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    淺談如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力

    2014-08-20 03:38王維
    文理導(dǎo)航 2014年17期
    關(guān)鍵詞:合情對折結(jié)論

    王維

    推理能力在數(shù)學(xué)中是屬于數(shù)學(xué)思考(思維)能力中的一種,因此《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在數(shù)學(xué)思考的目標(biāo)表述中作了明確的要求,指出:要“發(fā)展合情推理能力和演繹推理能力”。合情推理是數(shù)學(xué)家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或必然性推理(即推理的結(jié)論不一定成立的推理)的特稱。合情推理是根據(jù)已有的知識和經(jīng)驗,在某種情境和過程中推出可能性結(jié)論的推理。通俗講合情推理就是一種合乎情理的推理,主要包括觀察、比較、不完全歸納、類比、猜想、估算、聯(lián)想、自覺、頓悟、靈感等思維形式。合情推理所得的結(jié)果具有偶然性,但也不是完全憑空想象,它是根據(jù)一定的知識和方法做出的探索性的判斷。本人結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。

    一、在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中培養(yǎng)合情推理能力

    數(shù)學(xué)概念形成的過程,是數(shù)學(xué)家漫長的創(chuàng)造過程,其思考問題的方法和其中包含的數(shù)學(xué)思想,往往具有很高的數(shù)學(xué)價值。雖然我們不可能把這個形成過程照搬給學(xué)生,但是若能發(fā)揮其要領(lǐng),濃縮精華地將數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)過程暴露給學(xué)生,提供給學(xué)生數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”的環(huán)境和機(jī)會,則無疑是教會學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”的重要途徑。在數(shù)學(xué)概念的實際學(xué)習(xí)中,需要理解數(shù)學(xué)概念的名稱、定義、例子和屬性, 采取歸納、類比、聯(lián)想、直覺想象等合情推理的方法,讓學(xué)生經(jīng)歷從典型、豐富 的具體事例中概括概念的本質(zhì)的活動,而不是給出概念定義、舉例說明、練習(xí)鞏固。這樣既符合學(xué)生學(xué)習(xí)概念時由具體到抽象的認(rèn)識規(guī)律,掌握形式的數(shù)學(xué)概念背后的事實,而且更容易讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性,理解概念的內(nèi)涵,把概念納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。比如在進(jìn)行“有理數(shù)的乘方”的教學(xué)時,借助下面例子:由一張厚度為0.1毫米的紙,將它對折1次后,厚度為2×0.1毫米。那么(1)對折2此后,厚度為多少毫米?(2)對折3此后,厚度為多少毫米?(3)對折4此后,厚度為多少毫米?(4)對折20此后,厚度為多少毫米?(5)如果每層樓為3米高,這張紙對折20次后有多少層樓高?讓學(xué)生經(jīng)歷“折紙—猜想—計算”的過程,再引入乘方的概念。學(xué)生驚訝之余,既提高了學(xué)習(xí)興趣又鍛煉了推理能力。再如,初中教材是用溫度計經(jīng)過形象類比和推理引入數(shù)學(xué)數(shù)軸知識的。

    二、在數(shù)學(xué)公式、法則、定理教學(xué)中培養(yǎng)合情推理能力

    數(shù)學(xué)公式、法則、定理的發(fā)現(xiàn)過程是數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)智慧的體現(xiàn),也是進(jìn)行合情推理的典范。所以,教師在教學(xué)中如果能為學(xué)生創(chuàng)造“發(fā)現(xiàn)”定理、公式結(jié)論的機(jī)會,并且在“發(fā)現(xiàn)”的過程和方法上加以引導(dǎo),那么學(xué)生既能學(xué)到鮮活的數(shù) 學(xué)知識,又能漸漸體驗和掌握合情推理的方法。在課堂教學(xué)中要善于捕捉有利的時機(jī),力求讓學(xué)生思維與數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題的思維過程或教材作者的思維過程同步,讓學(xué)生參與到知識的發(fā)生、發(fā)現(xiàn)過程中去,體驗到發(fā)明創(chuàng)造的思維情景、方法及樂趣,才有利于學(xué)生的創(chuàng)新活動。貫徹“兩個過程”原則,“兩個過程”就是數(shù)學(xué)定理(公式、法則)的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。貫徹“兩個過程”原則,必須做好兩個還原:第一個是還原數(shù)學(xué)定理(公式、法則)的原始發(fā)現(xiàn)過程,第二個是學(xué)生思維過程的還原。具體的做法是:①創(chuàng)設(shè)問題情景,引發(fā)并處理學(xué)生的先前經(jīng)驗和直覺;②開展觀察、實驗、類比、猜想、歸納、特殊化、一般化等活動,形成假設(shè);③利用已有知識進(jìn)行推理論證活動,檢驗假設(shè),獲得新知,并納入到有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。比如在三角形內(nèi)角和180o的教學(xué)中,通過學(xué)生剪裁拼合三個內(nèi)角,再度量的方式發(fā)現(xiàn)得出三角形內(nèi)角和180o;軸對稱圖形、線、底邊上的中線、高線重合(三線合一)等,教材中沒有加以證明,就用折紙的方法使學(xué)生確定它們的存在;在圓的教學(xué)中,結(jié)合圓的軸對稱性,發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論;利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性,發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系;通過觀察、度量,發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角之間的數(shù)量關(guān)系;利用直觀操作,發(fā)現(xiàn)點與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系等等。在學(xué)生通過觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后,還要求學(xué)生對發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明,使直觀操作和邏輯推理有機(jī)地整合在一起,使推理論證成為學(xué)生觀察、實驗、探究得出結(jié)論的自然延續(xù),這個過程中就發(fā)展了學(xué)生的合情推理能力。

    三、在數(shù)學(xué)解題過程中培養(yǎng)合情推理能力

    可以說每一個數(shù)學(xué)解題思路的產(chǎn)生都是一個推理的完整過程,從條件要達(dá)到結(jié)論的彼岸,如何選擇入口?如何實現(xiàn)過渡?怎樣一步步逼近結(jié)論?這是一個集觀察、類比、聯(lián)想、直覺等合情推理手段和論證推理的過程。因此,每一個解題過程就是一個“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”,也為教師展示“數(shù)學(xué)智慧”提供了取之不盡的素材。在解題活動中,培養(yǎng)學(xué)生“不妨猜一猜”的良好習(xí)慣。在解題活動中,要引導(dǎo)學(xué)生在沒有答案(或結(jié)論)時,可先猜測一下答案(或結(jié)論);猜測答數(shù)的形式,答數(shù)的范圍;猜測中間結(jié)論;猜測解題方向,以形成思路;對某思路的能解性作出估計;培養(yǎng)學(xué)生“不妨猜一猜”的良好習(xí)慣。例1:在學(xué)完乘法公式后教師可為學(xué)生創(chuàng)設(shè)這樣一個思維情境:

    請觀察下列等式:

    (a-1)(a+1)=a2-1

    (a-1)(a2+a+1)=a3-1

    (a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1

    根據(jù)前面的等式你能得到什么規(guī)律?請用一個等式表示你的發(fā)現(xiàn),并說明理由。學(xué)生對這樣的問題樂于思考和探究,并通過類比容易得到:

    (a-1)(an+an-1+an-2+……+a+1)=an-1-1

    該結(jié)論學(xué)生運(yùn)用多項式的乘法法則可直接推得,這里證明從略。對教師來講,前面的過程只是一種精心設(shè)計,而對學(xué)生來說卻經(jīng)歷了一個從感性認(rèn)識到解決問題的完整歷程,其活動的程序大致可表示如下:觀察——研究——歸納——得到猜想——驗證。猜想是通向創(chuàng)造的門扉,猜想給創(chuàng)造以巨大的推動力。在創(chuàng)造的過程中,猜想常常是一個接一個的,一個猜想被證實了,又轉(zhuǎn)入另一個猜想;一個猜想被否定了,又調(diào)換一個新猜想。猜想和證明有時遙遙無期,如哥德巴赫猜想;有時近在咫尺。在猜想中,已經(jīng)包含了學(xué)生跳躍性的思維,我們要善于捕捉學(xué)生稍縱即逝的思維火花,使它發(fā)揚(yáng)光大。

    總之,在中學(xué)教學(xué)中進(jìn)行合情推理方法研究,是提高課堂效率、優(yōu)化教學(xué)條件、提升教學(xué)水平的一種途徑,對于學(xué)生,它不但能使學(xué)生學(xué)到知識,會解決問題,而且能使學(xué)生掌握在新問題出現(xiàn)時該如何應(yīng)對的思想方法。對于老師,研究合情推理教學(xué)能提高自己的業(yè)務(wù)水平,增加課堂教學(xué)的趣味性,使教學(xué)更加有條理。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]G·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

    [2]G·波利亞.怎樣解題——數(shù)學(xué)教學(xué)法的新面貌[M].上海:上海科技教育出版社,2002.

    [3]教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(全日制義務(wù)教育實驗稿)[M] .北京:北京師范大出版社,2001.

    (作者單位:浙江省寧波市明樓中學(xué))

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