一類非線性三階邊值問題正解的存在性①

王曉燕， 張 莉

(蘭州工業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)學(xué)科部，甘肅蘭州730050)

0 引言

三階微分方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)與物理學(xué)等不同的領(lǐng)域有極其重要的應(yīng)用，例如帶有固定或變化橫截面的屈曲梁的擾度，三層梁，電磁波，地球引力吹積的漲潮等，見文獻(xiàn)［1］.基于這樣的實(shí)際背景，三階常微分方程邊值問題也就備受學(xué)者的廣泛關(guān)注，見文獻(xiàn)［2～6］.特別的，文獻(xiàn)［6］運(yùn)用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究了三階常微分方程邊值問題

正解的存在性，其中 λ ＞0是參數(shù)，a∈C(［0，1］，［0，∞))，f∈ C(［0，∞)，［0，∞))

然而，在a變號的情形下，對三階常微分方程邊值問題(1)正解的存在性還沒有文獻(xiàn)討論過.本文運(yùn)用Leray－Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，在a變號的情形下討論了三階常微分方程邊值問題(1)正解的存在性.

本文總假設(shè):

(H1)λ＞0是正參數(shù);

(H2)f:R+→R連續(xù)且f(0)＞0;

(H3)α，β ≥0，α + β ＞ 0.

1 預(yù)備知識

引理1.1［6］線性邊值問題

的Green函數(shù)為

且具有以下性質(zhì):

證明 對 ?u ∈ C［0，1］，定義算子

易知 A:C［0，1］→C［0，1］全連續(xù)且算子 A的不動(dòng)點(diǎn)就是問題(3)的解.

取 ε ＞0，使得

設(shè) u ∈ C［0，1］，θ∈ (0，1)，滿足 u= θAu，則由(4)以及的非減性可知

或者

(8)結(jié)合(6)可得‖u‖≠Aλ.注意到當(dāng)λ→0時(shí)，Aλ→0.由Leray－Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知，A存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)滿足且

2 主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果如下:

定理2.1 設(shè)條件(H1)－(H3)成立，并且(H4)a∈C(［0，1］，R)，a不恒為零，且存在k ＞ 1，使得［0，1］成立，其中a+，a－分別表示a的正部和負(fù)部.則存在正數(shù)λ*，使得當(dāng)λ＜λ*時(shí)，問題(1)至少存在一個(gè)正解.

證明 令.由(H4)，則存在正常數(shù)α，γ∈(0，1)，對任意的s∈［0，α］，t∈［0，1］有

固定 δ∈(γ，1)，并設(shè) λ*＞0，對任意的 λ ＜λ*有

成立.

對λ ＜ λ*，假設(shè)問題(1)有形如λ+vλ的解記為 uλ，則 vλ滿足

對任意的ω∈C［0，1］，定義算子

易知 T:C［0，1］→ C［0，1］全連續(xù).

設(shè) v∈ C［0，1］，θ∈ (0，1)滿足 v= θTv，則

由于

由(11)知

上式結(jié)合(9)，(14)可得

由Leray－Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知，T有不動(dòng)點(diǎn) vλ滿足.因 vλ滿足(17)，結(jié)合引理1.2知

即問題(1)有一個(gè)正解uλ.

注:本定理2.1的證明采用了與文獻(xiàn)［7］相類似的方法.

［1］M.Gregus，Third Order Linear Differertial Equations，in:Math.Appl.，Reidel，Dordrecht，1987.

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