基于K-means聚類分析的球冠諧函數(shù)擬合高程異常方法

孫佳龍，崔旭升，郭淑艷

(淮海工學院 測繪工程學院，江蘇 連云港 222001)

一、引 言

高精度的高程異常曲面模型與GPS定位技術相結合可以在一定程度上取代傳統(tǒng)繁瑣的幾何水準測量方法，可大幅度提高測繪工作效率[1-3]。而對高程異常曲面擬合時，目前常用的擬合方法主要有多項式擬合法、移動二次曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法等[4-7]。在擬合區(qū)域較小的情況下，一般的擬合方法可以達到較高的精度，但由于這些方法未顧及似大地水準面的物理性質(zhì)，擬合出的曲面只能是高程異常的趨勢面，與高程異常的實際數(shù)值存在一定差異[8]。球冠諧分析作為一種譜方法，由非整階勒讓德函數(shù)和三角函數(shù)張成的近似空間具有良好的逼近性質(zhì)，可以實現(xiàn)與高程異常曲面的最大逼近[8-9]。而在利用球冠諧函數(shù)擬合高程異常曲面時，選擇不同的擬合點，對最后的擬合結果有較大的影響。由于其選擇方法目前尚無可靠的理論依據(jù)，為此本文提出了基于K-means聚類的球冠諧函數(shù)擬合法，即以K-means聚類方法對擬合點進行有效選取，利用選擇的擬合點建立球冠諧函數(shù)模型，依此模型解算檢核點處的高程異常值，從而對擬合精度進行評價。

二、球冠諧函數(shù)模型

球冠諧函數(shù)是球冠坐標系下滿足位理論邊界條件的譜函數(shù)，它是局部區(qū)域?qū)奶卣骱瘮?shù)。在球坐標系下對Laplace方程進行求解，得到球諧函數(shù)逼近模型[3]

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球冠諧函數(shù)與球諧函數(shù)的區(qū)別在于用非整階勒讓德函數(shù)代替整階勒讓德函數(shù)，余緯θ的定義域由[0,π]變?yōu)閇0,θ0]。為了計算方便，需要把通過地球北極的坐標軸Z軸沿子午線旋轉到通過球冠的中心，使經(jīng)度λ仍然滿足周期性的邊界條件[8]。非整階勒讓德函數(shù)序列是由球冠的大小來確定的，對于半角不同的球冠，非整階勒讓德函數(shù)序列是不同的，且非整階勒讓德函數(shù)由以下邊界條件確定

(2)

三、基于K-means聚類的球冠諧函數(shù)擬合方法

當用球冠諧函數(shù)表示殘差高程異常時，由于選擇的擬合點對高程異常曲面擬合有較大影響，因此，需要對所有的高程異常值進行選取。人為選取高程異常值既耗時又費力，且容易出錯。因此，合理有效地選取高程異常值，使這些高程異常能很好地表示該區(qū)域的高程異常變化就顯得尤為必要。聚類分析是對樣本進行分類的一種多元統(tǒng)計方法，是從樣本中發(fā)現(xiàn)有用信息的一種有效手段[10-11]。聚類是基于“物以聚類”的樸素思想，將數(shù)據(jù)對象分組成為若干個類或簇，使得在同一個簇中的對象之間具有較高的相似度，而不同簇中的對象差別很大。K-means聚類算法是由MacQueen提出的，該算法是一種在科學研究中被廣泛應用的一種經(jīng)典聚類算法[11]。本文以K-means算法為聚類分析的分類方法，以歐氏距離作為相似性統(tǒng)計量，對高程異常數(shù)據(jù)進行了聚類分析?？紤]到高程異常曲面不僅與樣本點的地理位置有關，還與該點的高程異常值的大小有關，因此，本文以三維歐氏距離作為相似性統(tǒng)計量[10]，即

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式中，(xi,yi)、ξi分別為Pi點的坐標和高程異常，d為距離。由于高程異常的單位與坐標單位不同，在進行聚類分析之前需將高程異常數(shù)據(jù)進行規(guī)格化處理[10]

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式中，i=1,2,3；P為規(guī)格化處理后的高程異常所對應的坐標和高程異常值。

四、實例解算與分析

某地區(qū)D級GPS控制網(wǎng)布設了17個觀測點，對其進行了GPS觀測和三等水準測量，利用GPS獲得的大地高和水準測量得到的正常高，得到17個GPS/水準點的高程異常。從17個高程異常點中選擇12點參與球冠諧函數(shù)擬合，另外5個點對擬合精度進行檢核。因此，需要對17個數(shù)據(jù)進行聚類分析，從每個聚類中選取歐氏距離最長的點作為高程異常曲面擬合點，構建球冠諧函數(shù)模型，其中球冠極點選在區(qū)域中心，而球冠半角為1°，全部觀測點均落入定義的球冠內(nèi)。以另外5個點的數(shù)據(jù)作為外部檢核，外符合精度為

(5)

式中，νi為檢核點實測高程異常與擬合高程異常的差值；m為檢核點個數(shù)。檢核結果見表1。

表1 基于K-means聚類的球冠諧函數(shù)擬合的外部檢核結果 mm

從表1中可以看出，隨著分類數(shù)從2開始，球冠諧函數(shù)擬合的精度有所提高，當分類數(shù)為5時，精度最高，達到5.5 mm；隨著分類數(shù)繼續(xù)增加，精度又開始下降，當分類數(shù)為12時，精度最低，為145.8 mm。由此說明，通過對樣本數(shù)據(jù)進行有效分類，可以有效地提高球冠諧函數(shù)的擬合精度。為了綜合評價基于K-means聚類分析的球冠諧函數(shù)的擬合精度，本文還利用同樣的數(shù)據(jù)，從17個點中隨機選取12個點，以多項式曲面、移動曲面、多面函數(shù)和球冠諧函數(shù)這4種常用的曲面擬合模型作為參考模型，比較各種模型之間的擬合精度，結果見表2。

表2 擬合結果殘差比較 mm

從表2中可以看出，移動二次曲面擬合的結果中，殘差最大值為150 mm，為各種擬合函數(shù)中的最大值，其標準差和外符合精度也都最大，說明移動二次曲面擬合的精度在4種方法中最差。5種評價指標都顯示，基于K-means聚類分析的球冠諧函數(shù)擬合的精度是最優(yōu)的，其外符合精度最高，達到5.5 mm。各個檢核點的高程異常殘差值如圖1所示。

圖1 5種擬合方法得到的高程異常殘差值

從圖1中可以看出，移動二次曲面在5個檢核點的高程異常殘差值波動較大，說明該函數(shù)模型未能很好地表示該區(qū)域的高程異常變化趨勢；兩種球冠諧函數(shù)得到的高程異常殘差變化幅度都很小，說明球冠諧函數(shù)能很好地逼近高程異常曲面，因此擬合精度較高。而基于K-means聚類分析的球冠諧函數(shù)在檢核點處的高程異常殘差變化比球冠諧函數(shù)更平緩、幅度更小，說明K-means聚類方法能對高程異常點進行有效分類，從而能從數(shù)量較多的已知高程異常數(shù)據(jù)中選擇有代表性的特征點，再結合球冠諧函數(shù)的逼近性質(zhì)，提高了高程異常曲面的擬合精度，因此擬合精度更高。

五、結束語

基于K-means聚類分析的球冠諧函數(shù)擬合法，將差異較小的數(shù)據(jù)歸入同類，在同一聚類中選擇歐氏距離最長的點作為高程異常曲面擬合點，利用球冠諧函數(shù)很好的逼近性質(zhì)，實現(xiàn)了高程異常曲面的有效逼近。實例分析結果表明，基于K-means聚類分析的球冠諧函數(shù)擬合方法比多項式曲面擬合、移動曲面擬合、多面函數(shù)和球冠諧函數(shù)的擬合精度更高，因此，利用該方法可以在一定程度上提升高程異常曲面擬合精度。

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