分式求值背后的思想方法

徐金星

要想找到快速破題之法，關(guān)鍵就是解題的數(shù)學(xué)思想要正確，方法要得當(dāng). 怎樣才能做到這些呢？下面結(jié)合近幾年的中考試題，跟同學(xué)們來一起探究一下本章中常見的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的關(guān)鍵作用，望能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來裨益.

一、 分類討論，抽絲剝繭

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，則的值為______.

【分析】很顯然，根據(jù)題目條件，只知道a、b均不為0，但不能直接求出它們的值. 由于a、b的不確定性，則需對它們分類進行討論. 結(jié)合去絕對值的需要，可以將它們分同正、同負、一正一負來討論. 當(dāng)a、b同為正數(shù)時，>0， >0，不合題意，舍去；同理，當(dāng)a、b同為負數(shù)時，也舍去；故a、b兩數(shù)一正一負，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【點評】對于不確定因素的問題，我們需要進行分類討論. 本題中沒有明確指出兩數(shù)的大小，我們就可以分同正、同負、一正一負三種情況來討論，看哪種情形滿足題目中的條件，進而為問題的解決提供方便.

二、 類比聯(lián)想，解題輕松

例2（2013·江蘇宿遷）先化簡，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化簡的式子，可知其中有加、減、除、乘方運算，并含有括號，是分式的混合運算. 類比分數(shù)的運算法則，先算括號內(nèi)的，再將除法變?yōu)槌朔ㄓ嬎?

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴當(dāng)x=3時，原式==4.

【點評】波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.” 類比思想是一種很重要的解題思想，同學(xué)們應(yīng)該還記得，在學(xué)習(xí)一元一次不等式的解法時，類比解一元一次方程的方法，學(xué)起來就很輕松. 那么，我們在學(xué)習(xí)分式時，類比分數(shù)的有關(guān)知識，不失為一種科學(xué)的學(xué)習(xí)方法.望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中注意體會和應(yīng)用. 解題過程中，有時還要對某些式子先分解因式，約去分子、分母的公因式，使其變成最簡分式. 解決這類問題，一般是將分式先化簡，再代值計算.

三、 整體考慮，出奇制勝

例3（2013·山東棗莊）先化簡，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡原式可以得到.要求的值，則要求出m的值，可現(xiàn)階段又沒有學(xué)過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯(lián)想整體思想，看看條件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即將m2+3m看作一個整體，如果所求式子中有或者能夠變形得到這個式子，那么問題可解. 仔細觀察，則有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【點評】在思考數(shù)學(xué)問題時，不能只著眼于它的局部特征. 整體思想是把聯(lián)系緊密的幾個量作為一個整體，再進行運算的數(shù)學(xué)思想. 運用這種思想可以將復(fù)雜問題簡單化，使解題過程簡捷，達到出奇制勝的效果.一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設(shè)元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構(gòu)造等.

跟蹤練習(xí)

1. （2013·重慶市）先化簡，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b滿足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·廣州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江蘇泰州）解方程：-=.

參考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴當(dāng)a=3，

b=1.時，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

經(jīng)檢驗：x=-是原方程的解.

∴原方程的解為x=-.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初中）

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要想找到快速破題之法，關(guān)鍵就是解題的數(shù)學(xué)思想要正確，方法要得當(dāng). 怎樣才能做到這些呢？下面結(jié)合近幾年的中考試題，跟同學(xué)們來一起探究一下本章中常見的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的關(guān)鍵作用，望能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來裨益.

一、 分類討論，抽絲剝繭

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，則的值為______.

【分析】很顯然，根據(jù)題目條件，只知道a、b均不為0，但不能直接求出它們的值. 由于a、b的不確定性，則需對它們分類進行討論. 結(jié)合去絕對值的需要，可以將它們分同正、同負、一正一負來討論. 當(dāng)a、b同為正數(shù)時，>0， >0，不合題意，舍去；同理，當(dāng)a、b同為負數(shù)時，也舍去；故a、b兩數(shù)一正一負，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【點評】對于不確定因素的問題，我們需要進行分類討論. 本題中沒有明確指出兩數(shù)的大小，我們就可以分同正、同負、一正一負三種情況來討論，看哪種情形滿足題目中的條件，進而為問題的解決提供方便.

二、 類比聯(lián)想，解題輕松

例2（2013·江蘇宿遷）先化簡，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化簡的式子，可知其中有加、減、除、乘方運算，并含有括號，是分式的混合運算. 類比分數(shù)的運算法則，先算括號內(nèi)的，再將除法變?yōu)槌朔ㄓ嬎?

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴當(dāng)x=3時，原式==4.

【點評】波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.” 類比思想是一種很重要的解題思想，同學(xué)們應(yīng)該還記得，在學(xué)習(xí)一元一次不等式的解法時，類比解一元一次方程的方法，學(xué)起來就很輕松. 那么，我們在學(xué)習(xí)分式時，類比分數(shù)的有關(guān)知識，不失為一種科學(xué)的學(xué)習(xí)方法.望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中注意體會和應(yīng)用. 解題過程中，有時還要對某些式子先分解因式，約去分子、分母的公因式，使其變成最簡分式. 解決這類問題，一般是將分式先化簡，再代值計算.

三、 整體考慮，出奇制勝

例3（2013·山東棗莊）先化簡，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡原式可以得到.要求的值，則要求出m的值，可現(xiàn)階段又沒有學(xué)過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯(lián)想整體思想，看看條件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即將m2+3m看作一個整體，如果所求式子中有或者能夠變形得到這個式子，那么問題可解. 仔細觀察，則有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【點評】在思考數(shù)學(xué)問題時，不能只著眼于它的局部特征. 整體思想是把聯(lián)系緊密的幾個量作為一個整體，再進行運算的數(shù)學(xué)思想. 運用這種思想可以將復(fù)雜問題簡單化，使解題過程簡捷，達到出奇制勝的效果.一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設(shè)元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構(gòu)造等.

跟蹤練習(xí)

1. （2013·重慶市）先化簡，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b滿足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·廣州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江蘇泰州）解方程：-=.

參考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴當(dāng)a=3，

b=1.時，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

經(jīng)檢驗：x=-是原方程的解.

∴原方程的解為x=-.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初中）

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要想找到快速破題之法，關(guān)鍵就是解題的數(shù)學(xué)思想要正確，方法要得當(dāng). 怎樣才能做到這些呢？下面結(jié)合近幾年的中考試題，跟同學(xué)們來一起探究一下本章中常見的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的關(guān)鍵作用，望能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來裨益.

一、 分類討論，抽絲剝繭

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，則的值為______.

【分析】很顯然，根據(jù)題目條件，只知道a、b均不為0，但不能直接求出它們的值. 由于a、b的不確定性，則需對它們分類進行討論. 結(jié)合去絕對值的需要，可以將它們分同正、同負、一正一負來討論. 當(dāng)a、b同為正數(shù)時，>0， >0，不合題意，舍去；同理，當(dāng)a、b同為負數(shù)時，也舍去；故a、b兩數(shù)一正一負，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【點評】對于不確定因素的問題，我們需要進行分類討論. 本題中沒有明確指出兩數(shù)的大小，我們就可以分同正、同負、一正一負三種情況來討論，看哪種情形滿足題目中的條件，進而為問題的解決提供方便.

二、 類比聯(lián)想，解題輕松

例2（2013·江蘇宿遷）先化簡，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化簡的式子，可知其中有加、減、除、乘方運算，并含有括號，是分式的混合運算. 類比分數(shù)的運算法則，先算括號內(nèi)的，再將除法變?yōu)槌朔ㄓ嬎?

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴當(dāng)x=3時，原式==4.

【點評】波利亞曾說過：“類比是一個偉大的引路人.” 類比思想是一種很重要的解題思想，同學(xué)們應(yīng)該還記得，在學(xué)習(xí)一元一次不等式的解法時，類比解一元一次方程的方法，學(xué)起來就很輕松. 那么，我們在學(xué)習(xí)分式時，類比分數(shù)的有關(guān)知識，不失為一種科學(xué)的學(xué)習(xí)方法.望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中注意體會和應(yīng)用. 解題過程中，有時還要對某些式子先分解因式，約去分子、分母的公因式，使其變成最簡分式. 解決這類問題，一般是將分式先化簡，再代值計算.

三、 整體考慮，出奇制勝

例3（2013·山東棗莊）先化簡，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡原式可以得到.要求的值，則要求出m的值，可現(xiàn)階段又沒有學(xué)過如何解這個方程，那怎么辦呢？聯(lián)想整體思想，看看條件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即將m2+3m看作一個整體，如果所求式子中有或者能夠變形得到這個式子，那么問題可解. 仔細觀察，則有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【點評】在思考數(shù)學(xué)問題時，不能只著眼于它的局部特征. 整體思想是把聯(lián)系緊密的幾個量作為一個整體，再進行運算的數(shù)學(xué)思想. 運用這種思想可以將復(fù)雜問題簡單化，使解題過程簡捷，達到出奇制勝的效果.一般地，運用整體思想的方法有整體代換、整體設(shè)元、整體變形、整體補形、整體配湊和整體構(gòu)造等.

跟蹤練習(xí)

1. （2013·重慶市）先化簡，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b滿足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·廣州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江蘇泰州）解方程：-=.

參考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴當(dāng)a=3，

b=1.時，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

經(jīng)檢驗：x=-是原方程的解.

∴原方程的解為x=-.

（作者單位：湖北省孝感市肖港初中）

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