鋸齒型三角石墨烯電子結(jié)構(gòu)的量子尺寸效應(yīng)*

周曉飛, 童國平

(浙江師范大學(xué) 凝聚態(tài)物理研究所,浙江 金華 321004)

0 引 言

長期以來，人們一直以為二維形式的碳材料是不存在的[1-3]，直到2004年，英國曼徹斯頓大學(xué)Novoselov等[4]用機(jī)械剝離的方法成功制備了石墨烯[5-6].石墨烯因具有許多奇特的物理性質(zhì)而引起人們的廣泛關(guān)注，如半整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[7-8]、Klein 遂穿[9]、量子尺寸效應(yīng)等[10-12].一定尺寸的石墨烯納米片是在二維石墨烯的基礎(chǔ)上經(jīng)過一定方法剪裁得到的，在低維納米結(jié)構(gòu)中，不同的邊緣結(jié)構(gòu)、大小和形狀會(huì)對(duì)石墨烯的費(fèi)米面處的電子性質(zhì)產(chǎn)生一定的影響.從邊緣結(jié)構(gòu)上可分為扶手椅型和鋸齒型2類，整體形狀結(jié)構(gòu)有正三角形、方形、正六邊形、圓形.Akola等[13]使用密度泛函方法和緊束縛方法對(duì)一定尺寸鋸齒型和扶手椅型三角狀石墨烯的電子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了計(jì)算;Zarenia等[14]使用緊束縛方法和狄拉克方法研究了正三角和六角狀石墨烯片的電子性質(zhì);Ezawa[11]使用數(shù)值的方法研究了不同大小和形狀的鋸齒型和扶手椅型石墨烯納米結(jié)構(gòu)的電子性質(zhì)，對(duì)于方形帶狀的零維納米結(jié)構(gòu)，當(dāng)長度無限增大時(shí)，開始出現(xiàn)平能帶和簡并的零能態(tài)，而扶手椅型由于大小的不同存在奇偶效應(yīng)，能隙大小隨橫向原子個(gè)數(shù)的增加而減小，而且只有在鋸齒型三角狀結(jié)構(gòu)中存在零能態(tài);Potasz等[15]構(gòu)造了零能態(tài)的波函數(shù)，證明了零能態(tài)的簡并度源于2種原子數(shù)目的差值；同年，Rozhkov等[16]構(gòu)造了局域在三角結(jié)構(gòu)上的波函數(shù)，研究了扶手椅型三角狀石墨烯的電子性質(zhì).盡管人們已經(jīng)做了大量的工作，但是對(duì)量子尺寸效應(yīng)及能帶結(jié)構(gòu)中電子態(tài)的研究卻很少.

筆者采用緊束縛方法計(jì)算鋸齒型三角形狀石墨烯納米片的電子結(jié)構(gòu)，著重研究了量子尺寸效應(yīng).隨著邊界原子個(gè)數(shù)N的增加，能隙(零能態(tài)和第一激發(fā)態(tài)之間的差值)逐漸減小，能帶的寬度逐漸變寬.N較小的時(shí)候，能夠取得一些分散的能帶；當(dāng)N足夠大時(shí)，能帶曲線已經(jīng)出現(xiàn)在整個(gè)空間范圍內(nèi).

1 理論方法和模型

考慮一定大小正三角形鋸齒型石墨烯片，如圖1所示.

大球表示A原子；小球表示B原子圖1 三角形鋸齒型石墨烯片

采用緊束縛方法[17]，在考慮最近鄰電子跳躍的情況下計(jì)算石墨烯納米片的電子結(jié)構(gòu).石墨烯納米片的哈密頓量為

(1)

(2)

相應(yīng)的晶格內(nèi)部原子薛定諤方程可以寫為:

邊界原子上的薛定諤方程可以寫為

(5)

(6)

(7)

(8)

可以計(jì)算出一定大小尺寸的石墨烯納米片的態(tài)密度，擴(kuò)展因子Γ=0.05.

2 結(jié)果與討論

筆者計(jì)算了邊界原子個(gè)數(shù)為N=5,12,50(每邊的長度為L=1.5,3.2，12.5nm)的鋸齒型正三角形狀石墨烯納米片的態(tài)密度和N=3時(shí)kx方向的色散關(guān)系,具體見圖2.

圖2 邊界原子個(gè)數(shù)分別為5,12,50的態(tài)密度曲線

從圖2的態(tài)密度曲線中可以看出，各種尺寸石墨烯片都顯示金屬性.圖2中，(a),(b),(c)分別表示N=5,12,50的態(tài)密度曲線，態(tài)密度曲線在E=0處有一個(gè)尖峰.隨著N的增加,尖峰的高度逐漸增加，這源于N-1重簡并的零能邊緣態(tài).隨著N數(shù)目的增大，石墨烯納米片的能帶寬度變窄，能隙逐漸減小;當(dāng)N達(dá)到一定數(shù)值以后，能隙的大小與1/N成比例，而且當(dāng)邊界原子數(shù)目達(dá)到N=50時(shí)，態(tài)密度曲線與無限大石墨烯片整體相似.

三角狀鋸齒型石墨烯片主要存在2種電子態(tài)，分別是邊緣態(tài)與駐波態(tài)，駐波態(tài)波函數(shù)是正弦函數(shù)形式，邊緣態(tài)波函數(shù)是雙曲正弦形式，其能帶結(jié)構(gòu)由邊緣態(tài)能帶和駐波態(tài)能帶組成,具體見圖3.圖3中,(a)是kx,ky均取連續(xù)值時(shí)候kx方向能帶的變化;(b)是ky=1時(shí)能帶在kx方向的變化曲線.由于費(fèi)米面附近的能帶中存在邊緣態(tài)和駐波態(tài)，筆者著重研究了費(fèi)米片處的幾條能帶(除簡并的零能態(tài)組成的能帶)，結(jié)果發(fā)現(xiàn):隨著|ky|的增加，駐波態(tài)能帶的寬度逐漸變窄，即在|ky|=0時(shí)，駐波態(tài)能帶的寬度最大.但能量本征值卻隨著ky的改變而改變，當(dāng)ky>0時(shí)，隨著|ky|的增加，駐波態(tài)能量的變化范圍越來越小，駐波態(tài)數(shù)目在中心帶中比例下降；當(dāng)ky<0時(shí)，隨著|ky|的增加，駐波態(tài)能量的變化范圍越來越大，駐波態(tài)數(shù)目在中心能帶中的比例呈現(xiàn)增加的變化趨勢(shì).隨著N的增加，能帶曲線的寬度變窄，所得的能量值的范圍變大，但駐波態(tài)的寬度并無明顯變化.對(duì)于邊緣態(tài)而言，當(dāng)ky=0時(shí)，邊緣態(tài)能帶的寬度最窄，但是無論ky如何變化，邊緣態(tài)能帶的寬度始終保持在一定范圍內(nèi).值得注意的是，隨著ky的增加，小能量的邊緣態(tài)越來越多，這就導(dǎo)致邊緣態(tài)能帶中出現(xiàn)了一段較陡峭的能帶.隨著N的增加，即鋸齒型三角石墨烯片逐漸變大，邊緣態(tài)中接近于0的能態(tài)越來越多，邊緣態(tài)的寬度也變大，但較陡峭的能帶逐漸消失.當(dāng)N很大時(shí)，中心能帶由兩端的駐波態(tài)能帶和中間的平能帶組成，與二維石墨烯納米帶的中間能帶的組成已經(jīng)一致.

(a)kx,ky連續(xù)變化時(shí)能帶變化 (b)ky固定時(shí)能帶在kx方向的變化

3 結(jié) 論

小尺寸的鋸齒型石墨烯片具有特殊的電子結(jié)構(gòu)，并且具有簡并的零能態(tài)，使得各種大小的石墨烯片呈現(xiàn)金屬性，而且零能態(tài)的簡并度可以通過改變邊界的長度來調(diào)控，這對(duì)于耦合納米器件的制造有很大的意義，而且當(dāng)三角狀石墨烯片的尺寸增大到足夠大時(shí)，電子性質(zhì)與二維石墨烯相類似.

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