類比性習(xí)題設(shè)計的實踐與研究吳成

強程勝

類比性習(xí)題，指的就是習(xí)題的內(nèi)容相近，或蘊含的數(shù)學(xué)思想相同，或解決問題的方法相似.類比性習(xí)題可以是跨章節(jié)，即數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的綜合性類比習(xí)題，也可以是跨學(xué)科的，即不同學(xué)科的具有可類比性的習(xí)題.類比性習(xí)題的設(shè)計，就是要求教師根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容，把有一定關(guān)聯(lián)的、具有可類比性的習(xí)題，精選出一部分作為學(xué)生的作業(yè).類比性習(xí)題的設(shè)置，有利于培養(yǎng)學(xué)生類比推理的習(xí)慣，提升學(xué)生類比推理的能力，可使學(xué)生在類比中加深，在類比中提高，在類比中開拓思路，在類比中有新的發(fā)現(xiàn)，在類比中有新的創(chuàng)造，在類比中舉一反三，觸類旁通.通過類比，能由此及彼，由表及里，富于聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)散思維，不斷創(chuàng)新.

類比性習(xí)題的設(shè)置，教師應(yīng)從類比的方法和模式上加以研究，加以總結(jié)，提升類比性習(xí)題設(shè)計的質(zhì)量，使學(xué)生在類比性作業(yè)方面有感性認識.下面根據(jù)自己平時的教學(xué)實踐和研究，列舉幾種類比性習(xí)題設(shè)置的模式及它們的作用.

1由表及里型的類比性習(xí)題的設(shè)置

有一些問題，給出的條件（如函數(shù)、等式）比較復(fù)雜，如果單純從表象上看，代入數(shù)值或式子，則很難解決.解決這類問題，就是要透過表象看本質(zhì)，由表及里，要看到問題背后的東西，要抓住其隱含的本質(zhì)（如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)）.教師有意把這類問題放在一起，設(shè)置類比性習(xí)題，加強訓(xùn)練，可消除學(xué)生對這一類問題的表象認識，避免一葉障目，提高思維的深刻性和靈活性.

例1設(shè)f（x）=x3+x，x∈R，當0≤θ≤π2時，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.（-∞，0）

C.（-∞，12）D.（-∞，1）

解易知f（x）為奇函數(shù)，f′（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R上遞增，所以f（msinθ）>-f（1-m）=f（m-1），所以msinθ>m-1.

（1-sinθ）m<1對θ∈0，π2恒成立，當θ=π2時，sinθ=1，不等式為0<1恒成立，當0≤θ<π2時，0≤sinθ<1，0<1-sinθ≤1，所以m<11-sinθ，又易知11-sinθ≥1，所以m<1.故選D.

評注很多學(xué)生解決這類問題時，都是將msinθ，1-m代入函數(shù)式f（x）=x3+x得到一個不等式，然后試圖去解這個不等式，但由于式子很復(fù)雜，很難解決.其實，解決這類問題就是要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要抓住函數(shù)隱含的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性等，然后利用這些性質(zhì)輕松求解.這種解法，確實讓人開闊眼界，耳目一新，有效訓(xùn)練了思維的深刻性和靈活性.

練習(xí)題已知f（x）=ln（x+1+x2），f（a）+f（b-1）=0，求a+b的值.

此題的解答就是類似例題的解法，要發(fā)掘函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且是增函數(shù)（先容易看出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，進而根據(jù)奇函數(shù)得出在（-∞，+∞）上是增函數(shù)），然后利用這一性質(zhì)就可以很容易求解.

2由此及彼型的類比性習(xí)題的設(shè)置

有些問題，它們彼此之間存在著一定的邏輯關(guān)系，解決此類問題，可類比解決彼類問題.例如有些概念，它們的定義非常相近，有的僅僅只是一字之差.例如橢圓與雙曲線，就是將定義中“和”改成“差”，等差數(shù)列與等比數(shù)列，就是將定義中“差”改成“比”，定義僅僅是一字之差.這些概念有著一定的邏輯關(guān)系，因而與這些概念相關(guān)的習(xí)題，就必然有一定的內(nèi)在聯(lián)系，解決這類問題的方法也就必然有一定的相似之處.設(shè)置這樣的習(xí)題，就容易產(chǎn)生類比聯(lián)想，由此及彼；就容易從整體的高度、全局的高度去把握概念，運用概念，從而加深對概念的理解，提高靈活運用概念解決問題的能力；就容易激發(fā)學(xué)生的探究熱情，探究它們之間的內(nèi)在規(guī)律，尋求新的發(fā)現(xiàn).

練習(xí)題

1.已知P（x，y）是橢圓x2a2+y2b2=1上任一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，過其中一焦點作∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足H的軌跡方程.

2.已知P（x，y）是雙曲線x2a2-y2b2=1上任意一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，過其中一焦點作∠F1PF2的平分線，求垂足H的軌跡方程.

3解決問題的方法相似的類比性習(xí)題的設(shè)置

方法是根本，方法是鑰匙，這類習(xí)題的設(shè)置就是使學(xué)生能夠掌握解決其方法，從而達到“做一題，習(xí)一法，會一類”的地步.

解決問題的方法很多，針對某一方法，可以設(shè)置一些有一定巧妙且新穎，需要靈活運用這一方法解決的習(xí)題，這對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鉆研精神及創(chuàng)新思維大有裨益.

本題中就是采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)題設(shè)條件，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，使問題巧妙解決，類似這種構(gòu)造解決問題的題型變化很多，技巧性較強，高考考查的也比較多.如果教師有意將這類習(xí)題整編在一起，對學(xué)生強化訓(xùn)練這一方法，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性也是起到很好的效果.

練習(xí)題已知函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+x·f′（x）>x2，下面不等式在R上恒成立的是（）.

評注這是一道天津市的文科高考題，解決這個問題可類比例題的構(gòu)造函數(shù)的方法，不過這道題的構(gòu)造函數(shù)的技巧性還是比較強的，參見文[1].構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法，也是靈活性很強的方法，構(gòu)造法的靈巧確實使人思維變得深邃，多設(shè)置這類習(xí)題，就會有效培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.數(shù)學(xué)中還有許多其他的重要方法，教師就是要根據(jù)每一種方法，分別設(shè)置一定數(shù)量的類比性習(xí)題，從而不斷提高學(xué)生運用這些方法靈活解決問題的能力.

4同一概念之不同屬性的類比性習(xí)題的設(shè)置

有些概念，往往有不同的屬性，把它們的不同屬性再結(jié)合其他知識點，可編制和整理出具有一定深度和廣度的類比性習(xí)題.這類習(xí)題具有整體性、全局性、關(guān)聯(lián)性，往往能從不同角度、不同側(cè)面、不同層次對學(xué)生進行思維的訓(xùn)練，使學(xué)生對這一概念有著深刻而全面的理解和把握，能使學(xué)生有效進行思維的發(fā)散，拓寬學(xué)生的視野，同時能激發(fā)學(xué)生探究的熱情，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)的奧妙.例如三角形，它有“四心”（即重心、垂心、內(nèi)心、外心），再結(jié)合平面向量，以平面向量為載體，可編制出許多新穎、有趣的習(xí)題，使學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

練習(xí)題

1.在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，已知a·OA+b·OB+c·OC=0，求證：O為△ABC的內(nèi)心.

2.已知P點為△ABC外心，PA+PB=PC，求△ABC內(nèi)角C.

3.已知P是△ABC所在平面上一點，若PA·PB=PB·PC=PC·PA，則P是△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5不同概念之共同屬性的類比性習(xí)題的設(shè)置

不同的概念之間，它們往往有著某種共同的屬性，把這些共同的屬性，編制出可類比性的習(xí)題，有利于學(xué)生從聯(lián)系的角度思考問題，也有利于學(xué)生對這些共同的屬性進行深刻研究，還有利于培養(yǎng)學(xué)生善于思考、善于總結(jié)、善于歸納的良好思維品質(zhì).例如數(shù)學(xué)中的“定”與“動”的辯證關(guān)系，在很多問題之中都有所涉及.直線系恒過“定點”的問題；圓心（或球心）“定”而圓（球面）上的點“動”的問題；橢圓、雙曲線對稱中心“定”而曲線上的點“動”的問題；函數(shù)或數(shù)列中的“定值”或“不動點”問題；不等式中的“定值”問題等等.解決這類問題時，我們應(yīng)該抓住其中隱含的共同屬性“定”，巧妙地解決相關(guān)的“動”，從而達到化“繁”為“簡”，化“難”為“易”的效果，使問題順利求解.

6結(jié)束語

類比性習(xí)題設(shè)置的模式還有很多，例如降維類比、結(jié)構(gòu)類比、簡化類比等等.設(shè)置類比性習(xí)題，可提升作業(yè)的質(zhì)量，使作業(yè)布置更加科學(xué)、合理、有效，更能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，使他們在今后的工作中能用科學(xué)武裝頭腦，終身受益.

參考文獻

[1]吳成強.由一道題的錯解談構(gòu)造函數(shù)的技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（5）.

作者簡介吳成強，男，1963年生，中學(xué)高級教師，安徽省特級教師，安徽省池州市首屆拔尖人才，池州市首批名師工作室主持人，池州市學(xué)科帶頭人，池州市優(yōu)秀教師，十佳教師，安徽省教壇新星，安徽省先進工作者（省勞模），全國五一勞動獎?wù)芦@得者.發(fā)表學(xué)術(shù)論文50多篇，有兩篇論文被中國人民大學(xué)書報資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

程勝，男，1973年生，中學(xué)高級教師，池州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，2012年獲“池州市優(yōu)秀教師”稱號.

類比性習(xí)題，指的就是習(xí)題的內(nèi)容相近，或蘊含的數(shù)學(xué)思想相同，或解決問題的方法相似.類比性習(xí)題可以是跨章節(jié)，即數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的綜合性類比習(xí)題，也可以是跨學(xué)科的，即不同學(xué)科的具有可類比性的習(xí)題.類比性習(xí)題的設(shè)計，就是要求教師根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容，把有一定關(guān)聯(lián)的、具有可類比性的習(xí)題，精選出一部分作為學(xué)生的作業(yè).類比性習(xí)題的設(shè)置，有利于培養(yǎng)學(xué)生類比推理的習(xí)慣，提升學(xué)生類比推理的能力，可使學(xué)生在類比中加深，在類比中提高，在類比中開拓思路，在類比中有新的發(fā)現(xiàn)，在類比中有新的創(chuàng)造，在類比中舉一反三，觸類旁通.通過類比，能由此及彼，由表及里，富于聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)散思維，不斷創(chuàng)新.

類比性習(xí)題的設(shè)置，教師應(yīng)從類比的方法和模式上加以研究，加以總結(jié)，提升類比性習(xí)題設(shè)計的質(zhì)量，使學(xué)生在類比性作業(yè)方面有感性認識.下面根據(jù)自己平時的教學(xué)實踐和研究，列舉幾種類比性習(xí)題設(shè)置的模式及它們的作用.

1由表及里型的類比性習(xí)題的設(shè)置

有一些問題，給出的條件（如函數(shù)、等式）比較復(fù)雜，如果單純從表象上看，代入數(shù)值或式子，則很難解決.解決這類問題，就是要透過表象看本質(zhì)，由表及里，要看到問題背后的東西，要抓住其隱含的本質(zhì)（如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)）.教師有意把這類問題放在一起，設(shè)置類比性習(xí)題，加強訓(xùn)練，可消除學(xué)生對這一類問題的表象認識，避免一葉障目，提高思維的深刻性和靈活性.

例1設(shè)f（x）=x3+x，x∈R，當0≤θ≤π2時，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.（-∞，0）

C.（-∞，12）D.（-∞，1）

解易知f（x）為奇函數(shù)，f′（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R上遞增，所以f（msinθ）>-f（1-m）=f（m-1），所以msinθ>m-1.

（1-sinθ）m<1對θ∈0，π2恒成立，當θ=π2時，sinθ=1，不等式為0<1恒成立，當0≤θ<π2時，0≤sinθ<1，0<1-sinθ≤1，所以m<11-sinθ，又易知11-sinθ≥1，所以m<1.故選D.

評注很多學(xué)生解決這類問題時，都是將msinθ，1-m代入函數(shù)式f（x）=x3+x得到一個不等式，然后試圖去解這個不等式，但由于式子很復(fù)雜，很難解決.其實，解決這類問題就是要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要抓住函數(shù)隱含的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性等，然后利用這些性質(zhì)輕松求解.這種解法，確實讓人開闊眼界，耳目一新，有效訓(xùn)練了思維的深刻性和靈活性.

練習(xí)題已知f（x）=ln（x+1+x2），f（a）+f（b-1）=0，求a+b的值.

此題的解答就是類似例題的解法，要發(fā)掘函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且是增函數(shù)（先容易看出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，進而根據(jù)奇函數(shù)得出在（-∞，+∞）上是增函數(shù)），然后利用這一性質(zhì)就可以很容易求解.

2由此及彼型的類比性習(xí)題的設(shè)置

有些問題，它們彼此之間存在著一定的邏輯關(guān)系，解決此類問題，可類比解決彼類問題.例如有些概念，它們的定義非常相近，有的僅僅只是一字之差.例如橢圓與雙曲線，就是將定義中“和”改成“差”，等差數(shù)列與等比數(shù)列，就是將定義中“差”改成“比”，定義僅僅是一字之差.這些概念有著一定的邏輯關(guān)系，因而與這些概念相關(guān)的習(xí)題，就必然有一定的內(nèi)在聯(lián)系，解決這類問題的方法也就必然有一定的相似之處.設(shè)置這樣的習(xí)題，就容易產(chǎn)生類比聯(lián)想，由此及彼；就容易從整體的高度、全局的高度去把握概念，運用概念，從而加深對概念的理解，提高靈活運用概念解決問題的能力；就容易激發(fā)學(xué)生的探究熱情，探究它們之間的內(nèi)在規(guī)律，尋求新的發(fā)現(xiàn).

練習(xí)題

1.已知P（x，y）是橢圓x2a2+y2b2=1上任一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，過其中一焦點作∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足H的軌跡方程.

2.已知P（x，y）是雙曲線x2a2-y2b2=1上任意一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，過其中一焦點作∠F1PF2的平分線，求垂足H的軌跡方程.

3解決問題的方法相似的類比性習(xí)題的設(shè)置

方法是根本，方法是鑰匙，這類習(xí)題的設(shè)置就是使學(xué)生能夠掌握解決其方法，從而達到“做一題，習(xí)一法，會一類”的地步.

解決問題的方法很多，針對某一方法，可以設(shè)置一些有一定巧妙且新穎，需要靈活運用這一方法解決的習(xí)題，這對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鉆研精神及創(chuàng)新思維大有裨益.

本題中就是采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)題設(shè)條件，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，使問題巧妙解決，類似這種構(gòu)造解決問題的題型變化很多，技巧性較強，高考考查的也比較多.如果教師有意將這類習(xí)題整編在一起，對學(xué)生強化訓(xùn)練這一方法，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性也是起到很好的效果.

練習(xí)題已知函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+x·f′（x）>x2，下面不等式在R上恒成立的是（）.

評注這是一道天津市的文科高考題，解決這個問題可類比例題的構(gòu)造函數(shù)的方法，不過這道題的構(gòu)造函數(shù)的技巧性還是比較強的，參見文[1].構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法，也是靈活性很強的方法，構(gòu)造法的靈巧確實使人思維變得深邃，多設(shè)置這類習(xí)題，就會有效培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.數(shù)學(xué)中還有許多其他的重要方法，教師就是要根據(jù)每一種方法，分別設(shè)置一定數(shù)量的類比性習(xí)題，從而不斷提高學(xué)生運用這些方法靈活解決問題的能力.

4同一概念之不同屬性的類比性習(xí)題的設(shè)置

有些概念，往往有不同的屬性，把它們的不同屬性再結(jié)合其他知識點，可編制和整理出具有一定深度和廣度的類比性習(xí)題.這類習(xí)題具有整體性、全局性、關(guān)聯(lián)性，往往能從不同角度、不同側(cè)面、不同層次對學(xué)生進行思維的訓(xùn)練，使學(xué)生對這一概念有著深刻而全面的理解和把握，能使學(xué)生有效進行思維的發(fā)散，拓寬學(xué)生的視野，同時能激發(fā)學(xué)生探究的熱情，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)的奧妙.例如三角形，它有“四心”（即重心、垂心、內(nèi)心、外心），再結(jié)合平面向量，以平面向量為載體，可編制出許多新穎、有趣的習(xí)題，使學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

練習(xí)題

1.在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，已知a·OA+b·OB+c·OC=0，求證：O為△ABC的內(nèi)心.

2.已知P點為△ABC外心，PA+PB=PC，求△ABC內(nèi)角C.

3.已知P是△ABC所在平面上一點，若PA·PB=PB·PC=PC·PA，則P是△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5不同概念之共同屬性的類比性習(xí)題的設(shè)置

不同的概念之間，它們往往有著某種共同的屬性，把這些共同的屬性，編制出可類比性的習(xí)題，有利于學(xué)生從聯(lián)系的角度思考問題，也有利于學(xué)生對這些共同的屬性進行深刻研究，還有利于培養(yǎng)學(xué)生善于思考、善于總結(jié)、善于歸納的良好思維品質(zhì).例如數(shù)學(xué)中的“定”與“動”的辯證關(guān)系，在很多問題之中都有所涉及.直線系恒過“定點”的問題；圓心（或球心）“定”而圓（球面）上的點“動”的問題；橢圓、雙曲線對稱中心“定”而曲線上的點“動”的問題；函數(shù)或數(shù)列中的“定值”或“不動點”問題；不等式中的“定值”問題等等.解決這類問題時，我們應(yīng)該抓住其中隱含的共同屬性“定”，巧妙地解決相關(guān)的“動”，從而達到化“繁”為“簡”，化“難”為“易”的效果，使問題順利求解.

6結(jié)束語

類比性習(xí)題設(shè)置的模式還有很多，例如降維類比、結(jié)構(gòu)類比、簡化類比等等.設(shè)置類比性習(xí)題，可提升作業(yè)的質(zhì)量，使作業(yè)布置更加科學(xué)、合理、有效，更能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，使他們在今后的工作中能用科學(xué)武裝頭腦，終身受益.

參考文獻

[1]吳成強.由一道題的錯解談構(gòu)造函數(shù)的技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（5）.

作者簡介吳成強，男，1963年生，中學(xué)高級教師，安徽省特級教師，安徽省池州市首屆拔尖人才，池州市首批名師工作室主持人，池州市學(xué)科帶頭人，池州市優(yōu)秀教師，十佳教師，安徽省教壇新星，安徽省先進工作者（省勞模），全國五一勞動獎?wù)芦@得者.發(fā)表學(xué)術(shù)論文50多篇，有兩篇論文被中國人民大學(xué)書報資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

程勝，男，1973年生，中學(xué)高級教師，池州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，2012年獲“池州市優(yōu)秀教師”稱號.

類比性習(xí)題，指的就是習(xí)題的內(nèi)容相近，或蘊含的數(shù)學(xué)思想相同，或解決問題的方法相似.類比性習(xí)題可以是跨章節(jié)，即數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的綜合性類比習(xí)題，也可以是跨學(xué)科的，即不同學(xué)科的具有可類比性的習(xí)題.類比性習(xí)題的設(shè)計，就是要求教師根據(jù)所學(xué)的內(nèi)容，把有一定關(guān)聯(lián)的、具有可類比性的習(xí)題，精選出一部分作為學(xué)生的作業(yè).類比性習(xí)題的設(shè)置，有利于培養(yǎng)學(xué)生類比推理的習(xí)慣，提升學(xué)生類比推理的能力，可使學(xué)生在類比中加深，在類比中提高，在類比中開拓思路，在類比中有新的發(fā)現(xiàn)，在類比中有新的創(chuàng)造，在類比中舉一反三，觸類旁通.通過類比，能由此及彼，由表及里，富于聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)散思維，不斷創(chuàng)新.

類比性習(xí)題的設(shè)置，教師應(yīng)從類比的方法和模式上加以研究，加以總結(jié)，提升類比性習(xí)題設(shè)計的質(zhì)量，使學(xué)生在類比性作業(yè)方面有感性認識.下面根據(jù)自己平時的教學(xué)實踐和研究，列舉幾種類比性習(xí)題設(shè)置的模式及它們的作用.

1由表及里型的類比性習(xí)題的設(shè)置

有一些問題，給出的條件（如函數(shù)、等式）比較復(fù)雜，如果單純從表象上看，代入數(shù)值或式子，則很難解決.解決這類問題，就是要透過表象看本質(zhì)，由表及里，要看到問題背后的東西，要抓住其隱含的本質(zhì)（如函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)）.教師有意把這類問題放在一起，設(shè)置類比性習(xí)題，加強訓(xùn)練，可消除學(xué)生對這一類問題的表象認識，避免一葉障目，提高思維的深刻性和靈活性.

例1設(shè)f（x）=x3+x，x∈R，當0≤θ≤π2時，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.（-∞，0）

C.（-∞，12）D.（-∞，1）

解易知f（x）為奇函數(shù)，f′（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R上遞增，所以f（msinθ）>-f（1-m）=f（m-1），所以msinθ>m-1.

（1-sinθ）m<1對θ∈0，π2恒成立，當θ=π2時，sinθ=1，不等式為0<1恒成立，當0≤θ<π2時，0≤sinθ<1，0<1-sinθ≤1，所以m<11-sinθ，又易知11-sinθ≥1，所以m<1.故選D.

評注很多學(xué)生解決這類問題時，都是將msinθ，1-m代入函數(shù)式f（x）=x3+x得到一個不等式，然后試圖去解這個不等式，但由于式子很復(fù)雜，很難解決.其實，解決這類問題就是要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要抓住函數(shù)隱含的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性等，然后利用這些性質(zhì)輕松求解.這種解法，確實讓人開闊眼界，耳目一新，有效訓(xùn)練了思維的深刻性和靈活性.

練習(xí)題已知f（x）=ln（x+1+x2），f（a）+f（b-1）=0，求a+b的值.

此題的解答就是類似例題的解法，要發(fā)掘函數(shù)f（x）是奇函數(shù)且是增函數(shù)（先容易看出f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，進而根據(jù)奇函數(shù)得出在（-∞，+∞）上是增函數(shù)），然后利用這一性質(zhì)就可以很容易求解.

2由此及彼型的類比性習(xí)題的設(shè)置

有些問題，它們彼此之間存在著一定的邏輯關(guān)系，解決此類問題，可類比解決彼類問題.例如有些概念，它們的定義非常相近，有的僅僅只是一字之差.例如橢圓與雙曲線，就是將定義中“和”改成“差”，等差數(shù)列與等比數(shù)列，就是將定義中“差”改成“比”，定義僅僅是一字之差.這些概念有著一定的邏輯關(guān)系，因而與這些概念相關(guān)的習(xí)題，就必然有一定的內(nèi)在聯(lián)系，解決這類問題的方法也就必然有一定的相似之處.設(shè)置這樣的習(xí)題，就容易產(chǎn)生類比聯(lián)想，由此及彼；就容易從整體的高度、全局的高度去把握概念，運用概念，從而加深對概念的理解，提高靈活運用概念解決問題的能力；就容易激發(fā)學(xué)生的探究熱情，探究它們之間的內(nèi)在規(guī)律，尋求新的發(fā)現(xiàn).

練習(xí)題

1.已知P（x，y）是橢圓x2a2+y2b2=1上任一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，過其中一焦點作∠F1PF2的外角平分線的垂線，求垂足H的軌跡方程.

2.已知P（x，y）是雙曲線x2a2-y2b2=1上任意一點，F(xiàn)1、F2是兩焦點，過其中一焦點作∠F1PF2的平分線，求垂足H的軌跡方程.

3解決問題的方法相似的類比性習(xí)題的設(shè)置

方法是根本，方法是鑰匙，這類習(xí)題的設(shè)置就是使學(xué)生能夠掌握解決其方法，從而達到“做一題，習(xí)一法，會一類”的地步.

解決問題的方法很多，針對某一方法，可以設(shè)置一些有一定巧妙且新穎，需要靈活運用這一方法解決的習(xí)題，這對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鉆研精神及創(chuàng)新思維大有裨益.

本題中就是采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)題設(shè)條件，巧妙地構(gòu)造一個函數(shù)，使問題巧妙解決，類似這種構(gòu)造解決問題的題型變化很多，技巧性較強，高考考查的也比較多.如果教師有意將這類習(xí)題整編在一起，對學(xué)生強化訓(xùn)練這一方法，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性也是起到很好的效果.

練習(xí)題已知函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且2f（x）+x·f′（x）>x2，下面不等式在R上恒成立的是（）.

評注這是一道天津市的文科高考題，解決這個問題可類比例題的構(gòu)造函數(shù)的方法，不過這道題的構(gòu)造函數(shù)的技巧性還是比較強的，參見文[1].構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法，也是靈活性很強的方法，構(gòu)造法的靈巧確實使人思維變得深邃，多設(shè)置這類習(xí)題，就會有效培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性.數(shù)學(xué)中還有許多其他的重要方法，教師就是要根據(jù)每一種方法，分別設(shè)置一定數(shù)量的類比性習(xí)題，從而不斷提高學(xué)生運用這些方法靈活解決問題的能力.

4同一概念之不同屬性的類比性習(xí)題的設(shè)置

有些概念，往往有不同的屬性，把它們的不同屬性再結(jié)合其他知識點，可編制和整理出具有一定深度和廣度的類比性習(xí)題.這類習(xí)題具有整體性、全局性、關(guān)聯(lián)性，往往能從不同角度、不同側(cè)面、不同層次對學(xué)生進行思維的訓(xùn)練，使學(xué)生對這一概念有著深刻而全面的理解和把握，能使學(xué)生有效進行思維的發(fā)散，拓寬學(xué)生的視野，同時能激發(fā)學(xué)生探究的熱情，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)的奧妙.例如三角形，它有“四心”（即重心、垂心、內(nèi)心、外心），再結(jié)合平面向量，以平面向量為載體，可編制出許多新穎、有趣的習(xí)題，使學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

練習(xí)題

1.在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，已知a·OA+b·OB+c·OC=0，求證：O為△ABC的內(nèi)心.

2.已知P點為△ABC外心，PA+PB=PC，求△ABC內(nèi)角C.

3.已知P是△ABC所在平面上一點，若PA·PB=PB·PC=PC·PA，則P是△ABC的（）.

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5不同概念之共同屬性的類比性習(xí)題的設(shè)置

不同的概念之間，它們往往有著某種共同的屬性，把這些共同的屬性，編制出可類比性的習(xí)題，有利于學(xué)生從聯(lián)系的角度思考問題，也有利于學(xué)生對這些共同的屬性進行深刻研究，還有利于培養(yǎng)學(xué)生善于思考、善于總結(jié)、善于歸納的良好思維品質(zhì).例如數(shù)學(xué)中的“定”與“動”的辯證關(guān)系，在很多問題之中都有所涉及.直線系恒過“定點”的問題；圓心（或球心）“定”而圓（球面）上的點“動”的問題；橢圓、雙曲線對稱中心“定”而曲線上的點“動”的問題；函數(shù)或數(shù)列中的“定值”或“不動點”問題；不等式中的“定值”問題等等.解決這類問題時，我們應(yīng)該抓住其中隱含的共同屬性“定”，巧妙地解決相關(guān)的“動”，從而達到化“繁”為“簡”，化“難”為“易”的效果，使問題順利求解.

6結(jié)束語

類比性習(xí)題設(shè)置的模式還有很多，例如降維類比、結(jié)構(gòu)類比、簡化類比等等.設(shè)置類比性習(xí)題，可提升作業(yè)的質(zhì)量，使作業(yè)布置更加科學(xué)、合理、有效，更能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生探究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性，使他們在今后的工作中能用科學(xué)武裝頭腦，終身受益.

參考文獻

[1]吳成強.由一道題的錯解談構(gòu)造函數(shù)的技巧[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012（5）.

作者簡介吳成強，男，1963年生，中學(xué)高級教師，安徽省特級教師，安徽省池州市首屆拔尖人才，池州市首批名師工作室主持人，池州市學(xué)科帶頭人，池州市優(yōu)秀教師，十佳教師，安徽省教壇新星，安徽省先進工作者（省勞模），全國五一勞動獎?wù)芦@得者.發(fā)表學(xué)術(shù)論文50多篇，有兩篇論文被中國人民大學(xué)書報資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

程勝，男，1973年生，中學(xué)高級教師，池州市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，2012年獲“池州市優(yōu)秀教師”稱號.