基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案優(yōu)化*

李 亞 平

(安徽經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 信息工程系，合肥 230059)

群組決策中，AHP判斷矩陣集結(jié)是多目標(biāo)多元素決策的關(guān)鍵問題[1]，它直接影響到由多個(gè)判斷矩陣形成一致性評(píng)價(jià)結(jié)果的合理性和科學(xué)性.針對(duì)群組決策中矩陣集結(jié)的研究，徐澤水提出了基于可能度的區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣排序方案[2]，楊善林、劉心報(bào)給出了hadamard加性凸組合和乘性凸組合的集結(jié)方法[3]，吳江從偏好信息的角度提出并設(shè)計(jì)了一種群組區(qū)間數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的集結(jié)方法[4]，郭欣榮、呂躍進(jìn)提出了一種基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案[5].這些集結(jié)方案為避免矩陣集結(jié)中一致性調(diào)整帶來的復(fù)雜性和主觀性，從不同的角度設(shè)計(jì)了可行的數(shù)學(xué)方法，文獻(xiàn)[6]還對(duì)hadamard凸組合的基本性質(zhì)進(jìn)行了研究，并對(duì)其中乘性集結(jié)和加性集結(jié)進(jìn)行了研究.

此處對(duì)基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案進(jìn)行了研究，同時(shí)借鑒其他矩陣集結(jié)方案的基本思想，論證該方案在專家矩陣偏差及一致性調(diào)整方面有相應(yīng)的優(yōu)勢(shì)及存在的問題.對(duì)于加性及乘性集結(jié)方案，存在集結(jié)結(jié)果不符合邏輯含義以及在特定情況下出現(xiàn)不一致排序的情形.

1 問題的提出

1.1 基于無向連通圖矩陣集結(jié)方案的基本思想

按照文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)的集結(jié)方案，其基本思想是對(duì)m個(gè)N*N的判斷矩陣M1，M2，…，Mm進(jìn)行集結(jié)時(shí)，首先，在N*N矩陣的上三角(或下三角)中選取N-1個(gè)位置，要求在這N-1個(gè)位置的每一個(gè)位置(i，j)，對(duì)應(yīng)取得的{M1(i，j)，M2(i，j)，…，Mm(i，j)}相對(duì)一致，偏差盡量小(其中偏差計(jì)算的方法為向量中各元素兩兩相減的絕對(duì)值求和).若將判斷矩陣視為圖存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)中的鄰接矩陣，此N-1個(gè)元素所對(duì)應(yīng)的圖結(jié)構(gòu)為無向連通圖(即不存在環(huán)).簡而言之，就是在無環(huán)的前提下，不存在其他位置上相應(yīng)的偏差小于選定的N-1個(gè)位置所對(duì)應(yīng)的偏差.對(duì)這些位置的元素Aij求算術(shù)平均(加性)或幾何平均(乘性)，以此為基礎(chǔ)，按照行與行成比例的原則，推算其他位置元素值，以此構(gòu)建具有完全一致性的判斷矩陣.

1.2 存在的問題

為更好地描述問題，以文獻(xiàn)[5]中的專家判斷矩陣為例，給出一個(gè)計(jì)算范例.

(1)

此處僅對(duì)式(1)各矩陣的元素Ai(1，3)=(5，7，8，2)調(diào)整為Ai(1，3)=(3，2，2，1/3)，同時(shí)對(duì)應(yīng)調(diào)整Ai(3，1)位置元素值，形成新的專家判斷矩陣：

(2)

對(duì)矩陣B1，B2，B3，B4采用文獻(xiàn)[ 5]中設(shè)計(jì)的基于無向連通圖理論的集結(jié)方法進(jìn)行集結(jié).

Step 1：群組決策中，判斷矩陣會(huì)存在不一致的情形[7]，因此需對(duì)矩陣B1，B2，B3，B4進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)其一致性比率均小于0.1，即符合一致性檢驗(yàn)要求.

即與原文的偏差矩陣僅在E13位置有差別.

Step 3：由此可以初步判斷，B1，B2，B3，B4中一致性較高的元素為各矩陣中的b23，b24，b34，如圖1所示.

由于圖1存在環(huán)，在完全一致性的前提下，按照行與行成比例的原則，無法推導(dǎo)出其他元素值.因此，在上三角的余下元素值中挑選次小的值替換(b23，b24，b34)中最大的b34.由于E中其他位置的值均為12，則有3種替換方案，如圖2-圖4所示，其中圖2，圖3與原文方案一致，圖4為重新設(shè)計(jì)的Ai(1，3)=(3，2，2，1/3)所形成.

圖1 最小偏差圖結(jié)構(gòu)

圖2 無環(huán)最小偏差圖結(jié)構(gòu)1

圖3 無環(huán)最小偏差圖結(jié)構(gòu)2

圖4 無環(huán)最小偏差圖結(jié)構(gòu)3

Step 4：按圖4所示方案，對(duì)矩陣B1，B2，B3，B4中，一致性較高的(b23，b24，b13)進(jìn)行乘性集結(jié)，得到

按照行與行成比例的原則，推導(dǎo)出上三角其他元素值，并按照互反原則形成最終具有完全一致性集結(jié)矩陣：

(3)

對(duì)其進(jìn)行EM法，得排序向量為W=(0.293，0.174，0.207，0.325)，則得到專家排序?yàn)镾4>S1>S3>S2.同理對(duì)圖4采用加性集結(jié)，同樣得到S4>S1>S3>S2的排序結(jié)果.

同理，按照?qǐng)D2，圖3所示方案，無論按照乘性原則還是加性原則均可以得到的專家排序均為S1>S4>S3>S2，這與原文中所采用的加性方法在圖2，圖3情況下所得排序一致.

因此，可以得到在特定情況下，基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案可能出現(xiàn)相互矛盾的排序結(jié)果.

2 問題分析

之所以出現(xiàn)相互矛盾的排序結(jié)果，是因?yàn)樵诨跓o向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案中設(shè)計(jì)的偏差計(jì)算方法得到偏差矩陣的e12=e13=e14=12，即各專家矩陣在b12，b13，b14位置的偏差是相等的.因此圖2-圖4對(duì)應(yīng)的3種方案具有同等的合理性，

然而，基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案計(jì)算專家評(píng)價(jià)偏差方法的基本思想是利用各專家評(píng)價(jià)值在等級(jí)上差值的絕對(duì)值和來衡量偏差程度，因此，可以導(dǎo)出如下結(jié)論：對(duì)于評(píng)價(jià)值(4，2)和(2，1/2)，按照step 2的規(guī)則對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換為X1=(12，10)和X2=(10，8)，易知二者的等級(jí)偏差均為2，但對(duì)應(yīng)的加性集結(jié)綜合評(píng)價(jià)值分別為(4+2)/2，(2+1/2)/2，即3和5/4，同理對(duì)應(yīng)的乘性集結(jié)綜合評(píng)價(jià)值分別為2.83和1.顯而易見，雖等級(jí)偏差相等，但前者所包含的一組專家評(píng)價(jià)在排序上一致的，后者包含的專家評(píng)價(jià)在排序上相反，同時(shí)二者在形成的綜合評(píng)價(jià)值上存在顯著偏差.因此，基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案設(shè)計(jì)的計(jì)算專家評(píng)價(jià)偏差方法仍有改進(jìn)的空間.

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)方案，在本質(zhì)上選取一致性較好的專家意見進(jìn)行加性或乘性集結(jié)，在符合判斷矩陣一致性的前提下，按照文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)的等級(jí)偏差方法所選取的一致性較好的專家意見可能導(dǎo)致相矛盾的綜合排序，因此需要對(duì)通過等級(jí)偏差來確定專家意見一致性的方法進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整.在等級(jí)偏差相等時(shí)，按以下原則進(jìn)行調(diào)整：

(1) 首先按照邏輯含義的偏差，在等級(jí)偏差相等時(shí)，剔除同時(shí)包含不同排序?qū)＜乙庖姷木仃囄恢?即在該位置，多個(gè)專家矩陣中同時(shí)存在大于1和小于1的評(píng)價(jià)值).

(2) 對(duì)于剩下符合條件的位置大于或等于2個(gè)時(shí)，則通過比較方差來進(jìn)行選取.例如，對(duì)于評(píng)價(jià)值(1，2，3，4，5)和(1，1，1，1，6)，按照step 2的規(guī)則對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換為X3=(9，10，11，12，13)和X4=(9，9，9，9，14)的等級(jí)偏差均為3.則根據(jù)D(X1)=10，D(X2)=20，優(yōu)先選取X3對(duì)應(yīng)的分支.

(3) 其他情形按基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)的原方案進(jìn)行.

由此可以避免基于無向連通圖理論的矩陣集結(jié)的集結(jié)結(jié)果不符合邏輯含義以及在特定情況下出現(xiàn)不一致排序的情形.

參考文獻(xiàn)：

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[6] 徐澤水.文獻(xiàn)[1]和[2]中判斷矩陣凸組合性質(zhì)的一個(gè)注記[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2001(1)：139-140

[7] 陳均明.模糊層次分析法在投資決策中的應(yīng)用[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，25(1)：29-32