人教A版和北師大版教材“三視圖”比較研究

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(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 北京 100875)

教材是進行教學(xué)設(shè)計的主要依據(jù)，自2004年普通高中使用《新課程標(biāo)準(zhǔn)》以來，高中數(shù)學(xué)教材呈現(xiàn)出了非常好的多樣性和豐富性.這些不同版本的教材各具特色，異彩紛呈.如何開發(fā)不同版本教材的優(yōu)質(zhì)資源，發(fā)現(xiàn)其中的特色素材，用于教學(xué)設(shè)計，提高教學(xué)效率，真正做到“用教材教，而不是教教材”，這就需要教師對不同版本教材進行深入地比較研究[1].

三視圖是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材的新增內(nèi)容之一，學(xué)習(xí)三視圖對于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力和運用圖形語言進行交流表達的能力具有重大意義.不同版本的教材對此有不同的表述和處理方式.為了更好地理解和把握教材，以便更好地實施于教學(xué)，本文以人教A版和北師大版教材必修2中“三視圖”內(nèi)容作為研究對象，就2個版本教材的整體以及概念的引入、知識內(nèi)容和例題、習(xí)題配置等方面進行比較研究，探悉2個版本教材的特色，為一線教師的教學(xué)以及備考提供建議.

1 對教材的比較

1.1 整體比較

人教A版將空間幾何體的三視圖和直觀圖安排在第1章第2節(jié).本節(jié)分3個小節(jié)，分別為中心投影與平行投影、空間幾何體的三視圖、空間幾何體的直觀圖.從篇幅上來看，空間幾何體的三視圖部分不到6頁，共1課時.從內(nèi)容上來看，空間幾何體的三視圖部分又分柱、錐、臺、球的三視圖和簡單組合體的三視圖.其中穿插安排有觀察、思考、旁批、閱讀與思考等欄目以及練習(xí)與習(xí)題，其整體結(jié)構(gòu)流程大致是：

其中練習(xí)不分組，習(xí)題分為2組.

北師大版將三視圖單獨安排在第1章第3節(jié).從篇幅上來看，三視圖部分共9頁，2個課時.從內(nèi)容上來看，本節(jié)又分為2個小節(jié)，分別為簡單組合體的三視圖和由三視圖還原成實物圖.其中穿插安排實例、思考交流、練習(xí)和習(xí)題，其整體上的結(jié)構(gòu)流程大致是

其中練習(xí)不分組，習(xí)題分為2組.

從以上可以看出2套教材在三視圖內(nèi)容的整體布局上既有共性又有差異，共性是人教A版和北師大版都將空間幾何體的三視圖分為2個小節(jié)，且都有一小節(jié)是簡單組合體的三視圖，并以練習(xí)和習(xí)題來落實和鞏固學(xué)習(xí)效果.整體結(jié)構(gòu)上最大的差異是人教A版將空間幾何體的三視圖和直觀圖共同作為一節(jié)，并且插入了中心投影與平行投影的內(nèi)容來輔助學(xué)習(xí)，北師大版是將直觀圖安排在了前一節(jié)，沒有柱、錐、臺、球的三視圖內(nèi)容，而是將由三視圖還原成實物圖作為單獨的一節(jié)出現(xiàn)，人教A版只是將這部分內(nèi)容作為一個思考的問題.比較而言，筆者認為北師大版這種安排不僅突出了由三視圖還原成實物圖的重要性，而且使得本節(jié)的知識層次更加分明，在教與學(xué)的過程中師生更容易從整體上把握教材.

1.2 概念引入的比較

概念的引入方式對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念有著先入為主的作用，學(xué)生對一個新的數(shù)學(xué)概念的認識往往是從回憶相關(guān)的具體實例和已經(jīng)掌握的知識開始的[1].2套教材對三視圖概念的引入可謂千差萬別.

人教A版引入為了將空間幾何體畫在紙上用平面圖形表示出來，使我們能夠根據(jù)平面圖形想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu)，這就需要學(xué)習(xí)視圖的有關(guān)知識，進而說明常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體.然后教材用了將近一頁的版面介紹了2種投影方法：中心投影和平行投影.有了這些鋪墊才開始正式學(xué)習(xí)三視圖的概念，并給出了正視圖、側(cè)視圖、俯視圖和三視圖的完整定義，并以長方體為例，畫出了長方體的三視圖.

北師大版引入與人教A版嚴(yán)格給出三視圖定義不同的是，北師大版教材的引入非常簡潔，僅僅用一句話(在初中，我們已經(jīng)學(xué)過基本幾何體(直棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐、球)的三視圖)、一幅圖(正六棱柱的三視圖)，就過渡到學(xué)習(xí)簡單組合體的三視圖.

事實上，在九年級數(shù)學(xué)(下)教材中，無論是人教版還是北師大版，都已經(jīng)有了中心投影和平行投影以及三視圖概念的學(xué)習(xí).也學(xué)習(xí)了基本幾何體(直棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐、球)的三視圖，習(xí)題中還有部分組合體的三視圖，并且對“實物中的不可見輪廓線和棱用虛線畫出”也有清楚地說明.而人教A版卻花了很大的篇幅介紹中心投影和平行投影以及三視圖的概念(約占三視圖篇幅的37%).若教師缺乏對教材連續(xù)性的研究，僅僅依賴教材，則很容易使得本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容很大部分是九年級內(nèi)容的再現(xiàn).這對于學(xué)生來說毫無新鮮感，學(xué)生的認知水平并沒有得到提高，而是處于原地踏步狀態(tài).人教A版教材強調(diào)螺旋式上升的本意是好的，但這種大面積重復(fù)，反而會使得知識螺旋而沒有上升，使得課堂教學(xué)效率不高.北師大版則建立在初中所學(xué)三視圖的基礎(chǔ)上，以正六棱柱的三視圖為例來回顧基本幾何體的三視圖.教師在教學(xué)中只需適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生，回憶初中所學(xué)直棱柱、正棱錐、圓柱、圓錐、球等基本幾何體的三視圖即可，從而把教學(xué)重點放在簡單組合體的三視圖.

1.3 知識內(nèi)容的比較

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)對三視圖的具體要求是：能畫出簡單幾何體(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別三視圖所表示的立體模型，會使用材料(如紙板)制作模型[2].在具體知識內(nèi)容編寫方面，雖然2套教材都緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》規(guī)定的內(nèi)容，也都突出了培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力和運用圖形語言進行交流表達的能力.但在編寫方式上存在明顯的風(fēng)格差異，體現(xiàn)出2套教材不同的特色追求.

人教A版更加注重內(nèi)容結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)方式的多樣化.通過“觀察”、“思考”等欄目將問題拋給學(xué)生，這種設(shè)計能夠很好地激發(fā)學(xué)生探究的欲望.如在給出長方體的三視圖后，通過“觀察”欄目，讓學(xué)生觀察、思考長方體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)系.進而總結(jié)出一般結(jié)論，即一個幾何體的側(cè)視圖和正視圖高度一樣， 俯視圖和正視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣.在學(xué)完簡單幾何體的三視圖后，教材又通過“思考”欄目，給出一個幾何體(圓臺)的三視圖，要求說出對應(yīng)幾何體的名稱(在簡單組合體的三視圖內(nèi)容中還有根據(jù)杠鈴的三視圖畫出示意圖等)，從而順利將問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)幾何體的三視圖還原實物圖.但僅僅作為一個思考的問題提出，未免將這部分內(nèi)容過于弱化.事實上，進行幾何體與其三視圖之間的相互轉(zhuǎn)化是提高學(xué)生空間想象能力的重要途徑，應(yīng)作為教學(xué)中的一個重點.比較而言，北師大版將其單獨作為一節(jié)的安排顯得更為合理.

北師大版更強調(diào)層次分明以及知識的講解.先學(xué)簡單組合體的三視圖，再學(xué)由三視圖還原成實物圖.具體學(xué)習(xí)中主要以例題貫穿全篇，在學(xué)習(xí)簡單組合體的三視圖時配有5道例題，學(xué)習(xí)由三視圖還原成實物圖時配有2道例題，并且每道例題都配有實物圖與三視圖，以及詳細的解答.

2套教材均體現(xiàn)出三視圖的教學(xué)，主要應(yīng)當(dāng)通過學(xué)生自己動手作圖來完成.人教A版通過“思考”、“探究”欄目提出問題，北師大版通過給出具體的例題，引導(dǎo)學(xué)生動手作圖，讓學(xué)生在動手實踐的過程中學(xué)會三視圖的作法，體會三視圖的作用.對于簡單組合體，2版教材都提醒學(xué)生在作圖之前細心觀察，認識了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動手作圖.

人教A版過多地重復(fù)了初中內(nèi)容，但在舉例畫長方體的三視圖時，標(biāo)出了長方體長、寬、高的長度，并在對應(yīng)的三視圖中也標(biāo)出了各邊的長度，這不失為一大亮點.因為這體現(xiàn)了三視圖的本質(zhì)用途：將三視圖量化來刻畫空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.標(biāo)出長度有助于學(xué)生更好地理解正視圖、側(cè)視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關(guān)系，這遠遠勝于教師反復(fù)強調(diào)“長對正、高相等、寬平齊”的九字訣[3].

人教A版將三視圖與直觀圖放在同一節(jié)學(xué)習(xí)，先學(xué)習(xí)三視圖再學(xué)習(xí)直觀圖，并且學(xué)習(xí)直觀圖時將二者聯(lián)系起來.如課本第18頁的例3和第19頁的探究都是基于三視圖想象空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后畫出空間幾何體的直觀圖.在練習(xí)、習(xí)題中也將三視圖與直觀圖結(jié)合起來考查，如第20頁練習(xí)5、第 21頁習(xí)題5、第22頁習(xí)題1.這不僅有助于知識的前后聯(lián)系，更多的還能讓學(xué)生明白：我們根據(jù)三視圖在腦海中想象出的實物圖，在紙上需要用直觀圖畫出來.而北師大版將二者分開，在前一節(jié)學(xué)了直觀圖，而在學(xué)習(xí)三視圖時卻沒有將二者聯(lián)系起來，在練習(xí)、習(xí)題中也沒有涉及.事實上，北師大版若能在學(xué)習(xí)由三視圖還原實物圖時，做到前后照應(yīng)，提出由三視圖畫出幾何體的直觀圖，并在練習(xí)、習(xí)題中加以訓(xùn)練，比人教A版顯得更自然.

圖形語言是重要的數(shù)學(xué)語言之一，特別是對三視圖的學(xué)習(xí).人教A版多采用生活中常見的幾何體模型為例，如長方體、圓錐、飲料瓶及其他簡單組合體，且既有實物圖(6幅，包含練習(xí)、習(xí)題所配圖，下同)又有直觀圖(6幅).而北師大版多用實物圖(28幅)，且實物圖相對人教A版來講更加復(fù)雜(如螺栓、軸承架的模型).僅在本節(jié)開始處用了2幅直觀圖(正六棱柱和正五棱錐).相比較而言，北師大版不僅圖的總數(shù)(總30幅)要遠遠多于人教A版(總12幅)，并且多為實物模型圖(近93.3%)，極大地增強了幾何直觀，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力.但人教A版兼用實物圖和直觀圖(各占50%)，為后續(xù)學(xué)習(xí)直觀圖作了很好的鋪墊.同時也有助于學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“利用三視圖畫出實物模型的直觀圖”，培養(yǎng)學(xué)生運用圖形語言進行交流表達的能力.

1.4 例題、習(xí)題配置的比較

例題、習(xí)題是中學(xué)數(shù)學(xué)課本的重要組成部分，例題、習(xí)題配備得好不好，直接影響到學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低.蔡上鶴先生認為:教科書是由正文、例題和習(xí)題三部分有機組成的[4].波利亞也曾指出：一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發(fā)現(xiàn)[5].可見，例題、習(xí)題在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有非常重要的作用.

人教A版雖然沒有直接標(biāo)明例題，但通過正文以及“觀察”、“思考”等欄目，給出了生活中常見實物模型的“例題”(如給出了長方體、飲料瓶等的三視圖，由圓臺、杠鈴的三視圖畫出示意圖),卻僅有50%的“例題”給出了解答.北師大版以例題為主線進行知識講解，例題豐富，所選用實物模型也更復(fù)雜(如軸承架)，且每道例題均有詳細的解答.

人教A版與北師大版的課后習(xí)題都由練習(xí)題和習(xí)題2個部分組成.練習(xí)題與習(xí)題都緊扣基本概念，注重知識的鞏固和練習(xí)，以畫幾何體的三視圖和根據(jù)幾何體的三視圖畫實物圖為主，習(xí)題分為2組，難度較練習(xí)題有所增加.筆者對2套教材的課后習(xí)題數(shù)量進行了統(tǒng)計.

統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明：2套教材練習(xí)、習(xí)題總量相差不大.人教A版中，畫三視圖的題量(約占42%)與畫實物圖的題量(約占58%)差別不是很大.而北師大版中約有86%的題為畫三視圖，僅有約14%的題為根據(jù)三視圖畫實物圖，這與北師大版教材將“由三視圖還原成實物圖”單獨作為一節(jié)的編排不相符合.比較而言，人教A版在課后習(xí)題的配置上突出了根據(jù)三視圖畫出示意圖的重要性，彌補了教材正文的不足.

從題型上來看，人教A版中還設(shè)有實際動手操作題(利用硬紙制作實物模型)，北師大版中還設(shè)有改錯題.

2 比較后的一點思考

通過對人教A版和北師大版教材“三視圖”的比較，筆者發(fā)現(xiàn)人教A版教材的特色主要有：注重對學(xué)生的引導(dǎo)，力求讓學(xué)生自己去觀察、思考、探究、發(fā)現(xiàn)；重視引導(dǎo)方式和教學(xué)方式的改進.北師大版的特色主要是：以例題為主，注重知識的講解，重視知識的復(fù)習(xí)鞏固以及學(xué)生的動手實踐意識.在此，結(jié)合教科書的特色，對教學(xué)有如下建議：

2.1 加強對教材連續(xù)性的研究，實現(xiàn)教學(xué)的螺旋式上升

初中階段已經(jīng)有了比較完整的三視圖的學(xué)習(xí)，高中階段的教學(xué)不應(yīng)停留在“能畫出簡單組合體的三視圖”，而應(yīng)放眼更高的要求“能根據(jù)幾何體的三視圖想象它們的幾何結(jié)構(gòu)特征，畫出直觀圖”.教師應(yīng)該加強對教材連續(xù)性的研究，做到哪些內(nèi)容以前學(xué)過，學(xué)到什么程度，要求程度如何，才能有針對性的教學(xué)，真正做到教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認知水平的螺旋式上升.