拓撲空間中ω-極限集的幾個性質*

謝 潔， 金渝光

(重慶師范大學 數(shù)學學院，重慶 401331)

ω-極限點的概念是由周期點的概念推廣而得到的，是動力系統(tǒng)中的重要概念.在區(qū)間自映射的ω-極限集的研究，以及圓周自映射ω-極限集的研究中已經對度量空間中ω-極限集的一些性質進行了詳細的證明.此處通過對一般拓撲空間中閉集的研究，并且運用數(shù)學分析中的一些知識得到了拓撲空間上ω-極限集的一個性質，也就是定理1中得到的結果.對于拓撲空間加以一定的條件，可以得到軌道orbf(x)為非空有界閉的連通集，也就是定理2的結果.通過對度量空間中ω-極限集的研究可以得到拓撲空間中ω-極限集的一個性質，定理3給出了證明.

1 預備知識

定義1[1]設X為拓撲空間，G為時間拓撲半群，如果F：X×G→X連續(xù)且滿足對任意x∈X，以及任意t，s∈G，有

(1)F(x，0)=x.

(2)F(x，t+s)=F(F(x，t)，s).

則稱F為X上的拓撲動力系統(tǒng).

定義2[2]設(X，f)，(Y，g)都是動力系統(tǒng)，如果存在同胚h：X→Y使得對任何x∈X，h°f=g°h，則稱f與g拓撲共軛；若f，g都是滿射，h為連續(xù)滿射，則稱f與g拓撲半共軛.

定義3[3]y∈X為x的ω-極限點，如果存在正整數(shù)的子序列{ni}，使當ni→∞，fni(x)→y，x的所有ω-極限點的集合叫做x的ω-極限集，記做ω(x，f).

定理1[5]設X為拓撲空間，則下列條件等價：

1)X不連通.

2) 存在X中兩個非空閉集A，B使X=A∪B，A∩B=?.

證明

定理2[6]閉包是包含這個集合的最小閉集.

證明見參考文獻[7].

定理3[7]ω(x，f)是X的閉子集.

證明

命題1 設ni為正整數(shù)的子序列，則對任何n>0，存在r，0≤r

證明

對每個ni，存在整數(shù)pi≥0以及0≤ri

命題2 設A是拓撲空間X中的點集，x∈X，那么下列事件等價.

2)x的每個領域o(x)中有A的點.

3) 有點列xn?A，使得?o(x)，有N，當n>N時，xn∈o(x).

證明

命題3 在拓撲空間中x的點集A為閉集?A中任何收斂點列極限屬于A.

證明

充分性.對任意x∈d(A)，由命題2，存在{xn}?A，xn≠x，xn→x(n→∞)，而x∈A，所以d(A)?A，A為閉集.

2 主要結論

定理4 設X為序列緊致的T2空間，Y為拓撲空間，f：X→X，g：Y→Y均為連續(xù)映射，h：X→Y是介于f與g之間的拓撲半共軛，則對任意y∈Y，任意x∈h-1(y)，有h(ω(x，f))=ω(y，g).

證明

對?t∈h(ω(x，f))，?z∈ω(x，f)，使得h(z)=t，因z∈ω(x，f)，則存在正整數(shù)序列ni→+∞(i→+∞)，使得fni(x)→z，又因為h為拓撲半共軛，有h°fni(x)=gni°h(x)=gni(y)→h(z)(i→+∞)，t∈ω(y，g)，所以h(ω(x，f))?ω(y，g).

反過來，若有t∈ω(y，g)，則存在正整數(shù)序列ni→+∞，使得gni(y)→t，有h°fni(x)→t.因為X為序列緊致的T2空間，{fni(x)}有收斂子序列{fnij(x)}收斂到X中的點u，由命題3知u∈ω(x，f)，h°fnij(x)=gnij(y)→h(u)，由極限的唯一性知t=h(u)，ω(y，g)∈h(ω(x，f))，綜上所述，有h(ω(x，f))=ω(y，g).

定理5 設X是一個可度量化的拓撲空間，設其度量為d，若f：X→X是一個連續(xù)映射，則軌道orbf(x)的ω-極限集為非空有界閉的連通集.

證明

定理6 設f為拓撲空間(X，τ)上的連續(xù)映射，設n>0，則x∈ω(x，f)當且僅當x∈ω(x，fn).

證明

充分性.設x∈ω(x，fn)，則存在ni→∞使得(fn)ni(x)→x，即fn+ni(x)→x，則x∈ω(x，f).

(1)Un-1?Un-2?…?U0.

(2)fmjk(Uk)?Uk-1，k=1，2，…，n-1.

(3)fmjk(x)∈Uk-1，k=1，2，…，n.

于是有fmj1+mj2+…+mjn(x)∈U0，又因為mj1+mj2+…+mjn=0，所以x∈ω(x，fn).

參考文獻：

[1] 廖公夫，王立冬，范欽杰.映射迭代與混沌動力系統(tǒng)[M].北京：科學出版社，2013

[2] 張景中，熊金城.函數(shù)迭代與一維動力系統(tǒng)[M].成都：四川教育出版社，1992

[3] 陳二才.圓周自映射的ω-極限集[J].南京師范大學學報：自然科學版，1990，13(4)：7-14

[4] 楊潤生.無馬蹄的圓周自映射[J].南京師范大學學報：自然科學版，1989，12(1)：26-41

[5] 林銀河.拓撲空間中序列的聚點集與軌道的ω-極限集[J].長春師范學院學報：自然科學版，2006，25(2)：16-17

[6] 邢志濤，傅本路.關于ω-極限集的一點注記[J].肇慶學院學報，2006，27(2)：8-21

[7] 熊金誠.點集拓撲講義[M].北京：高等教育出版社，2003