對有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的再思考

洪亮

[摘要]早在2001年《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》中描述了數(shù)感的主要表現(xiàn)，將“建立初步的數(shù)感”列入數(shù)學(xué)思考目標(biāo)的首項要求。時過十年有余，審慎觀之，不得不正視這樣一個問題：數(shù)感“被焦點”了，它一直徘徊在教學(xué)的邊緣。我們的日常教學(xué)只關(guān)注了標(biāo)準(zhǔn)的程序、方法和技能，卻忽視了數(shù)學(xué)的直覺、敏感和意識，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)機械、繁瑣，對數(shù)的感悟越來越遲鈍。這促使我們再次重新思考，什么是數(shù)感？怎樣才能讓數(shù)感從教學(xué)的邊緣走向中心？

[關(guān)鍵詞]數(shù)感；實踐活動；應(yīng)用意識

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年）在原來的基礎(chǔ)上對數(shù)感重新進行了界定：數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。

現(xiàn)實生活中的數(shù)多是伴以數(shù)量的形式出現(xiàn)的，研究單純的數(shù)較少，小學(xué)的數(shù)學(xué)研究也多是以學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識來解決生活中的問題作為切入點的，把數(shù)與量、數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來，就會使學(xué)生更易于理解數(shù)的意義。伴隨著這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)的感悟自然也會慢慢得到發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容也會逐步由具體走向抽象，乃至到達純數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域。由此可見，這里的“數(shù)感”指的是對數(shù)、數(shù)量等的感悟，更多的應(yīng)該是就“數(shù)量感”來說的。

數(shù)感是建立在明確數(shù)的概念和有效進行計算等數(shù)學(xué)活動的基礎(chǔ)之上，有助于理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義和具體情境中的數(shù)量關(guān)系。因此，數(shù)感使人眼中看到的世界具有量化的意味，是人的一種基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)感的形成既是現(xiàn)實生活的需要，也是發(fā)展數(shù)學(xué)思考、培養(yǎng)創(chuàng)新精神與實踐能力的需要。那么應(yīng)該如何有效地培養(yǎng)數(shù)感？

一、啟蒙數(shù)感——豐富厚實的生活體驗

現(xiàn)實生活是數(shù)學(xué)的源泉。無論是數(shù)與數(shù)量，還是數(shù)量關(guān)系，都來源于現(xiàn)實生活。為此可以學(xué)生熟悉的、豐富多彩的現(xiàn)實世界作為學(xué)習(xí)的背景，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中感受數(shù)值大小，理解數(shù)的意義，促進學(xué)生主動建構(gòu)知識，發(fā)展數(shù)感。

課例：《分?jǐn)?shù)的意義》

（1）從1到“1”

師：請看，老師往這兒一站，幾個人？能用1這個數(shù)來表示嗎？（板書：1）想想我們周圍，還有哪些物體的數(shù)量也可以用1來表示？

師：看來，能用1表示的物體還真不少。想想看，除了剛才同學(xué)們所列舉的一個物體可以用1來表示，還有什么也能用1來表示？

生：（略有遲疑1一個班級也能用1來表示。

師：一個班級可不止1個學(xué)生哦，40多個同學(xué)能用1來表示嗎？誰來評判評判？

生：40多個同學(xué)是一個整體.當(dāng)然可以用1來表示啦。（生：繼續(xù)舉例。）

師：這樣下去，能說完嗎？（生：不能）看來，小小的1還真是無所不包。（師在1上加雙引號）不過，這時的“1”和我們一年級時所認識的1一樣嗎？

生：不一樣。以前認識的1，表示的是1個物體，比如1個人、1瓶水，但現(xiàn)在這個1不但可以表示1個物體，還可以表示由一些物體組成的整體。

師：說得真好！“1”的內(nèi)涵發(fā)生了變化，變得更豐富了。

（2）揭示單位“1”

師：老師這兒還帶來了3個蘋果，能看作“1”嗎？把3個蘋果看作的這個“1”有點像以前學(xué)過的什么呀？

生：計量單位。

師：是呀，把3個蘋果看作的“1”其實不就成了一個計量單位了嗎？把它看作一個單位.有幾個這樣的單位就是幾。

師：所以，數(shù)學(xué)上把這樣的“1”給了一個特殊的名稱叫“單位1”。

教師創(chuàng)設(shè)熟悉的生活情境，喚醒學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中經(jīng)歷從實物到數(shù)的抽象過程，感受了從1到“1”，再到“單位1”的發(fā)展歷程，從而建立了“單位1”的概念表象。

數(shù)的概念的體驗和理解與數(shù)感密切相關(guān)。數(shù)的概念本身是抽象的，學(xué)生理解和掌握數(shù)的概念要經(jīng)歷一個過程，應(yīng)注重選擇學(xué)生感興趣的、熟悉的情境和實例，通過觀察、交流、操作等活動，體驗和感受身邊事物中具體的數(shù)量，使學(xué)生加深理解數(shù)的意義，形成對數(shù)的良好直覺，啟蒙學(xué)生積極的數(shù)感。

二、建立數(shù)感——充分多樣的探索活動

數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究內(nèi)容的重要組成部分，對它的感悟是數(shù)感的一個重要內(nèi)涵。具有良好數(shù)感的人，在遇到實際問題時，能主動探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，從而順利選擇合理解決問題的方法。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過分析、概括，認識、理解隱藏在事物之間抽象的本質(zhì)關(guān)系，嘗試用數(shù)量關(guān)系來表達數(shù)學(xué)情境，通過猜想、概括等思維活動建立相應(yīng)的關(guān)系模型，達到對數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的深刻領(lǐng)悟。

課例：《圖形覆蓋規(guī)律》

第三階段的“找”：在抽象中找規(guī)律。

（1）師：看來，只要知道什么就可以知道平移的次數(shù)？知道平移幾次，有什么用呢？（答略）

師：如果平移20次，就有（21）種不同情況。

如果有100種不同情況，就是平移了（99）次。

（2）師：看來，同學(xué)們已經(jīng)初步掌握了某種規(guī)律，下面來考考大家。出示花邊題。

如果花邊有10格，每次給相鄰的五個格蓋上紅色的透明紙，一共有多少種不同的蓋法？

生：數(shù)出剩下的花邊，再加1。

生：總個數(shù)一每次蓋的個數(shù)+1，即10-5+1=6

師：你能試著解釋一下嗎？

生：10-5表示平移幾次.再加上先框住的一次。

師：出示13個花邊的圖案。生列式13-5+1=9

師：比較這兩題，有什么區(qū)別嗎？

生：雖然每次蓋的數(shù)相同.但總數(shù)不同.所以有幾種蓋法也不同。

（3）師：結(jié)合剛才同學(xué)們所做的，你能歸納這其中不變的規(guī)律嗎？

（4）小組交流匯報。

（5）師：如果用a表示總個數(shù)，用b表示每次框的個數(shù)，有幾種不同情況？該怎樣表示呢？

生：a-b+1

第三次“找”是在學(xué)生大量感知、豐富積累后，全面的分析、比較、剔除非本質(zhì)屬性，找出數(shù)量之間的穩(wěn)固關(guān)系，抽象成數(shù)學(xué)模型，使感性認識上升到理陛認識。

數(shù)感的建立應(yīng)該是一個不斷猜想、驗證、思辨的過程。創(chuàng)設(shè)多樣化的、開放性的探究情境，最大限度地激發(fā)學(xué)生的思維潛力。這樣，學(xué)生通過在探究中的多次嘗試、思考、追問，逐步揭示數(shù)量之間的關(guān)系，體會就會越來越深，可以積累更多的科學(xué)、豐富的活動經(jīng)驗，對數(shù)量關(guān)系的感覺就會更靈敏、更嚴(yán)謹(jǐn)。

三、增強數(shù)感——逐層深入的估計運算

日常生活中，所需要估算結(jié)果的次數(shù)往往要多于精確計算，人們經(jīng)常在自覺不自覺地運用著估算。估算教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生探索不同的估算方法，結(jié)合實際生活經(jīng)驗交流對比，掌握估計技巧與方法，優(yōu)化估算的策略，這樣層層遞進、逐層深入，增強學(xué)生對數(shù)據(jù)快速判斷、敏捷估算的能力。

課例：《估算》

（通過曹沖稱象的故事引人，出示6次稱石頭的質(zhì)量：328、346、307、377、398、352。單位：千克）

（1）師：你能估計出這頭大象大約有多重嗎？把估算的過程記下來。

生1：這6個數(shù)都是300多，我就把它們估成400，400x6=2400。

師：非常好！你們能不能給他的做法起個名字？本來這些數(shù)有大一點的，有小一點的，有中間的，他這是往哪里估?。?/p>

討論后得出：同看成一個數(shù)，把這些數(shù)都往大一點的數(shù)估，叫大估法。

生2：我把這6個數(shù)都估成300.300><6=1800。

學(xué)生得出：他是把這些數(shù)往小一點的數(shù)估，叫小估法。

生3：300+300+300+400+400+400=2100。我是把350看成中間的數(shù).超過350的就把它估成400，低于350的就把它估成300.

師：有的往小一點的估，有的往大一點的估。這方法和前面兩位同學(xué)有什么不同？

生：前兩位同學(xué)的整百統(tǒng)一，這種整百不統(tǒng)一。

師：那我們就取名字，叫整百不統(tǒng)一。

生4：我把這6個數(shù)都看成整百整十?dāng)?shù)，接近幾十就當(dāng)成幾十。

330+350+310+380+400+350=2120

師：這樣的估法，就是我們未來要學(xué)習(xí)的“四舍五入”。

（2）師：同學(xué)們想出了4種估計結(jié)果的方法.現(xiàn)在用計算器算一算這6個數(shù)相加的和是多少？比較一下，這個和與剛才估算的結(jié)果，你想說什么呢？

生說（略）

師：這4種估算方法，你比較喜歡哪一種？能說出理由嗎？

從曹沖稱象的故事引出估算，使得估算成為解決實際問題的需要，激發(fā)了學(xué)生估算的愿望。學(xué)生在自主探索后出現(xiàn)了多種不同的估算方法，在比較、反思中逐步優(yōu)化估算策略，體會到盡管這些方法的具體思維過程不同，但估算的策略都是一致的，都采用了“湊整”的策略。

由此可見，估算比較靈活簡便，它可使學(xué)生運用已經(jīng)掌握的知識和經(jīng)驗，通過對抽象的數(shù)據(jù)符號不同角度、不同側(cè)面的觀察比較、分析，以敏銳的觀察力和迅捷的判斷力，對問題作簡約推理，接觸問題的本質(zhì)，使問題得以解決。估算意識和習(xí)慣的培養(yǎng)，不能一蹴而就，需要教師經(jīng)常給學(xué)生提供估算的機會和創(chuàng)設(shè)估算的情境，強化他們的估算意識和估算能力，讓他們估算越來越準(zhǔn)確，估算方法越來越高明，從而擁有良好的信息感，數(shù)據(jù)感和量化能力。

四、發(fā)展數(shù)感——精巧扎實的課外實踐

走出課本，到現(xiàn)實生活中去，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、認識周圍的事物，用數(shù)學(xué)的眼睛去發(fā)現(xiàn)事物的特征、聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言來表達與交流，才會增強數(shù)學(xué)意識，發(fā)展數(shù)感。在學(xué)習(xí)了書本知識后，教師要精心設(shè)計課外活動計劃，促使學(xué)生到社會中去，靈活運用所學(xué)知識來解決問題，在實踐中再次體驗數(shù)的感覺、量的直覺。

課例：《（克、千克的認識）實踐活動》

（學(xué)習(xí)了《克、千克的認識》后，教師給學(xué)生布置了課外活動事項。）

（1）找一找周圍還有哪些物體的質(zhì)量大約是1克、1千克，自己先掂一掂、猜一猜、估一估，再進行檢驗。

（2）掂一掂、說一說你周圍的一些物品的質(zhì)量大約是幾克、幾千克。可請家長配合完成。

（3）到超市里去，掂一掂貨架上的商品的質(zhì)量，再與商標(biāo)上的質(zhì)量對照。

（4）到菜場或超市里去，估一估買的菜、水果等大約有幾千克。

（5）讓家長拿一些物品，學(xué)生觀察后直接說出物品的質(zhì)量。

在實踐活動中先讓學(xué)生尋找和體會“手”的感覺，借助手的感覺豐富對實際數(shù)量的感知，然后讓學(xué)生通過“火眼金睛”，憑借對數(shù)量和形的敏感度，直接說出物品的質(zhì)量。

總之，數(shù)感是一種感悟。感悟是人的思維產(chǎn)物，只能發(fā)生在頭腦和心中，不能通過外部的力量來代替。但是數(shù)感的體驗和建立需要依靠經(jīng)驗的積累和理性的疊加，教學(xué)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的外部支持力量，應(yīng)該給學(xué)生提供感悟的機會，創(chuàng)造感悟的條件，不要再讓數(shù)感游離于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邊緣，真正把數(shù)感培養(yǎng)拉入到教學(xué)的中心，使學(xué)生眼中的世界呈現(xiàn)出“量化”的美。

（責(zé)任編輯 楊晶晶）