平行四邊形”中的數(shù)學思想方法

曹利民

數(shù)學思想被稱為數(shù)學的靈魂，也是學習和解決數(shù)學問題的指南. 學習平行四邊形知識，也應重視數(shù)學思想方法的應用. 現(xiàn)將常見的數(shù)學思想方法舉例如下.

一、 方程思想

在解決平行四邊形有關問題時，通過設未知數(shù)，列出方程（組），可使問題的解決變得簡捷方便.

例1 如圖1，已知：?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△AOD的周長大8，且AB∶AD=3∶2，求?ABCD的周長.

【分析】要求?ABCD的周長，只要求出AB、AD的長，為此設AB=3x，AD=2x，再根據(jù)三角形周長的意義及平行四邊形對角線互相平分，可得AB-AD=8，從而列出方程，求出x的值，再求出AB、AD的長，就可以求出平行四邊形的周長.

解：設AB=3x，AD=2x.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，OB=OD.

∵△AOB的周長比△AOD的周長大8，

∴（AO+OB+AB）-（AO+OD+AD）=8.

∴AB-AD=8，即3x-2x=8，∴AB=3x=24，AD=2x=16，∴?ABCD周長=AB+BC+CD

+AD=2（AB+AD）=80.

【點評】當題目中有比值條件時，常設未知數(shù)構造方程解決問題.

二、 轉化思想

在解決四邊形有關問題時，常利用轉化思想，通過作輔助線，把四邊形轉化為三角形，把一般四邊形轉化為特殊四邊形等.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的長.

【分析】要求AD的長度，需要借助輔助線把問題轉化，由∠A和∠B的關系可以判定AD∥BC，這樣不妨過點C作AB的平行線，構成一個平行四邊形，然后利用角之間的關系與平行四邊形的性質，使問題得以解決.

解：過點C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120°. 又∵∠BCD=150°，∴∠DCE=30°，

而∠D=360°-120°-60°-150°=30°，

∴∠D=∠DCE=30°，∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=8+6=14.

【點評】本題通過作輔助線，把四邊形轉化為一個平行四邊形和一個等腰三角形.

例3 如圖3，在△ABC中，AB=6，AC=4. AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是______.

【分析】要確定AD的取值范圍，聯(lián)想到三角形三邊關系，但又不能把AB、AC和AD放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三邊關系，由AD是中線聯(lián)想到延長中線，得到平行四邊形，得AB=CE，將已知量與未知量集中到三角形中來求解.

解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE、CE. ∵BD=CD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴CE=AB=6，在△ACE中，6-4

【點評】當題中有三角形的中線時，常常延長中線，構造平行四邊形，這種作輔助線的方法在解題中經常用到，要注意掌握.

三、 面積思想

在解決線段之間的關系問題時，面積法是常用的數(shù)學思想方法.

例4 如圖4，已知?ABCD的周長是36 cm，由頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF，且DE=4 cm、DF

=5 cm，求這個平行四邊形的面積.

【分析】求這個平行四邊形的面積，只要求出一條邊即可，由題意可得AB+BC=18 cm，再由面積公式可得，DE·AB=DF·BC，即4AB=5BC，利用上述兩個等式求出AB或BC，就可以求出?ABCD的面積.

解：設AB=x cm，BC=y cm.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵?ABCD的周長為36 cm，

∴2x+2y=36.①

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴S?ABCD=AB·DE=BC·DF，∴4x=5y. ②

解由①、②組成的方程組得，x=10，y=8，∴S?ABCD=AB·DE=10×4=40（cm2）.

【點評】在三角形和平行四邊形中，常運用“等積法”進行求解，以不同的邊為底，其高也不同，但面積是定值.

例5 如圖5，已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，P是AB上不與A、D重合的動點，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F為垂足，則PE+PF的值為（）.

A. 2 B. C. D. 3

【分析】連接PO，利用面積公式進行解題：S△APO=AO·PE，S△DPO=OD·PF.

在Rt△ABC中，AC==5，則AO=DO=，∴S△APO+S△DPO=AO·PE

+OD·PF= （PE+PF），即S△AOD=（PE

+PF），而S△AOD=S矩形ABCD=×3×4=3.

則有（PE+PF）=3，所以PE+PF=.

【解答】C.

【點評】本題求兩線段的和，由于P是動點，不能求出兩線段的具體長度，利用面積思想，使問題巧妙求解.

（作者單位：江蘇省常熟市大義中學）

數(shù)學思想被稱為數(shù)學的靈魂，也是學習和解決數(shù)學問題的指南. 學習平行四邊形知識，也應重視數(shù)學思想方法的應用. 現(xiàn)將常見的數(shù)學思想方法舉例如下.

一、 方程思想

在解決平行四邊形有關問題時，通過設未知數(shù)，列出方程（組），可使問題的解決變得簡捷方便.

例1 如圖1，已知：?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△AOD的周長大8，且AB∶AD=3∶2，求?ABCD的周長.

【分析】要求?ABCD的周長，只要求出AB、AD的長，為此設AB=3x，AD=2x，再根據(jù)三角形周長的意義及平行四邊形對角線互相平分，可得AB-AD=8，從而列出方程，求出x的值，再求出AB、AD的長，就可以求出平行四邊形的周長.

解：設AB=3x，AD=2x.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，OB=OD.

∵△AOB的周長比△AOD的周長大8，

∴（AO+OB+AB）-（AO+OD+AD）=8.

∴AB-AD=8，即3x-2x=8，∴AB=3x=24，AD=2x=16，∴?ABCD周長=AB+BC+CD

+AD=2（AB+AD）=80.

【點評】當題目中有比值條件時，常設未知數(shù)構造方程解決問題.

二、 轉化思想

在解決四邊形有關問題時，常利用轉化思想，通過作輔助線，把四邊形轉化為三角形，把一般四邊形轉化為特殊四邊形等.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的長.

【分析】要求AD的長度，需要借助輔助線把問題轉化，由∠A和∠B的關系可以判定AD∥BC，這樣不妨過點C作AB的平行線，構成一個平行四邊形，然后利用角之間的關系與平行四邊形的性質，使問題得以解決.

解：過點C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120°. 又∵∠BCD=150°，∴∠DCE=30°，

而∠D=360°-120°-60°-150°=30°，

∴∠D=∠DCE=30°，∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=8+6=14.

【點評】本題通過作輔助線，把四邊形轉化為一個平行四邊形和一個等腰三角形.

例3 如圖3，在△ABC中，AB=6，AC=4. AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是______.

【分析】要確定AD的取值范圍，聯(lián)想到三角形三邊關系，但又不能把AB、AC和AD放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三邊關系，由AD是中線聯(lián)想到延長中線，得到平行四邊形，得AB=CE，將已知量與未知量集中到三角形中來求解.

解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE、CE. ∵BD=CD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴CE=AB=6，在△ACE中，6-4

【點評】當題中有三角形的中線時，常常延長中線，構造平行四邊形，這種作輔助線的方法在解題中經常用到，要注意掌握.

三、 面積思想

在解決線段之間的關系問題時，面積法是常用的數(shù)學思想方法.

例4 如圖4，已知?ABCD的周長是36 cm，由頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF，且DE=4 cm、DF

=5 cm，求這個平行四邊形的面積.

【分析】求這個平行四邊形的面積，只要求出一條邊即可，由題意可得AB+BC=18 cm，再由面積公式可得，DE·AB=DF·BC，即4AB=5BC，利用上述兩個等式求出AB或BC，就可以求出?ABCD的面積.

解：設AB=x cm，BC=y cm.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵?ABCD的周長為36 cm，

∴2x+2y=36.①

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴S?ABCD=AB·DE=BC·DF，∴4x=5y. ②

解由①、②組成的方程組得，x=10，y=8，∴S?ABCD=AB·DE=10×4=40（cm2）.

【點評】在三角形和平行四邊形中，常運用“等積法”進行求解，以不同的邊為底，其高也不同，但面積是定值.

例5 如圖5，已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，P是AB上不與A、D重合的動點，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F為垂足，則PE+PF的值為（）.

A. 2 B. C. D. 3

【分析】連接PO，利用面積公式進行解題：S△APO=AO·PE，S△DPO=OD·PF.

在Rt△ABC中，AC==5，則AO=DO=，∴S△APO+S△DPO=AO·PE

+OD·PF= （PE+PF），即S△AOD=（PE

+PF），而S△AOD=S矩形ABCD=×3×4=3.

則有（PE+PF）=3，所以PE+PF=.

【解答】C.

【點評】本題求兩線段的和，由于P是動點，不能求出兩線段的具體長度，利用面積思想，使問題巧妙求解.

（作者單位：江蘇省常熟市大義中學）

數(shù)學思想被稱為數(shù)學的靈魂，也是學習和解決數(shù)學問題的指南. 學習平行四邊形知識，也應重視數(shù)學思想方法的應用. 現(xiàn)將常見的數(shù)學思想方法舉例如下.

一、 方程思想

在解決平行四邊形有關問題時，通過設未知數(shù)，列出方程（組），可使問題的解決變得簡捷方便.

例1 如圖1，已知：?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△AOD的周長大8，且AB∶AD=3∶2，求?ABCD的周長.

【分析】要求?ABCD的周長，只要求出AB、AD的長，為此設AB=3x，AD=2x，再根據(jù)三角形周長的意義及平行四邊形對角線互相平分，可得AB-AD=8，從而列出方程，求出x的值，再求出AB、AD的長，就可以求出平行四邊形的周長.

解：設AB=3x，AD=2x.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，OB=OD.

∵△AOB的周長比△AOD的周長大8，

∴（AO+OB+AB）-（AO+OD+AD）=8.

∴AB-AD=8，即3x-2x=8，∴AB=3x=24，AD=2x=16，∴?ABCD周長=AB+BC+CD

+AD=2（AB+AD）=80.

【點評】當題目中有比值條件時，常設未知數(shù)構造方程解決問題.

二、 轉化思想

在解決四邊形有關問題時，常利用轉化思想，通過作輔助線，把四邊形轉化為三角形，把一般四邊形轉化為特殊四邊形等.

例2 如圖2，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，求AD的長.

【分析】要求AD的長度，需要借助輔助線把問題轉化，由∠A和∠B的關系可以判定AD∥BC，這樣不妨過點C作AB的平行線，構成一個平行四邊形，然后利用角之間的關系與平行四邊形的性質，使問題得以解決.

解：過點C作CE∥AB交AD于E，

∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴AE=BC=8，CE=AB=6，∠BCE=∠A=120°. 又∵∠BCD=150°，∴∠DCE=30°，

而∠D=360°-120°-60°-150°=30°，

∴∠D=∠DCE=30°，∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=8+6=14.

【點評】本題通過作輔助線，把四邊形轉化為一個平行四邊形和一個等腰三角形.

例3 如圖3，在△ABC中，AB=6，AC=4. AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是______.

【分析】要確定AD的取值范圍，聯(lián)想到三角形三邊關系，但又不能把AB、AC和AD放在同一三角形里，故不能直接利用三角形三邊關系，由AD是中線聯(lián)想到延長中線，得到平行四邊形，得AB=CE，將已知量與未知量集中到三角形中來求解.

解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE、CE. ∵BD=CD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴CE=AB=6，在△ACE中，6-4

【點評】當題中有三角形的中線時，常常延長中線，構造平行四邊形，這種作輔助線的方法在解題中經常用到，要注意掌握.

三、 面積思想

在解決線段之間的關系問題時，面積法是常用的數(shù)學思想方法.

例4 如圖4，已知?ABCD的周長是36 cm，由頂點D向AB、BC引兩條高DE、DF，且DE=4 cm、DF

=5 cm，求這個平行四邊形的面積.

【分析】求這個平行四邊形的面積，只要求出一條邊即可，由題意可得AB+BC=18 cm，再由面積公式可得，DE·AB=DF·BC，即4AB=5BC，利用上述兩個等式求出AB或BC，就可以求出?ABCD的面積.

解：設AB=x cm，BC=y cm.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AD=BC，

又∵?ABCD的周長為36 cm，

∴2x+2y=36.①

又∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴S?ABCD=AB·DE=BC·DF，∴4x=5y. ②

解由①、②組成的方程組得，x=10，y=8，∴S?ABCD=AB·DE=10×4=40（cm2）.

【點評】在三角形和平行四邊形中，常運用“等積法”進行求解，以不同的邊為底，其高也不同，但面積是定值.

例5 如圖5，已知矩形ABCD，AB=3，AD=4，P是AB上不與A、D重合的動點，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F為垂足，則PE+PF的值為（）.

A. 2 B. C. D. 3

【分析】連接PO，利用面積公式進行解題：S△APO=AO·PE，S△DPO=OD·PF.

在Rt△ABC中，AC==5，則AO=DO=，∴S△APO+S△DPO=AO·PE

+OD·PF= （PE+PF），即S△AOD=（PE

+PF），而S△AOD=S矩形ABCD=×3×4=3.

則有（PE+PF）=3，所以PE+PF=.

【解答】C.

【點評】本題求兩線段的和，由于P是動點，不能求出兩線段的具體長度，利用面積思想，使問題巧妙求解.

（作者單位：江蘇省常熟市大義中學）