Dirichlet空間上Toeplitz乘積的有界性*

于 濤, 陸俏飛

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

本文中，令D是復(fù)平面C中的開(kāi)單位圓盤(pán)，dA表示D上的正規(guī)化面積測(cè)度.把所有滿足下式的D上函數(shù)u構(gòu)成的空間稱為Sobolev空間:

〉L2.

其中,符號(hào)〈5,5〉L2表示Lebesque空間L2(D,dA)上的內(nèi)積.稱由Sobolev空間W1,2(D)中所有在原點(diǎn)處為0的解析函數(shù)構(gòu)成的子空間為Dirichlet空間，記為D,它是一個(gè)具有如下內(nèi)積的Hilbert空間:

f(z)=〈f,Kz〉.

(1)

(2)

Sarason在文獻(xiàn)[1]中同時(shí)提出了Bergman空間上的類似問(wèn)題;文獻(xiàn)[4]給出與Hardy空間情形類似的回答，此時(shí)條件(1)和條件(2)中的Piosson擴(kuò)張改為Bergman空間上的Berezin變換;文獻(xiàn)[5-6]分別將該結(jié)果推廣到單位圓盤(pán)和單位球上的加權(quán)Bergman空間;文獻(xiàn)[7-9]分別將該結(jié)果推廣到多圓盤(pán)和單位球上的Bergman空間.本文的目的是在Dirichlet空間上考慮Toeplitz乘積有界性的條件.

Sobolev空間W1,∞(D)定義為

其中,L∞(D)是D上所有本質(zhì)有界可測(cè)函數(shù)構(gòu)成的空間.空間W1,∞(D)的范數(shù)定義為

令P為由W1,2(D)到D上的正交投影，則P是可表示為如下的積分算子:

(3)

給定u∈W1,∞(D)，定義D上以u(píng)為符號(hào)的Toeplitz算子Tu為

Tuf=P(uf).

(4)

容易看出,對(duì)于每個(gè)u∈W1,∞(D),Toeplitz算子 Tu是有界的.

Dirichlet空間上Toeplitz算子已被廣泛研究.例如:文獻(xiàn)[10]研究了具有連續(xù)可導(dǎo)符號(hào)Toeplitz算子的Fredholm性質(zhì);文獻(xiàn)[11]研究了當(dāng)符號(hào)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)時(shí)，Toeplitz算子的交換性和正規(guī)性等;文獻(xiàn)[12]研究了W1,∞(D)符號(hào)Toeplitz算子的交換性、乘積和模有限秩交換等代數(shù)性質(zhì).

對(duì)于u∈W1,2(D)，式(4)的右邊對(duì)于 f∈D ∩W1,∞(D)還是有意義的，此時(shí)Toeplitz算子Tu可以看作D上的稠定義算子.若再設(shè)v∈W1,2(D)，按照式(3)和式(4),對(duì)于 f∈D ∩W1,∞(D),

上述積分是可積的.因此,可將TvTu看作從D到H(D)(D上所有解析函數(shù)的空間)的稠定義算子.

本文的主要結(jié)果是Toeplitz乘積在 D上有界的一個(gè)充分條件和一個(gè)必要條件.

定理1設(shè) f,g∈D，如果存在ε>0，使得

1 預(yù)備知識(shí)

(5)

(6)

對(duì)于w∈D，定義W1,2(D)上的算子Uw為Uwf=f(w)- f ° φw.易見(jiàn)算子Uw是D上的自伴酉算子.特別地，當(dāng)φ∈W1,∞(D)解析時(shí)，有

UwTφUw=Tφ ° φw+Uw(φ)?Kw;

(7)

當(dāng) φ∈W1,∞(D)共軛解析時(shí)，有

UwTφUw=Tφ ° φw.

(8)

關(guān)于Uw的定義、式(4)及式(5)可參閱文獻(xiàn)[13].

對(duì)于 f,g∈D,定義 D上一秩算子 f?g為(f?g)h=〈 h,g 〉 f,h ∈D.如果T和S是有界線性算子，那么T( f?g)S*=(T f)?(Sg).

對(duì)于w ∈D，令τw表示函數(shù)Uw(z)=w-φw，其中z表示D上的恒等映射.

證明 對(duì)于w∈D，應(yīng)用引理1和引理2 及式(7)、式(8)可得

引理3證畢.

證明 令u∈D，v∈D，對(duì)于w∈D，有

引理5令 f，g∈D，對(duì)于w∈D，有

其中,‖5‖H2表示Hardy空間 H2的范數(shù).

證明 令 f∈D，w∈D,則

(9)

式(9)中的最后一個(gè)等式通過(guò)式(5)和式(6)獲得.

引理6[13]如果F∈D,G∈D，那么

2 主要結(jié)果的證明

下面對(duì)Toeplitz算子作一些估計(jì)，這些估計(jì)將用于Toeplitz乘積有界性的充分性的證明.

引理7對(duì)給定的ε>0，令δ=(2+ε)/(1+ε)，則

1)令g∈D，u∈D，對(duì)任意的w∈D，有

2)令 f∈D，v∈D，對(duì)任意的 w∈D，有

證明 1)若g∈D,u∈D，則對(duì)任意的w∈D，有

因此,

從而

應(yīng)用H?lder′s不等式，可得

2)令f∈D，v∈D，對(duì)任意的w∈D，有

所以

與1)的證明類似，有

引理7證畢.

其中:

由引理 7可得

[P0(|u′|δ)(w)]1/δ[P0(|v′|δ)(w)]1/δdA(w)≤

因?yàn)?2/δ>1,從而P0是L2/δ-有界的，所以存在常數(shù)C>0,使得

由Cauchy-Schwarz不等式可得

因此,得到關(guān)于I1的如下估計(jì):存在常數(shù)C>0,使得

完全類似地，可以對(duì)I2和I3作出估計(jì).通過(guò)對(duì)I1，I2和I3的估計(jì)，得到存在某個(gè)常數(shù)M>0，使得

定理2的證明 由引理3，有

由引理4和引理5可以得到

所以

從而得到定理2的結(jié)論.定理2證畢.

參考文獻(xiàn)：

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