細析錯因 有效補救

孫開飛

在《圓柱與圓錐》這一單元的單元測試中，有這樣的一道題：一個圓柱形鐵塊的底面半徑3厘米，高10厘米，將其鑄成圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？結(jié)果有60%左右的學(xué)生做錯，而且錯誤的方法驚人的一致：V=■×3.14×32×10。對此教師作了針對性的評講。無獨有偶，在其后不久的期中測試中，又出現(xiàn)了一道與其類似的題目：一個圓柱形容器，底面半徑10厘米，里面放一些水，將一個圓柱形鐵塊放入其中（水沒有溢出，鐵塊完全浸沒），水面上升3厘米，求鐵塊的體積。這道題與上述試題難度一致，都屬于體積變形，結(jié)果仍有40%的學(xué)生出現(xiàn)差錯，原因仍是多乘了。在了解學(xué)生錯誤的原因時，學(xué)生說：“老師強調(diào)，要求圓錐的體積，不能忘記■，而題中要求圓錐的體積，所以我們都習(xí)慣性地乘■了?！泵鎸W(xué)生的錯因，讓我明白錯誤的根源在于課堂，那么日常教學(xué)中到底出現(xiàn)了怎樣的弊端呢？反思這部分內(nèi)容的教學(xué)，筆者覺得主要存在以下幾個問題：

首先，訓(xùn)練以模仿為主，缺乏必要的變式，導(dǎo)致學(xué)生只掌握了知識的外殼，而忽略了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。學(xué)生能夠運用圓錐的體積公式V=■sh進行體積計算，主要得益于教師的反復(fù)強調(diào)與強化練習(xí)。教學(xué)中，尤其是學(xué)生掌握了圓錐體積公式之后的練習(xí)，仍然是圍繞“已知圓錐的底面半徑（或直徑、周長）和高，求圓錐體積”這種基本的題型，強調(diào)的是“要求圓錐的體積，不能忘乘■”，而沒有能及時地作變式訓(xùn)練。這種反復(fù)的、大量的、機械的強化訓(xùn)練，致使學(xué)生一看到求圓錐體積，就條件反射地乘■或除以3，因而一再地出現(xiàn)上述錯誤，就不足為奇了。

其次，思維如同單行線，缺乏必要的對比，導(dǎo)致學(xué)生只能順向而行，不能把握題目內(nèi)涵。對于V=■sh這一公式的推導(dǎo)，教師在教學(xué)中花費了大量時間，進行了充分探索，學(xué)生也是學(xué)得透徹，因而運用這種方法計算圓錐的體積，在學(xué)生腦海中確立了牢固的地位。但這僅僅是圓錐體積計算的一個方法，還有其他方法教師未能涉及，即使在學(xué)生出現(xiàn)錯誤之后，教師的評講也是局限于“就題論題”，沒有對圓柱和圓錐的體積計算方法作有效的、針對性對比，致使學(xué)生的思維如同單行線，只會依據(jù)公式求圓錐體積，不能夠分析、把握題目的內(nèi)涵。

問題的結(jié)癥找到了，那么如何避免這樣的錯誤呢？我覺得在學(xué)生熟練掌握圓錐體積計算方法后，有必要作針對性的補救。我設(shè)計的教學(xué)是：

一、 在實踐中感悟

1.出示一些不規(guī)則的石塊，提問：怎樣才能測出這些石塊的體積？（由于學(xué)生在學(xué)習(xí)《長方體與正方體》這一單元時，已經(jīng)有了基礎(chǔ)，很容易想到：可以將石塊放入盛有水的量杯中，看水上升的體積）

2.如果將石塊改成圓錐，上升的體積還等于圓錐的體積嗎？

3.將量杯換成圓柱形容器，想一想，如何利用這個已經(jīng)告訴我們底面半徑的容器來測量圓錐的體積呢？將圓錐放入水中，在完全浸沒的情況下，上升的這一段水柱的體積與圓錐的體積有怎樣的關(guān)系？如果此時要求圓錐的體積，實際是求什么的體積？為什么不需要乘■呢？

4.學(xué)生實際操作實踐。

【設(shè)計意圖：“數(shù)學(xué)教學(xué)，實際是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。”這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，主要是讓學(xué)生直觀感受圓錐的體積等于上升的水柱的體積，而如果容器為圓柱形，則上升的這一段水柱也為圓柱，要求圓錐體積，在這里其實就是求上升的這一段圓柱形水柱的體積，故無需乘■?！?/p>

二、 在對比中提升

在上述實踐的基礎(chǔ)上，設(shè)計以下的三組對比題：

第一組：

1.一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），水面上升2厘米。求圓錐形鐵塊的體積。

2. 一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，再放入一個底面半徑2厘米，高3厘米的圓錐形鐵塊（完全浸沒），求圓錐的體積。

3. 一個圓柱形容器，底面半徑3厘米，在里面放一些水，水深3厘米再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），這時水深5厘米。求圓錐的體積。

第二組：

1.一個圓柱形鐵塊的底面半徑3厘米，高10厘米，將其鑄成圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？

2.一個圓柱形鐵塊正好可以熔鑄成底面半徑3厘米，高10厘米的圓錐形零件，這個零件的體積是多少立方厘米？

第三組：

1. 一個圓柱形容器，底面半徑6厘米，在里面放一些水，再放入一個圓錐形鐵塊（完全浸沒），水面上升2厘米。已知圓錐的底面半徑2厘米，求圓錐的高。

2.一個圓柱形鐵塊的半徑4厘米，高6厘米，將其鑄成底面半徑3厘米的圓錐形零件，求零件的高。

【設(shè)計意圖：烏申斯基曾說：“比較方法是各種認(rèn)識和各種思維的基礎(chǔ)?！毙W(xué)生在每一課的學(xué)習(xí)中所獲得的知識常常是局部的、分散的，會有“見葉不見枝、見木不見林”的現(xiàn)象，需要通過比較，來理解知識的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。在這一環(huán)節(jié)中，教師設(shè)計了三組比較題組，從而進一步把握相關(guān)知識的本質(zhì)，建構(gòu)起合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進思維能力的發(fā)展?！?/p>

三、 在反思中完善

由剛才的實踐以及對比訓(xùn)練，你覺得要求圓錐的體積，是不是一定要乘■？那么在什么情況下要乘■，在什么情況下不需要呢？（引導(dǎo)學(xué)生得出：在告訴我們圓錐的底面半徑與高的情況下，求圓錐的體積，就需要乘■。）

【設(shè)計意圖：在實踐操作以及比較訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自我反思總結(jié)，歸納出具有更高抽象性、概括性、包容性的認(rèn)識，形成活化的知識組塊，檢查自我數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，融會貫通并有序儲存，從而優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。】

在運用了上述的補救措施后，學(xué)生幾乎沒有再犯類似的錯誤。而通過對上述錯例的分析與反思，也給我們一定的啟示。

1.科學(xué)設(shè)計練習(xí)，把握數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)教學(xué)中一定量的練習(xí)是必要的，但練習(xí)不是單純的題目堆砌，更不能一成不變，要注意量與度的平衡，否則適得其反。教師要重視對練習(xí)題型的重組與變式，把握其中蘊含的數(shù)學(xué)方法，巧妙地將轉(zhuǎn)化、模型等數(shù)學(xué)思想有意識地滲透于學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生解一題，會一類；同時，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)典型的“通病”時，要仔細分析錯因，采取針對性措施，而不是就題論題。只有在科學(xué)合理訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，學(xué)生才能掌握更多的思維機制和數(shù)學(xué)思想，教學(xué)才能高屋建瓴。

2.重視解題反思，完善解題思路。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在總結(jié)他的學(xué)習(xí)經(jīng)歷時指出：“對書本中的原理、定量公式，我們不僅要記住它的結(jié)論，而且還要設(shè)想一下人家是怎樣想出來的，只有經(jīng)歷了這樣的探索過程，數(shù)學(xué)的思想方法才能凝聚在這些結(jié)論上，從而使知識具有更大的智慧?！币蚨處熞龑?dǎo)學(xué)生自覺地檢查自己的思維活動，如反思我是怎樣解決問題的，走了哪些彎路，運用哪些方法，有哪些易錯之處，記住怎樣的教訓(xùn)等等。只有這樣，才能促使學(xué)生真正理解和掌握，才能完善自我的解題思路。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)錯誤是在所難免的，尤其是當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)典型的、普遍性的錯誤時，我們不能總是責(zé)怪學(xué)生沒有仔細認(rèn)真，而要反思自己的教學(xué)過程，采取針對性的補救策略。

【責(zé)任編輯：陳國慶】