多值函數(shù)教學(xué)方法探討

辛友明

（青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，山東 青島 266061）

對(duì)于單值復(fù)變函數(shù)引入引入函數(shù)極限概念，進(jìn)而引入連續(xù)、可導(dǎo)、可微、積分的概念，建立微積分理論，這種方法是很自然，容易接受的。但是對(duì)于多值復(fù)變函數(shù)，由于具有多值性，顯然不可能直接將函數(shù)極限的概念，建立多值函數(shù)的微積分理論需要采取一定的方法才行。一個(gè)自然的想法是，將多值函數(shù)分解為多個(gè)單值連續(xù)函數(shù)分支，然后引入微積分理論。

在一般的教材[1-3]中是直接將分解方法直接介紹出來(lái)，然后證明該方法可以將多值函數(shù)分解為多個(gè)單值連續(xù)函數(shù)分支。教材在給出多值函數(shù)支點(diǎn)、支割線的定義之后，展開方法的討論。具體的方法是：首先，求出多值函數(shù)F（z）的支點(diǎn)；然后做出支割線K，得到函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域區(qū)域 D=CK；然后，在單值區(qū)域 D 內(nèi)取點(diǎn) z0，規(guī)定 F（z0）=f（z0），對(duì)任意z，在D內(nèi)作連接z0到z的連續(xù)曲線C1，則當(dāng)z沿曲線C1從z0連續(xù)變動(dòng)到z時(shí)，函數(shù) F(z)由值F（z0）連續(xù)變動(dòng)為f(z)，可以證明 f(z)與曲線C1的選取無(wú)關(guān)，這樣就得到F(z)的一個(gè)分支f(z)，改變F(z)在的z0取值，相應(yīng)得到F(z)的其他分支。

上述方法就像一個(gè)算法，實(shí)現(xiàn)了多值函數(shù)分解為單值連續(xù)分支的要求。學(xué)生雖然也理解該方法的步驟及證明，但是學(xué)習(xí)上還是有一定的困惑：為什么采取這樣的步驟，這些步驟之間有什么聯(lián)系？

正是上述原因，使闡明多值函數(shù)的單值連續(xù)分支的分解原理顯的非常重要。在明確分解原理后，可以推斷支點(diǎn)、單值連續(xù)區(qū)域、支割線等概念的特征，明白為什么要如此定義，從而從更高的層次了解多值函數(shù)分解為單值連續(xù)函數(shù)的方法。以下，詳細(xì)展開討論。

首先講述多值函數(shù)的分解原理。設(shè)E是多值函數(shù)F(z)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，在E內(nèi)任意取定點(diǎn)z1，z2,在區(qū)域E內(nèi)任意作一條連接z1，z2的連續(xù)曲線，規(guī)定 F（z1）=f（z2），當(dāng) z 沿曲線 C1從 z1連續(xù)變動(dòng)到 z2時(shí)，函數(shù) F(z) 由值 f（z1）連續(xù)變動(dòng)為 f（z2），若 f（z2）與曲線 C1的選取無(wú)關(guān)，那么，變動(dòng)z2，我們便得到定義在區(qū)域E上的一個(gè)單值函數(shù)f(z)，可以證明f(z)在E上連續(xù)，從而得到了多值函數(shù)的一個(gè)單值連續(xù)分支，若改變F(z)在z1的取值，相應(yīng)得到F(z)的其他單值連續(xù)分支，這時(shí)稱區(qū)域E是多值函數(shù)的一個(gè)單值連續(xù)區(qū)域。

接下來(lái)，我們分析多值函數(shù)F(z)的單值連續(xù)區(qū)域E的特征。

問(wèn)題 1：設(shè) z0是區(qū)域 E 內(nèi)的任意一點(diǎn)，U（z1，r）是區(qū)域 E 內(nèi)z0的一個(gè)鄰域，在 U（z1，r）內(nèi)任意作一條包含z0的簡(jiǎn)單閉曲線C1，在 C1上取定一點(diǎn) z1，規(guī)定 F（z1）=f（z1），對(duì)任意 z，當(dāng) z沿曲線 C1從 z1逆時(shí)針連續(xù)變動(dòng)再回到到 z1時(shí)，函數(shù) F(z)由值連續(xù)變動(dòng) f（z1）為 f*（z1），那么函數(shù)值有沒有發(fā)生改變，即 f（z1）=f*（z1）？

分析：在曲線C1上任取不同于z1的z2點(diǎn)，將分為逆時(shí)針?lè)较虻膬啥位【€在因?yàn)楫?dāng)z沿弧段從z1連續(xù)變動(dòng)到z2時(shí)，函數(shù)F(z) 由值 f（z1）連續(xù)變動(dòng)為 f（z2），所以當(dāng) z 沿弧段反方向從z2連續(xù)變動(dòng)到 z1時(shí)(，函數(shù) F(z)由值 f（z2）連續(xù)變動(dòng)為 f（z1）。 因?yàn)榛《畏捶较蚝突《问沁B接z和z的區(qū)域E內(nèi)兩條不同的連續(xù)曲線，而E

21是多值函數(shù)F(z)的單值連續(xù)區(qū)域，因此，當(dāng)z沿弧段從z2連續(xù)變動(dòng)到 z1時(shí)，函數(shù) F(z)由值 f（z2）連續(xù)變動(dòng)為 f（z1），從而當(dāng) z沿曲線 C1從 z1逆時(shí)針連續(xù)變動(dòng)再回到到z1時(shí)，函數(shù)值沒有發(fā)生改變。

以上我們得到了單值連續(xù)區(qū)域點(diǎn)的特征。我們將不滿足上述特征的點(diǎn)稱為函數(shù)的支點(diǎn)，即z0是多值函數(shù)的支點(diǎn)，若在z0充分小的鄰域內(nèi)任意作一條包含z0的簡(jiǎn)單閉曲線C1，在C1上取定一點(diǎn)z1，規(guī)定F（z1）=f（z1），當(dāng) z沿曲線 C1從 z1逆時(shí)針連續(xù)變動(dòng)再回到到 z1時(shí)，函數(shù) F（z）的值有有發(fā)生變化。

例 1：ArgZ 的支點(diǎn)為 0，∞。

以下，我們分析如何得到多值函數(shù)的最大的單值連續(xù)區(qū)域。

問(wèn)題2：在擴(kuò)充復(fù)平面上剔除多值函數(shù)的所有支點(diǎn)并且多值函數(shù)有定義的區(qū)域G是多值函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域嗎？

分析：若區(qū)域D區(qū)域內(nèi)沒有包含支ArgZ點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線，那么，由支點(diǎn)的特征，區(qū)域D就是一個(gè)單值連續(xù)區(qū)域。對(duì)于問(wèn)題2中的區(qū)域G內(nèi)仍有可能存在包含支點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線，因此G不是多值函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域。

例2：區(qū)域C{0}不是輻角函數(shù)ArgZ的單值連續(xù)區(qū)域。

由問(wèn)題2的分析，我們可以得到如何求函數(shù)的最大單值連續(xù)區(qū)域，即用一條曲線K連接所有的支點(diǎn)，然后CK便是多值函數(shù)的單值連續(xù)區(qū)域。因此我們定義多值函數(shù)的支割線為：連接多值函數(shù)所有支點(diǎn)的曲線。

［1］余家榮.復(fù)變函數(shù)[M].4版.高等教育出版社.

［2］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].3版.高等教育出版社.

［3］李銳夫，程其襄.復(fù)變函數(shù)論[M].高等教育出版社.

［4］陳先琪，宋忠生.關(guān)于初等多值解析函數(shù)支點(diǎn)和支割線的探討[J].山東建筑工程學(xué)院學(xué)報(bào)，1995，2.