尋求師生數(shù)學(xué)思維的共同發(fā)展——《可能性大小》磨課的實踐與思考

謝 華（浙江省龍游縣實驗小學(xué)）

數(shù)學(xué)思維是指數(shù)學(xué)活動中的思維，是人腦和數(shù)學(xué)對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按一定思維規(guī)律認(rèn)識數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動.不同層次的學(xué)生，其數(shù)學(xué)思維能力有很大差異.就后進(jìn)生而言，其知識結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)習(xí)慣與行為方式等直接造成了他們思維的遲鈍與膚淺，他們的數(shù)學(xué)思維能力尚處于較低層次的發(fā)展水平；就中等生而言，雖能推理分析較簡單的數(shù)學(xué)材料，解決一般性數(shù)學(xué)問題，但對于難度較高的問題，其思維的靈活性、深刻性與獨創(chuàng)性明顯不夠，其數(shù)學(xué)思維能力處于中等發(fā)展水平；就優(yōu)等生而言，其推理、想象與解決問題能力較強(qiáng)，能將所學(xué)知識融會貫通，思維表現(xiàn)出較好的敏捷性、靈活性、深刻性等品質(zhì)，他們的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展水平較高.因而，我們在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維時，應(yīng)基于學(xué)生已有知識經(jīng)驗、心理發(fā)展規(guī)律以及教學(xué)內(nèi)容的特點，開展有效性教學(xué)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.下面，筆者以執(zhí)教北師大版五年級下冊《可能性大小》為例，粗淺探討在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決問題的過程中如何尋找學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、將解決問題和數(shù)學(xué)思維有機(jī)結(jié)合，讓師生的數(shù)學(xué)思維共同發(fā)展.

一、順應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，確定學(xué)習(xí)起點

在學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)知識的背后，有其特有的數(shù)學(xué)思維方法，教師應(yīng)該順應(yīng)學(xué)生的思維，確定教學(xué)起點.

1.課堂從0/2開始教學(xué)

在一次下鄉(xiāng)送教時，課前談話，我和學(xué)生聊了一陣家鄉(xiāng)的旅游景點——龍游石窟：根據(jù)你的了解，說說龍游石窟最初用途的可能性，用學(xué)過的可能性的知識，完整地說句話.隨后開始進(jìn)入課堂，出示情景，在一紙盒里放入兩顆紅球.

師：在這個盒子里，你摸到白球的可能性用學(xué)過的詞說一下.

生：不可能.

師：為什么？

生：因為盒子里沒有白球.

師：假如用數(shù)學(xué)中的數(shù)來表示，你會用什么數(shù)表示？

生：0/2

師：（表情驚訝），你是怎么想的？隨即馬上進(jìn)行了板書0/2

生：盒子里共有兩顆球，我就把分母寫成2，因為沒有白球，所以分子就寫成0

師：同學(xué)們有沒有聽明白，趁機(jī)讓其余學(xué)生復(fù)述一下.

在其他課堂教學(xué)《可能性》時，一般學(xué)生都是用原來學(xué)過的不可能這個詞來表述，用數(shù)就是用0來表述 ，學(xué)生認(rèn)為沒有白球，摸到白球的可能性自然是0，大多數(shù)學(xué)生對這個知識還是有的.但這個學(xué)生在掌握這個知識時，還把自己的數(shù)學(xué)思維展現(xiàn)給了大家，這恰恰也是本節(jié)課的教學(xué)重點.課堂就從0/2開始了，讓多個學(xué)生的復(fù)述，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生理解，分母就表示球的總數(shù)，分子就表示白球的數(shù)量，老師也適時地進(jìn)行了相應(yīng)的板書，以便于學(xué)生更好地理解.

2.從認(rèn)知起點出發(fā)，改編例題

維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論中指出，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程中，其已有的知識經(jīng)驗與新知識的距離將極大地影響學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性.他將學(xué)生的學(xué)習(xí)分為兩種發(fā)展水平：一種是已有的發(fā)展水平；另一種是學(xué)習(xí)者通過學(xué)習(xí)可以達(dá)到的水平，這兩種水平之間的距離就是“最近發(fā)展區(qū)”.最近發(fā)展區(qū)過大，學(xué)生學(xué)習(xí)會有困難；過小，不利于學(xué)生思維和發(fā)展.考慮以上的原因，教師將例題進(jìn)行了較大的改動，將數(shù)學(xué)書上原有的多個盒子情景圖進(jìn)行了整合，去掉原來分散的、單一的教學(xué)情景圖，設(shè)計成運動的盒子圖，圖中原有一個白球，一個紅球，摸到白球的可能性是多少.情景中，白球的數(shù)量不變，紅球的個數(shù)不斷增加，讓學(xué)生說說用什么分?jǐn)?shù)表示，觀察后引導(dǎo)學(xué)生思維：什么變了，什么不變？如果在0和1之間的線段里，你想這分?jǐn)?shù)會愈來愈趨向幾；有沒有可能就是0？教師在整個教學(xué)設(shè)計中讓學(xué)生經(jīng)歷了猜想——驗證——想象，拓展了學(xué)生的思維，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型.

古羅馬教育家普魯塔克曾說：兒童的心靈是一顆需要點燃的火種.通過這樣改編后的動感的情景，打破了學(xué)生的思維定勢，逐漸提升了學(xué)生的思維層次，拓展了同學(xué)們的思維空間，更有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和變通性.

二、同步學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，完成教學(xué)新知

學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展中的個性差異，又稱為數(shù)學(xué)思維的智力品質(zhì)，它是數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平的重要指標(biāo).教師應(yīng)設(shè)計條件開放的練習(xí)，由學(xué)生確定解題策略并組合成各種有效的解題方法，以同步學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

1.合作分工，要求由學(xué)生制定，發(fā)展學(xué)生思維

按教學(xué)慣律，合作活動時學(xué)生的活動分工都是由教師提前制定的，學(xué)生只能按要求去執(zhí)行，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動處于被動狀態(tài).在課堂上，我嘗試讓學(xué)生來進(jìn)行合作分工，并制定合作要求.開始，教師讓學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的活動器材和統(tǒng)計表格.然后，就把問題直接拋給了學(xué)生，你們覺得該怎么分工，怎么活動？看著學(xué)生們躍躍欲試的表情，教師心里清楚，現(xiàn)在全班學(xué)生開始合作學(xué)習(xí)，許多學(xué)生是無法快速有效完成合作活動的.教師讓最踴躍的合作小組上來，讓學(xué)生說說是怎么分工的，小組里每位同學(xué)都做哪些事情，每位同學(xué)活動時又要注意些什么.并當(dāng)場讓他們進(jìn)行了現(xiàn)場嘗試.其余學(xué)生做了些小小的補(bǔ)充.學(xué)生得出了活動的要求：

①組長拿袋子并安排好摸球并記錄，全組摸10次，記錄時可用“正”字法；

②摸球前搖一搖袋子，摸球時不要看袋子里的球，摸完后把球放回袋子；

③記錄員把你組里摸的總次數(shù)和摸到紅球的次數(shù)記錄在活動記錄表中.

學(xué)生的合作活動就開始了.教師適時地參與了部分困難組的活動.教師發(fā)現(xiàn)，這樣的活動方式使學(xué)生興趣更加濃厚，參與的積極性自然很高.從反饋情況看，學(xué)生的參與度高，每組的分工方式有些不同，有的是一個人摸球，有的是輪著摸球，搖袋、記錄、監(jiān)督也是如此.學(xué)生的記錄統(tǒng)計方式也不同，有些組是用數(shù)記錄的，鉛筆在不斷添寫；有些組是用打橫線記錄的；有些組是打鉤記錄的；有些組是用“正”字法記錄的.

這樣的合作活動既能有效地讓學(xué)生理解用分?jǐn)?shù)表示可能性的意義，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維習(xí)慣，知識得到有機(jī)銜接、融會貫通，豐富了學(xué)生的知識，提升了學(xué)生的思維能力.

2.數(shù)據(jù)統(tǒng)計，方式選用學(xué)生的，同步師生數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)統(tǒng)計的教學(xué)是數(shù)學(xué)知識教學(xué)的重要組成部分，由于其本身的復(fù)雜性、抽象性，我們在理解和掌握時可將其分解為多個層次，先一層一層地認(rèn)識，理解每一層次表達(dá)的意思，然后再分析和綜合各層次間的內(nèi)在聯(lián)系，使形成完整的易于掌握的知識成為學(xué)生思維的必然.許多課堂里，教師的思維和學(xué)生的思維都是不盡相同的.在統(tǒng)計全班活動數(shù)據(jù)時，許多教師會機(jī)械重復(fù)地做些簡單的統(tǒng)計，花費了較多的時間，又難以計算.在發(fā)現(xiàn)學(xué)生多種統(tǒng)計的方法后，我引導(dǎo)學(xué)生比較：哪種統(tǒng)計方法簡潔，快速，是你喜歡的方式？在學(xué)生匯報各組活動數(shù)據(jù)時，我也采用了學(xué)生的思維方式，用“正”字法進(jìn)行統(tǒng)計.這時，師生的數(shù)學(xué)思維是同步的，學(xué)生在理解和統(tǒng)計時，會覺得容易、自然，縮短了教師板書的時間，也減少了學(xué)生統(tǒng)計的時間，學(xué)生很快就算出全班摸球的總次數(shù)以及摸到白球的次數(shù)，得出全班的摸到白球的可能性，用分?jǐn)?shù)表示是多少，然后再想象，摸的次數(shù)越來越多的情況下，摸到的白球的可能性震蕩幅度會越來越小，越來越趨向于準(zhǔn)確值.

三、互補(bǔ)師生數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)化實際應(yīng)用

在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思維功能僵化現(xiàn)象在學(xué)生中是大量存在的.教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維中善于抓住問題本質(zhì)的能力，正確、合理、巧妙地運用概念、法則、性質(zhì)、公式等基本知識，強(qiáng)化實際應(yīng)用，共同發(fā)展師生數(shù)學(xué)思維.

在課堂的實際應(yīng)用環(huán)節(jié)，我設(shè)計了以下的題目：

1.任意擲一下骰子，數(shù)字5朝上的可能性是（ ）

奇數(shù)朝上的可能性為（ ），合數(shù)朝上的可能性為（ ）

這個練習(xí)，綜合了數(shù)的有關(guān)知識，進(jìn)一步理解可能性的大小用分?jǐn)?shù)表示的方法.

2.十字路口的交通信號燈在一分鐘內(nèi)紅燈亮30秒

綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號燈時，看到的是紅燈的可能性是（ ），看到的是黃燈的可能性是（ ）.

遇到生活中常見的情況，將學(xué)過的知識進(jìn)行應(yīng)用.

3.現(xiàn)有紅、白、藍(lán)、黃4種球各10個.摸到白球的可能性是（ ）.

學(xué)生在應(yīng)用時，舉例證明擺放的方法.大多數(shù)學(xué)生都能說出兩到三種方法，但很少有學(xué)生比較系統(tǒng)地全部說出各種可能.在發(fā)現(xiàn)學(xué)生這種情況后，我及時提高了應(yīng)用目標(biāo).提出新的問題：你覺得這種情況下，白球最多能放幾個，非白球能放多少個？學(xué)生的思維得到激發(fā)，他們在積極思考，探求各種途徑，有的還在一一舉例；有的從分?jǐn)?shù)意義出發(fā)，考慮分?jǐn)?shù)的特征；有的用份數(shù)在思考，白球占其中的幾份；還有部分學(xué)生從最多10個白球出發(fā)，倒推回來.學(xué)生的思維各有其特點，教師在學(xué)生匯報的過程中，更多地了解了學(xué)生的思維特點，讓自己的思維得到進(jìn)一步的發(fā)展.

結(jié)束語：

心理學(xué)家認(rèn)為，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是發(fā)展數(shù)學(xué)能力的突破口.數(shù)學(xué)思維的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的思維潛在水平開始，通過教學(xué)把潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平，在新的現(xiàn)有水平基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發(fā)展區(qū)，于是教學(xué)又從新的思維潛在水平開始……這樣循環(huán)往復(fù)不斷轉(zhuǎn)化，推動數(shù)學(xué)思維向前發(fā)展.

美國教育家杜威說：“教學(xué)的藝術(shù)，一大部分在于使新問題的困難程度，大到足以激發(fā)思想，小到加上新奇因素自然地帶來的疑難，足以使學(xué)生得到一些富于啟發(fā)性的立足點，從而產(chǎn)生有助于解決問題的建議.”因此，教學(xué)中我們不單要傳授知識，而且要特別重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思維，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，同時，在設(shè)計練習(xí)和解決應(yīng)用時，也提高教師的數(shù)學(xué)思維.在課堂里，共同發(fā)展師生的數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)課堂的效益.

［1］郅庭瑾《為思維而教》，教育科學(xué)出版社，2007年12月

［2］徐曉蘭《經(jīng)歷有效探究過程，提升數(shù)學(xué)思維水平》，《網(wǎng)絡(luò)科技時代》，2008（6）