基于時空連續(xù)的芝諾悖論的邏輯分析

李大凱

(天津中醫(yī)藥大學(xué)社會科學(xué)教學(xué)部，天津 300193)

愛麗亞的芝諾是古希臘哲學(xué)前蘇格拉底時期眾多哲學(xué)家中獨具特色的一個。與他的老師巴門尼德探求“真理之道”相似，芝諾傾其一生致力于尋找可解釋自然的原則，其縱橫馳騁的自由思維和縝密精致的思辨才能為后人所贊賞。他不僅繼承了愛麗亞學(xué)派否認(rèn)現(xiàn)實世界運動變化的基本思想，而且提出了著名的運動悖論來支持這些思想。他的悖論粗看起來荒謬無比——按照柏拉圖的說法是芝諾與巴門尼德相互嘲笑的小伎倆——但仔細(xì)捉摸又難以反駁，千百年來無數(shù)智者傾注大量心血，卻難以得到令人滿意的答案。芝諾悖論影響深遠(yuǎn)，特別是在數(shù)學(xué)史上有著重要的地位，有人將它看成是第二次數(shù)學(xué)危機的開始，并由此導(dǎo)致實數(shù)理論、集合論的誕生。

芝諾的著作《論自然》早已失傳，根據(jù)所能得到的文獻(xiàn)記載，芝諾共提出了約四十個悖論，流傳于今的應(yīng)該不止八個。在亞里士多德批評芝諾悖論的《物理學(xué)》中，我們能夠比較詳細(xì)地了解今天稱之為“芝諾悖論”的四個論證。芝諾想要得出的結(jié)論是，不管對時空做如何假定，物體的運動都是不符合邏輯的，真實存在必定符合邏輯，因而我們看到的運動其實是假象。在這四個論證中，前兩個是討論基于時空連續(xù)的絕對運動和相對運動不可能，后兩個是討論基于時空間斷的絕對運動和相對運動不可能。下面只給出基于時空連續(xù)的兩個悖論，假設(shè)時空間斷的“飛矢不動”和“運動場”悖論不再贅述。

1．二分法悖論。對于孤立物體連續(xù)運動的情況，芝諾認(rèn)為:物體在到達(dá)目的地之前必須先到達(dá)全程的中點，即二分之一處，而到達(dá)中點之前必先到達(dá)全程一半的中點，即四分之一處，以此類推還有八分之一處，十六分之一處……由于時間和空間是連續(xù)的，這個二分過程可以無限地進行下去，物體不可能在有限的時間內(nèi)經(jīng)過無數(shù)個這樣的點，結(jié)果是要么它永遠(yuǎn)到不了終點，要么它永遠(yuǎn)離不開起點。所以孤立物體在連續(xù)空間里的絕對運動不可能。

2．阿基里斯悖論。阿基里斯是希臘神話中的長跑英雄，如果讓烏龜領(lǐng)先于阿基里斯一段距離，他們同時同向起跑，當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜起跑處時，由于這段時間烏龜持續(xù)運動，它在阿基里斯前面制造了新的距離 (當(dāng)然二者距離變短了)，當(dāng)阿基里斯完成這一段新距離，烏龜在阿基里斯前面又制造了更新的距離……盡管烏龜制造的新距離一定會越來越小，但由于假定時空連續(xù)，這樣的距離不管多么小總是存在，且有無限多個。阿基里斯需要完成這無數(shù)個距離，因此，他可以無限接近烏龜，但卻永遠(yuǎn)追不上。所以兩個物體在連續(xù)空間里的相對運動也不可能。

后人的評析可歸納為邏輯分析和數(shù)學(xué)分析兩個方面，我們著重于第一個方面。

亞里士多德首先對悖論1(二分法悖論)做出了批評:雖然不可能在有限的時間越過無限的點，但如果時間與空間在結(jié)構(gòu)上完全等同，也可以無限分割，那么在無限多個時間點中越過無限多個空間點是可能的。這種回答初看是很聰明的，但該回答所隱含的“無限多個時間點和空間點一一對應(yīng)”建立的前提是“已有一段具體時間和一段具體空間距離”，即時間和空間皆為有限，這樣一來，就等于預(yù)設(shè)物體可以在有限的時間內(nèi)到達(dá)目的地，而芝諾的質(zhì)疑恰恰是:物體能否在有限的時間內(nèi)到達(dá)終點?問題被預(yù)先回答了。亞里士多德后來也認(rèn)識到這樣的分析不合適，給出了另外一個回答:無窮數(shù)量的一半只是潛在的，而不是現(xiàn)實的。這等于說不符合現(xiàn)實的數(shù)量分析只是潛在的，即使講得通也是潛在的，難道芝諾不知道他的結(jié)論不符合現(xiàn)實嗎?他的問題是如果運動真實，不是表象，那么，為什么會講不通?關(guān)于悖論2，亞里士多德認(rèn)為如慢者永遠(yuǎn)領(lǐng)先當(dāng)然無法追上，但若允許越過一個距離，那就可以追上了。芝諾的全部論證被現(xiàn)實中的“一段距離”消解掉了，亞里士多德實際否定了——不如說是回避了芝諾對于阿基里斯追上烏龜之前微妙深邃的推理，用今天的話說就是芝諾的推理方法“不科學(xué)”，科學(xué)的方法是在一段距離之后進行位置分析。亞里士多德的回答不是芝諾要尋找的答案，也不是能讓人們滿意的答案，只是讓芝諾質(zhì)疑的那個“點”更加清晰。

西諾班的第奧根尼是犬儒學(xué)派的創(chuàng)始人，他對芝諾悖論的回答似乎證明了一句話:“越是精巧的邏輯在實踐面前就越愚蠢?！睋?jù)說當(dāng)他的學(xué)生因困惑于芝諾的論證向其求助時，他用邁步走過一段距離的行動來證明不符合現(xiàn)實的邏輯是站不住腳的。我們今天已經(jīng)無法印證這個故事的真假，如果確有其事，那么，顯然第奧根尼并沒有否定芝諾的精細(xì)推理——在某種意義上再一次堅定了芝諾悖論的難以辯駁，他不過表達(dá)了一下自己對基于邏輯的形而上學(xué)的態(tài)度:眼見為實，不要管它什么邏輯不邏輯。那么，現(xiàn)在問題又回到了:思想與存在是否同一?真實存在的基礎(chǔ)是我們感官的感覺還是清晰無誤的邏輯?哪個是第一性的?感覺可以否定邏輯，還是邏輯可以否定感覺?

黑格爾對芝諾悖論的解釋是:“運動的意思就是說:在這個地點又不在這個地點;這就是空間和時間的連續(xù)性──并且這才是使得運動可能的條件?！焙诟駹柕幕卮鹗侵匦赂嬖V我們什么是“連續(xù)性”，連續(xù)本身就是間斷的，芝諾不懂得辯證地看待連續(xù)性和間斷性的關(guān)系，不懂得辯證邏輯。按照芝諾的視角，物體從起點到終點的運動以及阿基里斯追龜?shù)倪^程表面上是無限的，實質(zhì)上是有限的。有限和無限在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這使得我們暫時忘記了悖論本身，思維“輕薄銳利、精確細(xì)膩的刀鋒”在厚重粗鈍、另辟天地的概念關(guān)系面前撞了南墻。黑格爾是在用一種邏輯取代另一種邏輯，但由于缺乏對芝諾論證錯誤之處的指摘，其取代的合理性沒有得到充分的論證。

現(xiàn)代分析哲學(xué)對芝諾悖論更傾向于指出其分析方法的錯誤:“運動軌跡”的數(shù)學(xué)分析不能替代“運動”本身，“運動”是比數(shù)學(xué)化的“運動軌跡”更根本的東西，一句話，芝諾對“運動軌跡”的分析結(jié)果是“無法達(dá)到”，但這并不代表“運動”在實際進程中“無法達(dá)到”。我們的思維先驗地認(rèn)定運動在設(shè)定的空間、設(shè)定的坐標(biāo)中進行，并以空間中的幾何線路——運動軌跡來考察運動本身，這一點不僅被芝諾認(rèn)為是合理的，而且在伽利略、牛頓運動學(xué)中也被廣泛使用。但我們忘記了一個問題:當(dāng)我們用數(shù)學(xué)方法分析可以無限分割的“運動軌跡”時，實際進行的“運動”也可以進行這樣的分析嗎?運動軌跡可以被無限分割，運動是否也可以這樣分割?類似的質(zhì)疑不是沒有根據(jù)。運動是用時間和空間描述的，如果我們假定時空具有數(shù)學(xué)上的連續(xù)性，那就意味著任意一個時間段——特別是一般意義上的相鄰兩時刻之間——可以有無限多個時間段，任意兩點間的距離都包含有無限多個距離。這被看作“運動軌跡”具有的相對于“運動”普遍性的特殊性，因為物理學(xué)——特別是運動學(xué)無法拋棄對“運動軌跡”進行數(shù)學(xué)分析這根倚仗多年的“拐棍”。在現(xiàn)實的物理運動和數(shù)學(xué)的運動軌跡之間我們看到一條清晰的似乎是無法混淆的界限，結(jié)果似乎是運動可以否定運動軌跡的數(shù)學(xué)分析，而后者作為第二位的東西無法否定前者。芝諾的悖論讓運動無法開始，現(xiàn)在我們讓芝諾的悖論無法開始。我們是不是又回到了第奧根尼?

迄今為止，主流的哲學(xué)家們對芝諾悖論的評析所取得的成果基本限于引入另一種概念或者方法，通過強調(diào)新概念或是新方法的理論深度、現(xiàn)實性來“覆蓋”芝諾對于“運動軌跡”的數(shù)學(xué)分析。筆者認(rèn)為，從理論上不斷深入挖掘“運動”、“時空”等一系列重要概念的內(nèi)涵是有重大意義的，但是具體到芝諾悖論本身，如果我們不能直面悖論，指出芝諾論證過程存在的真正問題，而是強加于人——甚至懼怕深陷其中而不能自拔——只能凸顯芝諾悖論的價值。通過對芝諾悖論的論證過程詳細(xì)分析，還是不難發(fā)現(xiàn)一些疑點和問題的。

首先，悖論1和悖論2是矛盾的。根據(jù)悖論1的論證結(jié)果，如果承認(rèn)一個物體無法從一個位置移動到另一個位置，那么，悖論2中阿基里斯又如何會到達(dá)烏龜?shù)淖畛跗鹋茳c呢?更遑論烏龜又制造了無數(shù)個新的距離讓阿基里斯去逐個完成了，當(dāng)然，烏龜自己也無法前進一步。悖論2無須我們否定，悖論1就把悖論2置于不可能的境地。再看悖論1，其論證過程是用數(shù)學(xué)方法連續(xù)取線段二分之一點，事實上，不斷取線段的三分之一點或是四分之一點也能達(dá)到同樣的悖論，所以關(guān)鍵不在于是連續(xù)取中點還是三分之一點、四分之一點，而在于“有無限多個點可取”，而且“所要取的點一定取得到”。那么，“有無限多個點可取”和“所要取的點一定取得到”是否能同時滿足呢?

歐幾里得在他的不朽名著《幾何原本》的開篇即提出了23個定義、5個公設(shè)和5個公理，這些基本規(guī)定奠定了整個平面幾何學(xué)的理論基礎(chǔ)，對直線或是曲線 (如運動軌跡)的數(shù)學(xué)分析因而有了根本的出發(fā)點?！稁缀卧尽返牡谝粋€定義——也是整個歐氏幾何學(xué)的基礎(chǔ)——就是后世的學(xué)者們似乎可以言說卻又無法言說的“點”: “點是沒有部分的?！边@個概念很含糊，但我們依然可以推斷出“點”具有無窮小的特征，小到無法分割，是一個只有位置、沒有大小的圖形;現(xiàn)代數(shù)學(xué)傾向于把點看作零維度對象，可以表示為一個有序n元組。因此，歐氏幾何學(xué)中的“點”是一種表示位置的沒有空間廣延的非實體的數(shù)學(xué)抽象。回到悖論1，“有無限多個點可取”是基于有限線段的無限可分，即無論多么短的線段都包含無限多個點，把“點”看作非實體的數(shù)學(xué)抽象; “所要取的點一定取得到”中的“點”的內(nèi)涵已經(jīng)悄悄變成有廣延的實體點，因為當(dāng)我們不需要確定一個點的位置，只需要知道“線由點組成”時，我們盡可以將線無限分割，即便我們現(xiàn)實中做不到，在思維抽象中也可以推理完成;而一旦需要確定一段實際線段上的某個點的位置時，我們實際邁步站在了一個新的思維基礎(chǔ)上:線段有限可分。假設(shè)一段線段一共有五個點，那么，中點一定是第三個點;一段線段共有七個點，中點即是第四個點，如果一段線段有無限多個點，中點如何確定?就像一個隊列排了無限多個人，如何確定“誰”兩邊的人一樣多?我們確定時空“位置”的思維基礎(chǔ)其實是“相對”和“有限”，“相對”意味著要找到參照系或者參照物，“有限”則意味著這個“點”在參照系中或者距離參照物可以用多少個“單位”來表示，這個“單位”一定是有限的。就像我們用太陽作為參照物確定地球的位置時，我們要弄清的是地球距離太陽有多少個“單位”，這個“單位”可以是千米，也可以是米，這個時候說地球到太陽之間有無限多個點是沒有意義的。因此，“能夠取到中點”的思維先驗假定其實是“線段包含有限多個點”。這就是說，如果假定時空連續(xù)，一段空間距離會有無限多個點，如果不將“點”的內(nèi)涵由數(shù)學(xué)抽象的“非實體點”轉(zhuǎn)換為有空間廣延的“實體點”，那么，芝諾在這段距離上取中點是無法實現(xiàn)的。由此，還會衍生出其他一些問題:現(xiàn)實距離的“有限可分”與運動物體軌跡數(shù)學(xué)分析上的“無限可分”之間的矛盾是不可調(diào)和的嗎?是“理想線段的無限可分”無法實現(xiàn)，還是從“理想線段的無限可分”到“現(xiàn)實距離的位置可取”無法實現(xiàn)?

哲學(xué)的進步不僅在于從人類愈加豐富的理論與實踐中發(fā)現(xiàn)那些帶有矛盾性的疑點，還在于對那些閃爍著不朽的智慧之光的歷史疑點給出新的視角。人們對于芝諾悖論的思考雖然至今仍無定論，但這些思考得到的收獲卻碩果累累。超越時代的論辯被后人一再提起也許預(yù)示著它所引發(fā)的思考并不會止于后來者的“成功”解答;相反，它像一座寶藏，吸引著人們從不同方向深入其中細(xì)心挖掘，找到前人不曾發(fā)現(xiàn)的奇珍，找到各自的意義與價值所在。

［1］［古希臘］歐幾里得．幾何原本［M］．蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯．西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

［2］［法］羅素．西方哲學(xué)史［M］．北京:商務(wù)印書館，1976．

［3］北京大學(xué)哲學(xué)系．西方哲學(xué)原著選讀［M］．北京:商務(wù)印書館，1981．

［4］Apostle H G．Aristotle’s Philosophy of Mathematics［M］．Chicago:University of Chicago Press，1952．

［5］吳國盛．芝諾悖論今昔談［J］．哲學(xué)動態(tài)，1992(12)．

［6］張興．芝諾悖論的結(jié)構(gòu)［J］．自然辯證法研究，2004(11)．

［7］劉二中．解析芝諾悖論內(nèi)含的邏輯漏洞［J］．自然辯證法研究，2005(11)．