基于修正的輪胎刷子模型的輪胎縱向力分析*

趙又群 李波 臧利國 張明杰 陳月喬

(南京航空航天大學(xué) 能源與動力學(xué)院，江蘇 南京 210016)

車輪是汽車的重要組成部件，也是汽車與地面接觸的唯一媒介，起到支撐負(fù)荷，向地面?zhèn)鬟f制動力、驅(qū)動力和轉(zhuǎn)向力，以及緩沖減振的作用.輪胎縱向力學(xué)特性是汽車驅(qū)動性能和制動性能的關(guān)鍵影響因素［1-2］.輪胎中橡膠的存在，導(dǎo)致車輪具有粘彈性特征，而且車輪通常是邊滾邊滑.車輪接地區(qū)域分為附著區(qū)和滑移區(qū).在附著區(qū)，輪胎與地面之間沒有相對滑動，靜摩擦力提供縱向力;在滑移區(qū)，輪胎與地面之間存在相對滑動，動摩擦力提供縱向力.因此，在車路接地印跡內(nèi)，輪胎的受力狀況對汽車行駛穩(wěn)定性和操縱性具有重要影響.

在輪胎建模領(lǐng)域，研究者們進(jìn)行了大量的探索［3-12］，建立了經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃臀锢砟Ｐ蛢纱箢惸Ｐ?經(jīng)驗?zāi)Ｐ透鶕?jù)車輪實驗數(shù)據(jù)，通過插值或函數(shù)擬合方法給出預(yù)測車輪特性的公式，需要大量的實驗數(shù)據(jù);物理模型則是根據(jù)車輪與路面之間的相互作用機理和力學(xué)關(guān)系來建立，用以預(yù)測力或力矩的變化.在物理模型中，車輪通常被簡化為一系列理想化、具有給定物理特性的、徑向排列的彈性單元體.研究者們利用各種物理模型對充氣輪胎性能進(jìn)行了分析［13］.文中在充分考慮輪胎與路面接觸區(qū)域摩擦狀況的基礎(chǔ)上，建立了考慮胎面和胎肩剛度影響的、修正的輪胎刷子模型，推導(dǎo)了車輪縱向力解析表達(dá)式，并通過實驗驗證了所提模型的有效性.

1 魔術(shù)公式概述

Pacejka 等［14-15］提出的魔術(shù)公式(Magic Formula)在輪胎仿真領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，該公式是一個基于縱向力、側(cè)向力和回正力矩測量數(shù)據(jù)的半經(jīng)驗公式.每種輪胎的特性取決于一套系數(shù)，這些系數(shù)的數(shù)量取決于特定的輸出參數(shù)，如縱向力、側(cè)向力和回正力矩.通過輸入垂向載荷、滑移率和側(cè)傾角度，魔術(shù)公式可以用來計算力和力偶.關(guān)于縱向力Fx的計算如下所示:

Fx=Dsin(C tan－1(Bφ)).

式中:m1，…，m8為輪胎待定系數(shù);k 為滑移率;Fz為垂向載荷.

這種半經(jīng)驗?zāi)Ｐ托枰揽看罅康膶嶒灁?shù)據(jù)，計算量大.

2 刷子模型的建立

如圖1 所示，利用刷子模型來對充氣輪胎進(jìn)行簡化［16］，把車輪看做由連接在剛性基座(輪緣)上的一系列可以產(chǎn)生伸縮變形的彈性刷毛所組成，這些刷毛起到承受垂向載荷以及產(chǎn)生車輪縱向、側(cè)向力的作用.自由滾動工況下，刷毛的變形如圖2(a)所示，刷毛接地區(qū)域長為2a，由于路面摩擦力的作用，當(dāng)車輪滾動速度大于車輪平移速度時，此時刷毛接地端有“粘附于路面”的趨勢，從而使刷毛單元產(chǎn)生變形，其兩端產(chǎn)生速度差，如圖2(b)所示.

圖1 車輪及其簡化模型Fig.1 Wheel and its simplified model

圖2 車輪縱向力的產(chǎn)生機理Fig.2 Formation mechanism of longitudinal force of wheel

刷毛接地長2a，高(即刷毛長度)h，以刷毛單元A-A1為例，其運動形式如圖3 所示.相對于車輪中心，刷毛單元A 點以角速度w 向后轉(zhuǎn)動，r 為等效半徑，下端A1由于路面附著的作用，以角速度u/r 向后轉(zhuǎn)動.因此，刷毛在x 方向的縱向變形Δx 為

圖3 刷子模型縱向受力圖Fig.3 Longitudinal force diagram of brush model

首先是真之位置從存在(者)自身轉(zhuǎn)移到了人的行為，具體說來則是轉(zhuǎn)移到了人的理智陳述中。[5]231-232這一位置的轉(zhuǎn)變在《存在與時間》范圍內(nèi)是著眼于此在的展開性和時間性來考察的，在1930年代的思想轉(zhuǎn)向之后則在形而上學(xué)的歷史發(fā)生中被確定。

式中，cex為刷毛單元的縱向剛度.因此，整個接觸區(qū)域的縱向力可以由積分得出，即

若將縱向力簡化為

cx(cx=2cexa2)為彈性梁縱向滑轉(zhuǎn)剛度，由式(4)可以看出，接觸區(qū)域的刷毛縱向力與滑轉(zhuǎn)率成線性正比關(guān)系.考慮彈性梁接地印跡內(nèi)的垂向載荷分布情況:

cez為彈性梁垂向剛度，若垂向力Fz已知，可由表達(dá)式求出cez.若地面附著系數(shù)為μ，則每一個單元的最大縱向力有如下關(guān)系式:

Fex≤μFez(x).

輪胎接地區(qū)域縱向力Fex的分布如圖4 所示.可以看出，臨界點xs將整個接地區(qū)域分為兩部分，前為附著區(qū)，后為滑移區(qū)，滑移區(qū)長度為

可以根據(jù)如下方程求解xs(通過式(2)和(5)中的x=xs):

Fex=μFez(x).

根據(jù)式(2)和(5)，

cexσx(a－x)=μcez(a2－x2)，

因此整個接地印跡的縱向力為兩部分之和:

即

圖4 接地區(qū)域的驅(qū)動力分布情況Fig.4 Driving force distribution on contact patch

3 刷子模型的修正

在式(6)中，車輪與地面之間的摩擦系數(shù)(即地面附著系數(shù))為μ，這顯然不準(zhǔn)確，需要進(jìn)行修正.由于在實際情況下靜摩擦系數(shù)μst通常大于滑動摩擦系數(shù)μsd，因此車輪縱向力應(yīng)該表示為

分析縱向附著區(qū)縱向力Fxt與滑移區(qū)縱向力Fxd對車輪縱向力的影響，可以將式(7)變?yōu)?/p>

式中，

通過大量的實驗了解到充氣輪胎的接地壓力分布如下:中間胎面剛度小，內(nèi)外兩側(cè)胎肩剛度大.故可以將cez和cex分別修正為中間和內(nèi)外兩側(cè)的垂向剛度cez1、cez2之和，以及縱向剛度cex1、cex2之和，而且它們之間是并聯(lián)關(guān)系.

根據(jù)輪胎尺寸設(shè)定特殊的“凹”路面，只讓輪胎內(nèi)外側(cè)胎肩接觸地面，測試內(nèi)、外側(cè)剛度.由于內(nèi)、外側(cè)胎面剛度和中間胎面剛度是并聯(lián)關(guān)系，將總剛度減去內(nèi)、外側(cè)剛度就可得到中間剛度.

接下來，求解接地長度a 的表達(dá)式.如圖5 所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得

式中，

所以

圖5 接地印跡長度的求解Fig.5 Solving of the length of contact patch

由式(11)、(14)和(7)可得輪胎縱向力學(xué)表達(dá)式如下:

而且，此時縱向力Fx也應(yīng)該是胎面縱向力Fxtr和胎肩縱向力Fxsh之和，即

其中，

4 參數(shù)分析與實驗驗證

圖6 為輪胎在接地區(qū)域的縱向力分布情況，由于輪胎靜摩擦大于動摩擦，所以接地靜摩擦圓在動摩擦圓外側(cè).刷毛縱向力Fex與靜摩擦圓μstFez(x)曲線交點的橫坐標(biāo)xs為附著區(qū)與滑移區(qū)的分界點.

圖6 輪胎接地區(qū)域的縱向力分布情況Fig.6 Longitudinal force distribution on contact patch of tire

從圖7 所示縱向力的變化可以看出:輪胎縱向力Fx在滑移率σx為0.20 左右時取得最大值;滑移區(qū)縱向力Fxd隨著滑移率σx增大而增大;附著區(qū)縱向力Fxt則有起伏，在σx為0.13 時取得最大值，隨后降低;當(dāng)滑移率σx在0.0～0.2 的區(qū)域內(nèi)時，附著區(qū)縱向力Fxt占主導(dǎo)地位，隨著滑移率的繼續(xù)增大，F(xiàn)xt逐漸減小，滑移區(qū)縱向力Fxd繼續(xù)增大，并占主導(dǎo)地位.

圖7 Fx、Fxd和Fxt的變化情況Fig.7 Variation of Fx，F(xiàn)xd and Fxt

由于假定胎面和胎肩刷子縱向變形量相同，從圖8 可以看出，F(xiàn)xsh和Fxtr的變化趨勢一致，而且由于胎面接觸面要大于胎肩接觸面，F(xiàn)xtr會大于Fxsh.

圖8 Fx、Fxtr和Fxsh的變化情況Fig.8 Variation of Fx，F(xiàn)xtr and Fxsh

圖9 所示為不同縱向剛度下的縱向力，其中縱向剛度cex1下的縱向力最大，cex3下的縱向力最小，可見縱向剛度變大有利于增大縱向力極值，相應(yīng)的滑移率也會降低.

圖9 不同縱向剛度下的縱向力Fig.9 Longitudinal forces at different longitudinal stiffnesses

圖10 所示為采用修正的刷子模型、魔術(shù)公式得到的縱向力與實驗結(jié)果的對比.由圖可見:隨滑移率的增大，兩種模型所得結(jié)果與實驗結(jié)果在0.0～0.2 的滑移率區(qū)域內(nèi)一致性較好，與σx成近似線性關(guān)系;隨著滑移率的增大，模型結(jié)果與實驗結(jié)果之間的差異增大，但誤差可以接受，這主要是由于定義為常數(shù)的cex和cez會產(chǎn)生非線性變化，導(dǎo)致求解的xs產(chǎn)生誤差，從而導(dǎo)致Fx的偏差變大.

圖10 模型結(jié)果和實驗結(jié)果的對比Fig.10 Comparison of the results obtained by models with the test ones

5 結(jié)語

文中通過對充氣輪胎進(jìn)行簡化，利用輪胎力摩擦橢圓理論，根據(jù)輪胎接地的靜態(tài)與動態(tài)附著狀態(tài)，建立了附著區(qū)與滑移區(qū)的縱向力解析表達(dá)式;在此基礎(chǔ)上，考慮胎面與胎肩剛度的不同，建立了修正的輪胎刷子模型.根據(jù)修正的輪胎刷子模型進(jìn)行的輪胎力及其影響因素分析表明:隨著滑移率的增大，滑移區(qū)動摩擦縱向力和附著區(qū)靜摩擦縱向力的變化趨勢具有明顯差異;由于胎面與胎肩縱向變形量大致相同，胎面與胎肩的縱向力變化趨勢基本一致，其合力為輪胎的縱向力;縱向剛度的增大會導(dǎo)致縱向力極值的增大，但是不會大于地面附著力.與魔術(shù)公式結(jié)果和實驗結(jié)果的對比表明，文中提出的修正的輪胎刷子模型的縱向力表達(dá)式具有一定的可靠性，可以為輪胎力學(xué)特性的優(yōu)化提供參考.后期還需要對各種類型輪胎進(jìn)行大量試驗，不斷提高和完善模型的實用性.

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