一類半線性橢圓型方程組非平凡解的存在性

彭超權(quán),王 芳,劉 穎

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢430074)

1 主要問(wèn)題及結(jié)果

本文考慮如下一類半線性橢圓型方程組:

(1)

過(guò)去幾十年來(lái),很多學(xué)者對(duì)非線性橢圓型方程組非平凡解的存在性及其相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了大量的研究,如下列形式有界域上Dirichlet邊界的橢圓型方程組:

(2)

其中Ω是RN中的光滑有界區(qū)域.文[1]和[2]等首先對(duì)問(wèn)題(2)進(jìn)行了研究,他們?cè)诜謹(jǐn)?shù)維的Sobolev空間中,利用環(huán)繞定理得到了問(wèn)題(2)的非平凡解. 文[3]對(duì)漸近線性橢圓型方程組作了研究, 文[4]則考慮了一類非線性項(xiàng)不滿足AR條件的方程組非平凡解的存在性.

受上述文章的啟發(fā),本文擬考慮問(wèn)題(1)中非線性項(xiàng)不滿足AR條件時(shí)非平凡解的存在性.我們假設(shè)f,g滿足如下條件:

(H1)f,g∈C(R),且有f(t)=g(t)=0,?t≤0,f(t)>0,g(t)>0,?t≥0.

|f(t)|,|g(t)|≤C(1+|t|p-1),?t∈R,

本文的主要結(jié)果如下.

2 預(yù)備知識(shí)

(3)

因此我們可以在E上定義一個(gè)新的內(nèi)積：

由它所誘導(dǎo)的范數(shù)是:

‖z‖=(z,z)u|2+2uv+

μ|?z=(u,v)∈E.

由式(3)可知,‖·‖和‖·‖E等價(jià).因此,當(dāng)λμ>1時(shí),與方程組(1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函可以寫(xiě)為:

(4)

設(shè)E為一實(shí)的希爾伯特空間，泛函I∈C1(E,R).我們說(shuō)泛函I在指標(biāo)c∈R處滿足Cerami條件是指:如果當(dāng)n→∞時(shí),有I(zn)→c并且(1+‖zn‖)I′(zn)→0,那么{zn}存在一個(gè)收斂的子序列.

為了證明定理1，我們將用到文[5]中提出的山路定理.

3 定理1的證明

引理2 假設(shè)條件(H1)～(H3)成立，則有:

證明對(duì)?z=(u,v)∈E,ε>0,由條件(H1)～(H3)以及Sobolev嵌入定理可知:

這說(shuō)明當(dāng)ε充分小時(shí),存在ρ>0使得:

固定z=(u,v)∈E,令e=(tu,tv)，由條件(H3)可知,當(dāng)t充分大,I(tu,tv)<0，從而結(jié)論成立.

引理3 對(duì)于由式(4)定義的泛函I,若條件(H1)～(H4)成立,并且對(duì)任意{zn}?E都有當(dāng)n→∞時(shí)I′(zn),zn→0，那么存在{zn}的一個(gè)子列,我們?nèi)匀挥脅zn}表示,使得對(duì)所有t∈R,n∈N有

(5)

對(duì)?t>0,式(5)說(shuō)明:

這說(shuō)明對(duì)所有t>0，都有h(t)≤h(1)，因此,

(6)

另一方面,由式(5)可知：

因此,根據(jù)式(6)可得：

引理4 由式(4)定義的泛函I滿足(c)c條件.

證明假設(shè){zn}?E滿足I(zn)→c,(1+‖zn‖)‖I′(zn)‖E*→0，令:

則‖wn‖在E中有界,因此,由Sobolev嵌入定理可知?w=(u,v)∈E,使得wn→wa.e.在Ω中,wn→w在Ls(Ω)中,其中s∈[2,2*).

若‖zn‖→∞，我們斷言

w(x)?0.

(7)

事實(shí)上,若w(x)≡0在Ω中,則:

(8)

矛盾,因此,{zn}在E中有界.

定理1的證明定理1可直接由引理1、引理2及引理4得到.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Hulshof J, Van De V R.Differential systems with strongly indefinite varational structure[J].J Funct Anal,1993,114:32-58.

[2] De Figueiredo D G, Felmer P L.On superquadratic elliptic systems[J]. Tras Amer Math Soc,1994,343:99-116.

[3] Li G B,Yang J F.Asymptotically linear elliptic systems[J].Comm Partial Differential Equations,2004,29(5/6):925-954.

[4] Li G B,Wang C H.The existence of nontrivial solutions to a semilinear elliptic system onRNwithout the Ambrosetti-Rabinowibz condition[J]. Acta Math Sci,2010,30B(6):1917-1936.

[5] Zhou H S. An application of a Mountain Pass theorem[J].Acta Math Sci,2002,18(1):27-36.