基于相平面法的車輛行駛穩(wěn)定性判定方法*

劉飛 熊璐，2 鄧律華，2 馮源，2 鄔肖鵬

(1.同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804;2.同濟(jì)大學(xué) 新能源汽車工程中心，上海 201804;3.上海汽車集團(tuán)股份有限公司 技術(shù)中心，上海 201804)

主動安全性一直以來都是汽車底盤控制領(lǐng)域重要的研究課題.目前，比較成熟的汽車主動安全技術(shù)包括:制動防抱死系統(tǒng)(ABS)、牽引力控制系統(tǒng)(ASR)、電子穩(wěn)定性程序(ESP)等［1］.其中，在對ESP 等電子控制系統(tǒng)的研究以及開發(fā)過程中，分析車輛行駛的穩(wěn)定性并建立相應(yīng)的判定方法，無論是在策略開發(fā)初期對汽車失穩(wěn)數(shù)據(jù)的收集還是在穩(wěn)定性控制策略設(shè)計(jì)階段都是必不可少的.

在對車輛進(jìn)行穩(wěn)定性分析的研究中，出現(xiàn)過兩類方法:一類是基于李雅普諾夫穩(wěn)定性第二定理的方法［2-6］，另一類則借助了相平面這一工具［7］.

二階系統(tǒng)可以很直觀地從相平面上對車輛進(jìn)行穩(wěn)定性分析.某車輛行駛的相平面顯示，車輛的失穩(wěn)與鞍點(diǎn)密切相關(guān)，在前輪轉(zhuǎn)角達(dá)0.015 rad 時(shí)，車輛狀態(tài)變量向量場的特性發(fā)生較大變化，即出現(xiàn)鞍點(diǎn)分岔現(xiàn)象，而車輛是否穩(wěn)定與此緊密相關(guān)［8-9］.

郭孔輝［10］通過能量相平面法，采用轉(zhuǎn)彎動能與前進(jìn)動能之比來評價(jià)轉(zhuǎn)向性能，從能量角度說明了車輛的失穩(wěn).John 和Jeffrey［11］利用側(cè)向加速度與橫擺角速度建立相平面，通過切點(diǎn)法和逆軌跡法找到確定側(cè)向穩(wěn)定區(qū)域的邊界.Young 等［12］在此基礎(chǔ)上引入了拓?fù)鋵W(xué)來界定車輛的側(cè)向穩(wěn)定區(qū)域，并通過對平衡點(diǎn)的局部線性化建立了簡易的穩(wěn)定性判據(jù).Shoji 等［13］利用車輛質(zhì)心側(cè)偏角及質(zhì)心側(cè)偏角速度構(gòu)建β-相平面來對車輛行駛的側(cè)向穩(wěn)定性進(jìn)行分析，認(rèn)為β-相平面比由車輛質(zhì)心側(cè)偏角與橫擺角速度構(gòu)成的β-相平面更適合分析車輛行駛的側(cè)向穩(wěn)定特性.張晨晨等［14］認(rèn)為相平面穩(wěn)定區(qū)域?yàn)閮蓷l平行斜線之間的平行區(qū)域，并分析了速度、附著系數(shù)以及轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角對斜線的影響.Taeyoung 等［15］認(rèn)為β-相平面中的穩(wěn)定區(qū)域可以用一個(gè)菱形來表示，菱形的左、右頂點(diǎn)為相圖的鞍點(diǎn)，上、下端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.Anne 等［16］通過仿真驗(yàn)證了文獻(xiàn)［15］中方法的工作效果，但該方法在某些情況下找不到上、下端點(diǎn).

1 仿真模型的構(gòu)建

為便于后續(xù)研究，文中建立了與實(shí)車相應(yīng)的仿真模型(參數(shù)見表1)，通過相關(guān)的車輛試驗(yàn)獲取了實(shí)車試驗(yàn)平臺電動車的參數(shù)以及車輛側(cè)向特性數(shù)據(jù)，對前、后軸側(cè)偏特性進(jìn)行了擬合(結(jié)果見圖1)，采用簡化的魔術(shù)公式［17］建立輪胎模型，前、后軸側(cè)向力擬合公式分別如式(1)和(2)所示:

式中，μ 為路面附著系數(shù)，F(xiàn)z，f和Fz，r分別為前、后軸的垂向力，αf和αr分別為此時(shí)前、后軸的側(cè)偏角.之后，根據(jù)得到的車輛參數(shù)，在Matlab/Simulink 仿真環(huán)境下建立車輛非線性單軌模型，并在Carsim 動力學(xué)仿真軟件中建立與電動車試驗(yàn)平臺相應(yīng)的仿真模型，最后在典型的試驗(yàn)工況下對仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證.

表1 仿真車輛模型的部分參數(shù)Table 1 Partial vehicle parameters of simulation model

為驗(yàn)證所建立的仿真模型的正確性，文中設(shè)計(jì)了蛇行試驗(yàn).從模型響應(yīng)與實(shí)車試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比(見圖2)中可以看出，仿真模型的橫擺角速度和側(cè)向加速度能很好地與實(shí)車吻合，可以用于相平面分析.

圖1 前、后軸等效側(cè)偏特性曲線Fig.1 Equivalent cornering characteristic curves of front and rear axes

圖2 蛇形工況下仿真與實(shí)車試驗(yàn)數(shù)據(jù)對比Fig.2 Comparison between simulated results and real-vehicle test data under snake-shaped condition

2 相圖的建立

2.1 相平面分析方法的基礎(chǔ)

二階自治系統(tǒng)可由2 個(gè)標(biāo)量微分方程表示:

令x(t)=(x1(t)，x2(t))是方程(3)和(4)的解，初始狀態(tài)為x0(x1(0)，x2(0))，對于所有時(shí)刻t(t≥0)，x(t)的解在x1-x2平面的軌線是一條通過x0點(diǎn)的曲線，該曲線稱為方程(3)和(4)始于x0點(diǎn)的軌線或軌道.x1-x2平面通常稱為狀態(tài)平面或相平面.

相軌跡在相平面上任意一點(diǎn)的斜率為

根據(jù)非線性單軌車輛模型的動力學(xué)分析，若前輪轉(zhuǎn)角固定，其微分方程如式(6)和(7)所示:

式中，k1、k2分別為前、后軸等效側(cè)偏剛度，vx為縱向車速，δf為前輪轉(zhuǎn)角.

式(6)和(7)可以表示為如式(8)和(9)所示的二階自治系統(tǒng):

2.2 質(zhì)心側(cè)偏角－質(zhì)心側(cè)偏角速度相圖

研究車輛穩(wěn)定性時(shí)，質(zhì)心側(cè)偏角β 是研究的重點(diǎn)［14］.根據(jù)前面建立的非線性車輛單軌模型，在確定的縱向車速vx、路面附著系數(shù)μ 和前輪轉(zhuǎn)角δf下，只需繪制不同初始值(β(0)，(0))下系統(tǒng)的相軌跡，便可得到車輛的相圖.

圖3 β-相圖Fig.3 β-phase plane

圖3 是vx為70 km/h、μ 為1.0、前輪轉(zhuǎn)角δf為0°時(shí)的β-相圖.圖中實(shí)線為收斂到穩(wěn)定點(diǎn)的軌跡線，虛線為無法收斂到穩(wěn)定點(diǎn)的軌跡線(下文的相圖均采用此方法區(qū)分軌跡線)，三角形標(biāo)識為該相圖的鞍點(diǎn).在該相圖中，黑色軌跡線區(qū)域?yàn)橄嗥矫娴姆€(wěn)定區(qū)域，表示車輛的自治系統(tǒng)在該區(qū)域均能收斂到穩(wěn)定點(diǎn).

3 穩(wěn)定區(qū)域的劃分及變化

3.1 穩(wěn)定區(qū)域的劃分

文獻(xiàn)［12］提出了雙線法來劃分穩(wěn)定區(qū)域，如圖4所示，但這種方法存在一個(gè)弊端——只要側(cè)偏角速度足夠小，即使側(cè)偏角很大，車輛也是穩(wěn)定的.

圖4 雙線法定義的β-相圖穩(wěn)定區(qū)域Fig.4 Stability region in β- phase plane defined via double line method

圖5 所示為vx=70 km/h、μ=1.0、δf=8°時(shí)的β-相圖.可以看出，當(dāng)穩(wěn)定區(qū)域極小時(shí)，雙線法并不適合用來劃分穩(wěn)定區(qū)域.

文獻(xiàn)［13］中提出了菱形法來劃分穩(wěn)定區(qū)域，如圖6 所示.該方法所采用的菱形的上、下端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，但從圖5 所示的相圖來看，采用這種方法可能會出現(xiàn)找不到菱形上、下端點(diǎn)的情況.因此，文中采用改進(jìn)的五特征值菱形法劃分穩(wěn)定區(qū)域，使菱形上下端點(diǎn)的β 值與穩(wěn)定點(diǎn)的相同(結(jié)果見圖7).文中方法確定的菱形需要記錄5 個(gè)參數(shù)的位置，分別為左、右端點(diǎn)的β 值，上、下端點(diǎn)的值以及平衡點(diǎn)的β 值，因此可以避免前述雙線法和菱形法的局限，并用統(tǒng)一的方法準(zhǔn)確地確定相圖的穩(wěn)定區(qū)域.

圖6 菱形法定義的β-相圖穩(wěn)定區(qū)域Fig.6 Stability region in β- phase plane defined via diamond method

圖7 改進(jìn)的五特征值菱形法確定的穩(wěn)定區(qū)域Fig.7 Stability region defined via advanced five-characteristicvalue diamond method

3.2 穩(wěn)定區(qū)域特征值的確定方法

表2 3 個(gè)變量的變化范圍及變化步長Table 2 Variation range and step of three variables

圖8(a)－8(f)分別示出了車速為20，30，…，70 km/h時(shí)質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定值隨路面附著系數(shù)、前輪轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律.

圖8 質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定值的變化規(guī)律Fig.8 Variation of stability point of sideslip angle

從圖8 可以看出:曲線在垂向的分布比較均勻，因此路面附著系數(shù)劃分為0.2、0.4、0.6、0.8、1.0共5 個(gè)樣點(diǎn);質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定值的拐點(diǎn)處于5°～15°之間，故前輪轉(zhuǎn)角劃分為0°、5°、10°、15°、20°、30°共6 個(gè)樣點(diǎn).從圖8 還可看出，對應(yīng)于20～50 km/h 速度區(qū)間的質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定值的變化趨勢有比較大的差異，縱向車速大于50 km/h 后，質(zhì)心側(cè)偏角穩(wěn)定值的變化趨勢比較相似.因此，將縱向車速劃分為20、30、40、50、70 km/h 共5 個(gè)樣點(diǎn).

根據(jù)前面劃分的vx、μ 及δf樣點(diǎn)，可得到150(5 ×5 ×6=150)個(gè)樣工況.在Matlab 環(huán)境下繪制樣工況下的β-相平面圖，然后根據(jù)上述的菱形穩(wěn)定區(qū)域確定方法獲取其5 個(gè)特征值，這些菱形特征值組成了全工況下穩(wěn)定區(qū)域的查表數(shù)據(jù)庫.

3.3 相圖菱形穩(wěn)定區(qū)域的變化規(guī)律

圖9－12分別表示縱向車速vx為40km/h時(shí)菱形各端點(diǎn)位置隨μ 和δf的變化.可以看到，菱形右端點(diǎn)隨著δf的增大先向右移動，后迅速向左移動，直至失去穩(wěn)定.菱形上端點(diǎn)的變化規(guī)律與右端點(diǎn)的相似，先向上移動，再迅速靠近橫軸.與前面兩個(gè)端點(diǎn)不同，菱形下端點(diǎn)始終單調(diào)地往橫軸靠近，而左端點(diǎn)沒有很明顯的變化，只是整體趨勢在往右移動，這是由于左端點(diǎn)并非左鞍點(diǎn)，在相圖流形發(fā)生變化之后，其與左鞍點(diǎn)的相對位置也會跟著變化.

圖9 縱向車速vx 為40 km/h 時(shí)菱形右端點(diǎn)的變化Fig.9 Variation of diamond right point when vx is 40 km/h

圖10 縱向車速vx 為40 km/h 時(shí)菱形左端點(diǎn)的變化規(guī)律Fig.10 Variation of diamond left point when vx is 40 km/h

圖11 縱向車速vx 為40 km/h 時(shí)菱形上端點(diǎn)的變化規(guī)律Fig.11 Variation of diamond up point when vx is 40 km/h

圖12 縱向車速vx 為40 km/h 時(shí)菱形下端點(diǎn)變化規(guī)律Fig.12 Variation of diamond bottom point when vx is 40 km/h

圖13 所示為相同車速和前輪轉(zhuǎn)角下菱形穩(wěn)定區(qū)域隨路面附著系數(shù)的變化.可以看出，隨附著系數(shù)的增大，穩(wěn)定區(qū)域變大，當(dāng)附著系數(shù)為0.2 時(shí)，菱形穩(wěn)定區(qū)域?yàn)閳D中的一個(gè)點(diǎn).

圖13 菱形穩(wěn)定區(qū)域隨路面附著系數(shù)的變化Fig.13 Variation of diamond stability region with road adhesion coefficient

圖14 所示為相同車速和路面附著系數(shù)下菱形穩(wěn)定區(qū)域隨前輪轉(zhuǎn)角的變化.由圖可知:隨著前輪轉(zhuǎn)角的增大，穩(wěn)定區(qū)域往轉(zhuǎn)向方向偏移;當(dāng)方向盤為正的時(shí)候，菱形4 個(gè)端點(diǎn)開始往右(β 為正)方向偏移，上下端點(diǎn)同時(shí)往上(為正)方向偏移.從菱形形狀來看，以穩(wěn)定點(diǎn)的位置來分割，右側(cè)區(qū)域增大，而左側(cè)區(qū)域縮小.但當(dāng)前輪轉(zhuǎn)角增大到一定程度后，穩(wěn)定區(qū)域開始縮小，直至完全消失，圖中前輪轉(zhuǎn)角為30°時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域?yàn)閳D中一個(gè)點(diǎn).

圖14 菱形穩(wěn)定區(qū)域隨前輪轉(zhuǎn)角的變化Fig.14 Variation of diamond stability region with front wheel angle

4 車輛穩(wěn)定性控制的仿真分析

4.1 基于相平面法的穩(wěn)定性判定方法

如圖15 所示，結(jié)合前面所建立的數(shù)據(jù)庫，可以確定基于相平面法的車輛操縱穩(wěn)定性判定方法.該判定方法需要輸入vx、μ、δf、β、信號.從普通車輛的傳感器配置來看，vx可以通過估計(jì)得到，δf可以通過傳感器獲取，而μ 和β 需要進(jìn)行辨識，這里不對此部分內(nèi)容進(jìn)行闡述.穩(wěn)定區(qū)域的5 個(gè)特征值通過縱向車速、路面附著系數(shù)和前輪轉(zhuǎn)角來進(jìn)行離線查值得到，然后再實(shí)時(shí)判斷所辨識的質(zhì)心側(cè)偏角和質(zhì)心側(cè)偏角速度是否在菱形區(qū)域內(nèi)，在則判定車輛處于穩(wěn)定區(qū)域，不在則判定車輛處于失穩(wěn)狀態(tài).

圖15 基于相平面法的穩(wěn)定性判定方法示意圖Fig.15 Schematic diagram of stability criterion based on phase plane method

4.2 結(jié)合穩(wěn)定性判定方法的穩(wěn)定性控制仿真

將基于相平面法的穩(wěn)定性判定方法的判定結(jié)果作為穩(wěn)定性控制策略的介入依據(jù)，結(jié)合已有的穩(wěn)定性控制進(jìn)行仿真分析，在Matlab/Simulink 環(huán)境下建立了四輪驅(qū)動電動車的Carsim 仿真模型，選用的車輛模型參數(shù)列于表1，仿真工況為ISO 3888-2:2002 避障工況，車速為60 km/h，路面附著系數(shù)為0.8.車輛的控制算法結(jié)構(gòu)如圖16 所示.圖中，穩(wěn)定性控制只有在介入判斷成立時(shí)才起作用，其余時(shí)間則主要通過操縱改善控制模塊來分配4 個(gè)車輪的轉(zhuǎn)矩.

圖16 車輛穩(wěn)定性控制算法的結(jié)構(gòu)Fig.16 Algorithm frame of vehicle stability control

施加控制與未施加控制車輛通過工況的情況對比如圖17 所示，圖中空心小圓圈為控制算法的介入時(shí)刻，控制算法是否介入由穩(wěn)定性判據(jù)給出.未施加控制的車輛在通過工況時(shí)出現(xiàn)了明顯的甩尾和碰樁，未能通過工況;施加控制的車輛在跟蹤理想軌線的同時(shí)保持了良好的車身姿態(tài)，安全通過了工況.

圖17 ISO 雙移線仿真結(jié)果Fig.17 Simulation results of ISO double lane change

由圖17 可知，以前述穩(wěn)定性判定方法的判定結(jié)果作為介入控制依據(jù)，在車輛進(jìn)入失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)將穩(wěn)定性算法介入，可以提高車輛穩(wěn)定性，使車輛保持穩(wěn)定性狀態(tài)下原有的特性，同時(shí)避免因穩(wěn)定性算法過多介入控制而改變駕駛員的操縱感覺.

5 結(jié)語

文中提出了改進(jìn)的五特征值菱形穩(wěn)定區(qū)域劃分方法，分析表明，該方法能比原有的菱形法和雙線法更準(zhǔn)確地表示相圖的穩(wěn)定區(qū)域.文中還提出了確定菱形穩(wěn)定區(qū)域特征值的方法，建立了全工況下質(zhì)心側(cè)偏角－質(zhì)心側(cè)偏角速度相圖的穩(wěn)定區(qū)域特征值數(shù)據(jù)庫，并分析了特征值及穩(wěn)定區(qū)域的變化規(guī)律.仿真結(jié)果表明，基于相平面分析的車輛穩(wěn)定性判定方法可以為穩(wěn)定性控制策略介入控制提供準(zhǔn)確的依據(jù)，提高車輛穩(wěn)定性.

然而，文中對判據(jù)工作效果的對比及評價(jià)是通過大量仿真試驗(yàn)得到的，后續(xù)研究中，需對文中提出的穩(wěn)定性判據(jù)和控制算法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)，并進(jìn)行實(shí)車試驗(yàn)驗(yàn)證.

［1］汽車主動安全技術(shù)編委會.世界汽車主動安全技術(shù)文獻(xiàn)選編［M］.北京:科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2008:1-13.

［2］Chou Sachs.On the stability in the sense of liapunov of a rubber tire vehicle ［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement，and Control，1976，98(1):180-185.

［3］楊秀建，王增才.汽車穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向失穩(wěn)的最近分叉點(diǎn)實(shí)時(shí)追蹤［J］.農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2009，40(1):21-25.Yang Xiu-jian，Wang Zeng-cai.Real-time tracking of the closest bifurcation for vehicle steady-state corning stability［J］.Transaction of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2009，40(1):21-25.

［4］楊秀建.極限工況下汽車轉(zhuǎn)向失穩(wěn)的非線性動力學(xué)特性與主動控制研究［D］.濟(jì)南:山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院汽車工程系，2009.

［5］楊秀建，王增才.極限工況下周期轉(zhuǎn)向汽車側(cè)向動力穩(wěn)定性及分岔分析［J］.公路交通科技，2009，26(11):141-145，152.Yang Xiu-jian，Wang Zeng-cai.Analysis on lateral dynamic stability and bifurcation of vehicle periodic steering under critical condition ［J］.Journal of Highway and Transportation Research and Development，2009，26(11):141-145，152.

［6］毛振勇.車輛轉(zhuǎn)向穩(wěn)定性的勢能分析方法研究［D］.長春:吉林大學(xué)汽車工程學(xué)院，2003.

［7］劉偉.基于質(zhì)心側(cè)偏角相平面的車輛穩(wěn)定性控制系統(tǒng)研究［D］.長春:吉林大學(xué)汽車工程學(xué)院，2013.

［8］Hale J K，Kocak Hüseyin.Dynamics and bifurcations［M］.New York:Springer-Verlag，1991.

［9］Eiichi Ono，Shigeyuki Hosoe，Hoang D Tuan，et al.Bifurcation in vehicle dynamics and robust front wheel steering control［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，1998，6(3):412-420.

［10］郭孔輝.識別汽車方向控制特性的能量相平面表示方法［C］∥1984年長春汽車研究所學(xué)術(shù)交流會論文匯編.長春:中國汽車工業(yè)公司，1985.

［11］John S，Jeffrey C H.Estimating lateral stability region of nonlinear 2 degree-of-freedom vehicle ［C］∥Proceedings of International Congress and Exposition.Detroit:SAE，1998:1-7.

［12］Young E K，Jang M L.Estimation of the stability region of a vehicle in plane motion using a topological approach［J］.International Journal of Vehicle Design，2002，30(3):181-192.

［13］Shoji Inagaki，Ikuo Kshiro，Masaki Yamamoto.Analysis on vehicle stability in critical cornering using phaseplane method［J］.JSAE Review，1995，16(2):287-292.

［14］張晨晨，夏群生，何樂.質(zhì)心側(cè)偏角對車輛穩(wěn)定性影響的研究［J］.汽車工程，2011，33(4):277-282.Zhang Chenchen，Xia Quansheng，He Le.A study on the influence of sideslip angle at mass center on vehicle stability［J］.Automotive Engineering，2011，33(4):277-282.

［15］Taeyoung C，Kyongsu Y.Design and evaluation of side slip angle-based vehicle stability control scheme on a virtual test track ［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2006，14(2):224-234.

［16］Anne V V，Lu Haiyan，Uwe Kiencke.Detection of critical driving situations using phase plane method for vehicle lateral dynamics control by rear wheel steering［C］∥Proceedings of the 17th World Congress，IFAC.Seoul:Elsevier，2008:5694-5699.

［17］Pacejka H B.Tyre and vehicle dynamics［M］.Oxford:Butterworth-Heinemann，2002.