新型空間5 自由度并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形分析與規(guī)避*

陳炳發(fā) 丁旺生 丁力平 陳文亮

( 南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

并聯(lián)機構(gòu)具有高剛度、高精度和高承載力等特點，因此在機器人領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.其中，5 自由度并聯(lián)機構(gòu)是少自由度并聯(lián)機構(gòu)中極為重要的一類，有著突出的應(yīng)用前景［1］.在機構(gòu)設(shè)計方面，王海東等［2］提出了4PSS +PRPaU 5 自由度新型并聯(lián)機床的概念設(shè)計，Yi 等［3］提出了一種3 支鏈5 自由度2SPS + UPU 并聯(lián)機構(gòu)，Chen 等［4］提出了一種4UPS+RPS 5 自由度并聯(lián)機構(gòu).上述機構(gòu)的共同特點是能實現(xiàn)動平臺的三維轉(zhuǎn)動和兩維移動共5 個自由度.但迄今為止，能實現(xiàn)三維移動和兩維轉(zhuǎn)動自由度的并聯(lián)機構(gòu)則相對較少.

當(dāng)機構(gòu)出現(xiàn)奇異位形時，其自由度會發(fā)生變化，使機構(gòu)失去控制，甚至對機構(gòu)造成破壞［5-6］.因此，奇異位形分析與規(guī)避是并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計中的重要研究內(nèi)容.目前，并聯(lián)機構(gòu)奇異性的研究方法主要有基于機構(gòu)輸入、輸出速度的分析方法，Grassmann線幾何法，基于矩陣的分析方法以及基于螺旋理論的分類方法等［7］.很多學(xué)者對并聯(lián)機構(gòu)奇異位形的規(guī)避也做了研究.Yiu 等［8］提出利用冗余驅(qū)動來消除奇異，然而該方法只能消除機構(gòu)的驅(qū)動奇異，對運動奇異通常沒有效果，同時可能會產(chǎn)生新的奇異位形; Sen 等［9］提出利用規(guī)劃路徑的方法來規(guī)避奇異位形，但是對于具有連續(xù)工作空間和軌跡控制要求的并聯(lián)機構(gòu)，通過軌跡規(guī)劃規(guī)避運動奇異性是不可行的［10］，因此這類規(guī)避方法在實際應(yīng)用中具有一定的局限性.文中采用約束支鏈法設(shè)計了一種新型的、能夠?qū)崿F(xiàn)動平臺三維移動和兩維轉(zhuǎn)動的5 自由度并聯(lián)機構(gòu)，利用雅克比矩陣推導(dǎo)出了機構(gòu)產(chǎn)生奇異位形的判斷條件，并根據(jù)此判斷條件給出了兩種規(guī)避機構(gòu)奇異位形的方法.

1 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)的描述

所設(shè)計的2UPS+PRRPR 5 自由度并聯(lián)機構(gòu)模型如圖1 所示，機構(gòu)的坐標(biāo)示意圖見圖2.該機構(gòu)包括定平臺、動平臺，以及固定在定平臺上的直線導(dǎo)軌和支鏈1、2、3.其中，支鏈1 和3 是2 條相同的UPS 支鏈，支鏈2 為PRRPR 支鏈，是含一移動輸入和一轉(zhuǎn)動輸入的約束鏈( U、P、S、R 分別表示虎克鉸、移動副、球鉸、轉(zhuǎn)動副) .桿L2中的移動副和轉(zhuǎn)動 副1 為 支 鏈2 中 的 驅(qū) 動 副1、2.支 鏈3 中 的 移 動副為驅(qū)動副3，支鏈1 中的移動副和虎克鉸第二轉(zhuǎn)動副為驅(qū)動副4、5.其中，支鏈1、3 中虎克鉸的第一轉(zhuǎn)動副以及支鏈2 中的轉(zhuǎn)動副1、2 均與X 軸平行.虎克鉸的第二轉(zhuǎn)動副和支鏈2 中的轉(zhuǎn)動副3 均與Y軸平行.支鏈1、3 中與動平臺相連的S 副中心分別記為A1、A3，與定平臺連接的U 鉸中心分別記為B1、B3.支鏈2 與定平臺相連的滑塊副中心記為B2，與動平臺連接的轉(zhuǎn)動副中心記為A2.該并聯(lián)機構(gòu)含有串聯(lián)輸入支鏈，故通過3 條支鏈可實現(xiàn)動平臺三維移動和兩維轉(zhuǎn)動共5 個自由度的運動要求，結(jié)構(gòu)相對簡單，姿態(tài)調(diào)解能力強，可實現(xiàn)部分控制解耦.

圖1 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)模型Fig.1 Model of 2UPS+PRRPR parallel mechanism

圖2 并聯(lián)機構(gòu)坐標(biāo)示意圖Fig.2 Coordinate diagram of parallel mechanism

2 自由度分析

支鏈2 的螺旋系圖如圖3 所示.為方便起見，確定X 軸為沿轉(zhuǎn)動副1 的軸線方向，Z 軸豎直向上，Y軸由右手定則確定.在動平臺運動過程中，PRRPR支鏈的5 個螺旋的表達式如下:

式中，ai、bi( i=1，2，3) 為運動副軸線在O-XYZ 坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

圖3 約束支鏈螺旋示意圖Fig.3 Schematic diagram of the spiral of constrained branchedchain

對式( 1) 描述的分支螺旋系求反螺旋，得出PRRPR 分支的約束力螺旋為

式(2) 表示垂直于動平臺的一個約束力偶，它限制動平臺沿自身法線方向的轉(zhuǎn)動.

采用修正的G-K［11］公式計算機構(gòu)自由度M:

式中:d 為機構(gòu)的約束數(shù)，d=6－ ，為公共約束數(shù);n 為機構(gòu)的構(gòu)件數(shù); g 為機構(gòu)運動副總數(shù); fi為第i個運動副的自由度數(shù); v 為冗余約束數(shù); ξ 為機構(gòu)存在的局部自由度數(shù).

由于支鏈1、3 的自由度為6，屬于非約束支鏈，這樣3 條支鏈對動平臺共同提供一個沿動平臺法線方向的約束力偶;并且，該機構(gòu)沒有公共約束，因此=0，同時也無冗余約束，因此v=0.將上述數(shù)值代入式(3) ，可得M=5.由此證明所設(shè)計的并聯(lián)機構(gòu)具有三維移動和兩維轉(zhuǎn)動共5 個自由度.

3 雅克比矩陣推導(dǎo)

3.1 約束子矩陣

動平臺的瞬時速度用$p=() 表示，其中ωA表示動平臺相對于定坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動速率，vA表示動平臺相對于定坐標(biāo)系的移動速率.$p可以表示為支鏈上各個運動的線性組合［12-13］:

由圖4 可知，支鏈1、3 中各關(guān)節(jié)的運動螺旋可表示為

其中i=1，3.

同理，支鏈2 中各關(guān)節(jié)的運動螺旋為$12=

圖4 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)螺旋圖Fig.4 Spiral diagram of 2UPS+PRRPR parallel mechanism

兩個共面的線矢量互為反螺旋，軸線相互垂直的偶量與線矢量互為反螺旋，因此可通過幾何方法得到支鏈2 上的反螺旋.較簡單的方法是找到一個偶量，單位向量

式(6) 可以寫成矩陣形式:

式中，

Jc稱為約束子矩陣，其行矢量的物理意義就是由支鏈2 加在動平臺上的約束螺旋.由于支鏈1、3 對動平臺沒有提供約束，因此約束子矩陣不包括這兩條支鏈中的關(guān)節(jié)信息.

3.2 運動子矩陣

當(dāng)鎖定支鏈1、3 中的驅(qū)動副3 和4 時，增加的反螺旋與其他5 個螺旋的互易積應(yīng)該為零，并且與$3i的互易積不為零.由于兩個共面的線矢量互為反螺旋，故容易找到經(jīng)過Ai、Bi的線矢量與5 個螺旋分別共面.該反螺旋為

同理，當(dāng)鎖定支鏈1 虎克鉸上的轉(zhuǎn)動驅(qū)動$21時，增加的反螺旋為，此螺旋為經(jīng)過A1點且與$11平行的線矢量，

支鏈2 中，當(dāng)鎖定轉(zhuǎn)動副$22時，增加的驅(qū)動力反螺旋與$11、$32、$42、$52的互易積為0，須過D點與$12和$42相垂直.因此，

同理，鎖定移動副$42時，增加的驅(qū)動力反螺旋是過點D、B2的線矢量:

上式寫成矩陣形式為

式中，

將式(10)－(12) 寫成矩陣形式:

聯(lián)合Ja1、Ja2得到機構(gòu)的運動子矩陣:

式中，ωp和vp分別表示動平臺的角速度和線速度，

Ja是該機構(gòu)的運動子矩陣，其行矢量表示的是各支鏈對動平臺的驅(qū)動力.

聯(lián)合式(8) 、(13) 可得

式中，

J 是一個6 ×6 矩陣，是該機構(gòu)的完整雅克比矩陣，包含了該機構(gòu)的約束和運動特性.根據(jù)式(15) ，可以分析得出此機構(gòu)的全部奇異類型條件.

4 奇異位形分析

當(dāng)完整雅克比矩陣J 為不滿秩矩陣時，機構(gòu)將產(chǎn)生奇異位形，包括約束奇異和運動奇異［14］.當(dāng)J的子矩陣Jc為非滿秩時，機構(gòu)存在約束奇異; 當(dāng)子矩陣Ja為非滿秩時，則機構(gòu)出現(xiàn)運動奇異.

文中所提機構(gòu)中，若Jc矩陣秩小于1，機構(gòu)出現(xiàn)約束奇異.由式(8) 知，此時S52與S32平行.根據(jù)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點，S52與S32不可能出現(xiàn)平行，因此該機構(gòu)不存在約束奇異.

圖5 ⊥時的奇異位形圖Fig.5 Singularity configuration when ⊥

當(dāng)運動子矩陣Ja為非滿秩，或者是完整雅克比矩陣J 為非滿秩且約束子矩陣Jc為滿秩時，機構(gòu)出現(xiàn)運動奇異.通過式(13) 、(15) 可知，機構(gòu)在下列情況下發(fā)生運動奇異:和線性相關(guān)或和線性相關(guān)，但滿秩.例如，當(dāng)支鏈2 運動到AD⊥DB2時，與共軸并線性相關(guān)，此時Ja的秩降為4，機構(gòu)出現(xiàn)運動奇異.由2UPS + PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)的特點可知，當(dāng)⊥時，動平臺在Z 軸正向或Y 軸負(fù)向的位移達到邊界，即奇異位形屬于邊界奇異，如圖5 所示.

通過上述分析可知，2UPS + PRRPR 機構(gòu)不存在約束奇異，運動奇異僅出現(xiàn)在L2與L 相垂直時，奇異位形相對較少.

5 奇異位形的規(guī)避

圖6 2UPS+PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形Fig.6 Singularity configuration of 2UPS + PRRPR parallel mechanism

根據(jù)奇異位形產(chǎn)生的條件，可得到機構(gòu)出現(xiàn)奇異位形時的判別條件:

式中，rA為機構(gòu)動平臺外接圓半徑.

當(dāng)姿態(tài)角不變時，2UPS + PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形與動平臺在z 向的最大和y 向的最小運動范圍有極大關(guān)系.給定α、y 時，由式( 16) 可解得出現(xiàn)奇異位形時的zmax值:

zmax=sec α( Hcosα－Ssin α+ysin α+L) .

約束動平臺在z 正向的運動范圍小于zmax即可規(guī)避奇異位形的出現(xiàn).

同理，給定α、z，由式(16) 可解得機構(gòu)出現(xiàn)奇異位形時的ymin值:

ymin=csc α［( z－H) cosα+Ssin α－L］.

約束動平臺在y 向運動的最小值大于ymin即可規(guī)避奇異位形.當(dāng)動平臺在y 向運動的最小值需要減小時，可以通過減小其在z 向運動的最大值，而當(dāng)動平臺在z 向運動的最大值需要增大時，可以通過增大其在y 向運動的最小值，以實現(xiàn)對工作空間內(nèi)奇異位形的規(guī)避.

給定z、y 值時，由式(16) 可解得出現(xiàn)奇異位形時的αmax值:

通過約束動平臺繞X 軸的最大轉(zhuǎn)角αmax，亦可避免奇異位形的出現(xiàn).

2UPS+PRRPR 并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形規(guī)避也可通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)來實現(xiàn).桿L2與定長桿L 垂直( 即AD 與以B2D 為半徑的圓相切) 時機構(gòu)出現(xiàn)奇異位形，如圖7 所示.當(dāng)給定動平臺的工作空間范圍，即給定αmax、ymin、zmax時，機構(gòu)的奇異位形見圖7.

圖7 奇異位形規(guī)避示意圖Fig.7 Schematic diagram of singularity configuration avoidance

由式(16) 、( 17) 可解出定長桿L，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)L 至L'( L'＞L) ，如圖7 所示，此時AD'與B2D'不再垂直.由式(16) 可知，αmax、zmax是L 的增函數(shù)，ymin是L 的減函數(shù)，則動平臺在給定的工作空間內(nèi)將無奇異位形出現(xiàn).

6 數(shù)值算例

利用三維邊界搜索法［17］分析該機構(gòu)的工作空間.給定姿態(tài)角α、β，通過判斷空間一點是否為工作空間的邊界點，最后得到所有點的集合，即為工作空間的邊界.圖9 為定姿態(tài)角rad、β=0 rad 時機構(gòu)的工作空間.

圖8 機構(gòu)的奇異軌跡曲面Fig.8 Singular trajectory surface of the mechanism

圖9 定姿態(tài)工作空間Fig.9 Work space under fixed posture

圖10 定姿態(tài)位置奇異曲面Fig.10 Singularity configuration surface in fixed posture position

定姿態(tài)工作空間所包絡(luò)的定姿態(tài)位置奇異曲面部分即為該機構(gòu)在工作空間內(nèi)的奇異位置，如圖11 所示.

針對以上工作空間內(nèi)機構(gòu)出現(xiàn)的奇異位形，利用第5 節(jié)中給出的兩種奇異位形的規(guī)避方法，可避免機構(gòu)在此定姿態(tài)工作空間內(nèi)出現(xiàn)奇異位形.具體如下:

(1) 選擇動平臺工作范圍.利用奇異位形判別條件對機構(gòu)奇異性進行分析.若式( 16) 成立，則在此點機構(gòu)奇異;若不成立，則此點無奇異.給定α=rad、y=－40mm時，由第5 節(jié)可知zmax=453.2mm，此時⊥，機構(gòu)奇異.限制動平臺在z 向的運動范圍小于zmax，則不會出現(xiàn)奇異位形，如圖12 所示，約束范圍內(nèi)判別條件式F( y，z，α) ≠0.同理可驗證，適當(dāng)約束動平臺運動參數(shù)αmax、ymin的范圍，可避免奇異位形出現(xiàn).

圖11 定姿態(tài)工作空間內(nèi)的位置奇異曲面Fig.11 Position singularity configuration surface in the work space under fixed posture

圖12 奇異點與z 向位移的關(guān)系Fig.12 Relationship between singular point and z displacement

圖13 改進前后奇異點相對z 向的位置Fig.13 Location of singular point relative to z displacement before and after the improvement

(2) 改變結(jié)構(gòu)尺寸.當(dāng)αmax、ymin、zmax分別給定為rad、550 mm、－40 mm 時，由第5 節(jié)可知出現(xiàn)奇異位形的定長桿L 為750 mm，將結(jié)構(gòu)參數(shù)L 改為800 mm，利用式( 16) 奇異位形判別條件，可知改進后的邊界奇異點出現(xiàn)在所要求的工作區(qū)間外，如圖13 所示.改進后，機構(gòu)在給定工作空間范圍內(nèi)無奇異位形出現(xiàn).

7 結(jié)語

文中采用約束支鏈法設(shè)計了一種新型5 自由度并聯(lián)機構(gòu)，其結(jié)構(gòu)相對簡單，奇異位形相對較少，該機構(gòu)在工業(yè)機器人、微動機器人、虛擬軸并聯(lián)機床等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景.

文中還通過螺旋理論推導(dǎo)得到了該并聯(lián)機構(gòu)的完整雅克比矩陣，包括約束子矩陣和運動子矩陣.根據(jù)雅克比矩陣的秩分析了該并聯(lián)機構(gòu)產(chǎn)生約束奇異和運動奇異的所有條件.研究表明，通過選擇動平臺工作范圍或改變結(jié)構(gòu)尺寸，可以避免機構(gòu)出現(xiàn)奇異位形.文中研究為后續(xù)機構(gòu)的運動軌跡規(guī)劃提供了理論依據(jù)，并為相似并聯(lián)機構(gòu)規(guī)避奇異位形提供了方法參考.

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