Weitzenbock不等式的一個(gè)有趣隔離猜想的解決

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(廣雅中學(xué) 廣東廣州 510160)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，等號(hào)成立．文獻(xiàn)[1]從新的角度給出它的一個(gè)有趣隔離如下：

定理1[1]在△ABC中，設(shè)a,b,c分別為BC,CA,AB的邊長(zhǎng)，相應(yīng)于頂點(diǎn)A,B,C的中線長(zhǎng)為ma,mb,mc，內(nèi)角平分線長(zhǎng)為wa,wb,wc，高線長(zhǎng)分別為ha,hb,hc，△ABC的面積記為S，則

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，等號(hào)成立．

進(jìn)而提出如下猜想：

猜想[1]在△ABC中，設(shè)a,b,c分別為BC,CA,AB的邊長(zhǎng)，相應(yīng)于頂點(diǎn)A,B,C的中線長(zhǎng)為ma,mb,mc，內(nèi)角平分線長(zhǎng)為wa,wb,wc，高線長(zhǎng)分別為ha,hb,hc，△ABC面積記為S，則

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，等號(hào)成立.

經(jīng)探討發(fā)現(xiàn)，左邊不等式不成立，中間和右邊不等式成立．

在△ABC中，取a=b=5,c=2，則

ab+bc+ca=5×5+5×2+2×5=45，

下證中間不等式成立，為此，將其加強(qiáng)為

定理2在△ABC中，設(shè)a,b,c,s分別為BC,CA,AB的邊長(zhǎng)和半周長(zhǎng)，相應(yīng)于頂點(diǎn)A,B,C的內(nèi)角平分線長(zhǎng)為wa,wb,wc，高線長(zhǎng)分別為ha,hb,hc，△ABC的面積記為S，則

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，等號(hào)成立．

(ab+bc+ca)2≥a2(a+b+c)(b+c-a)+b2(a+b+c)(c+a-b)+c2(a+b+c)(a+b-c)

?a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2≥0?2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2≥0

?(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2≥0.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 秦慶雄，范花妹.Weitzenbock不等式的一個(gè)有趣隔離[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(1):41-42.