(jìn)算法進(jìn)行了驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，引入移動(dòng)誤差補(bǔ)償法對(duì)基本馬爾科夫算法進(jìn)行改進(jìn)后，公交站間行程時(shí)間預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性均有所提高，效果更佳。

下一步的工作目標(biāo)是探究提出多組合模型算法，進(jìn)一步提高預(yù)測(cè)精度和穩(wěn)定性。

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